1、人教版2019-2020广东省中大附中实验学校九年级数学上册期中考试试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列是我国某四个高校校徽的主体图案,其中是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.2.如图，在平面直角坐标系中，将点 P(2,3) 绕原点 O 顺时针旋转90得到点 P ，则 P 的坐标为（ ） A.(3,2)B.(3,1)C.(2,3)D.(3,2)3.关于 x 的方程 (a5)x24x1=0 有实数根，则 a 满足（ ） A.a1B.a1 且 a5C.a1 且 a5D.a54.关于函数y（x+2）21的图象叙述正确的是（ ） A.开口向上B.顶点（2，1）C.与y轴交点为（0，1）
2、D.对称轴为直线x25.已知、是方程x22x40的两个实数根，则3+8+6的值为（ ） A.1B.2C.22D.306.如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE，连接ED，若BC10，BD9，则ADE的周长为（ ） A.19B.20C.27D.307.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称ABx轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ） A.y= （x+3）2B.y= （x+3）2C.y= （x3）2D.y= （x3）28.如图，在ABC中，C=90，AC=
3、BC=3cm.动点P从点A出发，以 2 cm/s的速度沿AB方向运动到点B动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B设APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）A.B.C.D.9.如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60，得到正方形DEFG，此时点G在AC上，连接CE，则CE+CG=（ ） A.2+6B.3+1C.3+2D.3+610.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2 ， y2）是抛物线
4、上任意一点，有下列结论：二次函数y=ax2+bx+c的最小值为4a；若1x24，则0y25a；若y2y1 ， 则x24；一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为1和 13 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题4分，共24分）11.方程 x2=4x 的根是_. 12.已知二次函数y2(x1)2的图象如图所示，ABO的面积是_. 13.如图，COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在AB上，则A的度数是_. 14.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y 12x 上，点N在直线yx+3上，设点M坐标为（a，b），则抛物线yabx2+（a+b
5、）x的顶点坐标为_. 15.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”以下关于倍根方程的说法，正确的是_（写出所有正确说法的序号）方程 x2x2=0 是倍根方程；若 (x2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0 ；若点 (p，q) 在反比例函数 y=2x 的图像上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程；若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M(1+t，s) ， N(4t，s) 都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54 1
6、6.图1是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OCOD10分米，展开角COD60，晾衣臂OAOB10分米，晾衣臂支架HGFE6分米，且HOFO4分米当AOC90时，点A离地面的距离AM为_分米；当OB从水平状态旋转到OB（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处，则BEBE为_分米三、解答题（本大题共9小题，共66分）17.如图， ABC 是等边三角形， ABP 旋转后能与 CBP 重合. （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角度是多少度？ （3）连结 PP 后， BPP 是什么三角形？简单说明理由. 18.为了改善小区环境，某小区决定要在一块
7、一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60米栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边为x米，绿化带的面积为y平方米。 （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围: （2）是否存在绿化带BC的长的某个值，使得绿化带的面积为450平方米？若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由。 19.二次函数yax2的图象与直线y2x1交于点P(1，m) （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴 20.已知ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关
8、于x的一元二次方程 x2(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根。 （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，请判断ABC的形状并说明理由； （3）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长。 21.网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。 （1）2016年至2018年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？ （2）若保持原来的增长率，试计算2019年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？ 22.某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元在试销期间，购买不超过10
9、件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。请解决下列问题：（1）直接写出：购买这种产品 _件时，销售单价恰好为2600元； （2）设购买这种产品x件(其中x10，且x为整数)，该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式； （3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变) 23.（1）如图1，在RtABC中， AB=AC ，D、E是斜边BC上两动点，且DAE=45，将
10、 ABE 绕点 A 逆时针旋转90后，得到 AFC ，连接 DF . （1）试说明： AED AFD ； （2）当BE=3,CE=9时，求BCF的度数和DE的长； （3）如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. 24.如图，已知抛物线的方程y= 1m (x+2)(xm) (m0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) （1）求该抛物线的解析式 （2）在(1)的条件下，求BCE的面积 （3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐
11、标。 25.两条抛物线 C1:y1=3x26x1 与 C2:y2=x2mx+n 的顶点相同 （1）求抛物线 C2 的解析式； （2）点 A 是抛物找 C2 在第四象限内图象上的一动点，过点 A 作 APx 轴， P 为垂足，求 AP+OP 的最大值； （3）设抛物线 C2 的顶点为点 C ，点 B 的坐标为 (1,4) ，问在 C2 的对称轴上是否存在点 Q ，使线段 QB 绕点 Q 顺时针旋转90得到线段 QB ，且点 B 恰好落在抛物线 C2 上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 人教版2019-2020广东省中大附中实验学校九年级数学上册期中考试试卷一、选择题（30分）1
12、.解：B选项中的图形为中心对称图形. 故答案为：B.2.解：如图，过P、P两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B， 线段OP绕点O顺时针旋转90，POP=AOB=90，AOP=POB，且OP=OP，PAO=PBO=90，OAPOBP，PB=PA=3，BO=OA=2，P(3，-2)，故答案为：D.3.解：当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=- 14 ； 当a5时，=（-4）2-4（a-5）（-1）0，解得a1，即a1且a5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a1.故答案为：A. 【分析】分类讨论：当a=5时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a5时，方程是一元二次方程，根据方
13、程有实数根可知其根的判别式的值应该不小于0，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案。4.解： 函数 y=(x+2)21 ， A、 该函数图象开口向下，A不符合题意，B、顶点坐标为 (2,1) ，B不符合题意，C、当 x=0 时， y=5 ，即该函数与y轴的交点坐标为 (0,5) ，C不符合题意，D、对称轴是直线 x=2 ，D符合题意，故答案为：D.5.解：方程x2-2x-4=0的实根,2-2-4=0,即2=2+4,3=22+4=2（2+4）+4=8+8,原式=8+8+8+6=8（+）+14,是方程x2-2x-4=0的两实根,+=2, 原式=82+14=30,故答案为：D.6
14、.解：ABC是等边三角形， AC=AB=BC=10，BAE是BCD逆时针旋转60得出，AE=CD，BD=BE，EBD=60，AE+AD=AD+CD=AC=10，EBD=60，BE=BD，BDE是等边三角形，DE=BD=9，AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.故答案为：19 7.解：高CH=1cm，BD=2cm， 而B、D关于y轴对称，D点坐标为（1，1），ABx轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，AB关于直线CH对称，左边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x3）2 ， 把D（1，1）代入得1=a（13）2 ， 解
15、得a= 14 ，故右边抛物线的解析式为y= 14 （x3）2 故答案为：C8.解：在ABC中，C=90，AC=BC=3cm，可得AB= 32 ，A=B=45，当0x3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1），由题意可得AP= 2 x，AQ=x，过点Q作QNAB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN= 22 x，所以y= 12APQN = 122x22x=12x2 （0x3），即当0x3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3x6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=3 2 ，过点Q作QNBC于点N，在等腰直角三角形P
16、QN中，求得QN= 22 (6-x)，所以y= 12APQN = 123222(6x)=32x+9 （3x6），即当3x6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故答案为：D.9.解：作GICD于I，GRBC于R，EHBC交BC的延长线于H连接RF则四边形RCIG是正方形 DGF=IGR=90，DGI=RGF，在GID和GRF中， GD=GFDG=RGFGI=GR ，GIDGRF，GID=GRF=90，点F在线段BC上，在RtEFH中，EF=2，EFH=30，EH= 12 EF=1，FH= 3 ，易证RGFHFE，RF=EH，RGRC=FH，CH=R
17、F=EH，CE= 2 ，RG=HF= 3 ，CG= 2 RG= 6 ，CE+CG= 2 + 6 故选A10.解：由A（-1,0）和B（3，0）可得二次函数 y=a(x+1)(x3) ，对称轴为直线 x=1+32=1 ，由二次函数图象是开口向上， a0 ，当 x=1 ，二次函数有最小值，即最小值 y=4a ，故正确；当 1x24 时，则当 x2=1 时， y2 有最小值，为 y2=4a ；当 x2=4 时， y2 有最大值，为 y2=5a ，则 4ay25a ，故错误；点C（4，y1）关于对称轴直线x=1的对称点为C（-2，y1），若 y2y1 时，由图象可得 x24 ，故错误；二次函数 y=a
18、x2+bx+c=a(x+1)(x3)=ax22ax3a ，则 b=2a,c=3a ，则一元二次方程 cx2+bx+a=0 转化为 3ax22ax+a=0 ， a0 ，原方程整理得 3x2+2x1=0 ，解得 x1=13,x2=1 ，故正确；则正确的是，有2个故答案为:B二、填空题（24分）11.解 x2=4x x2+4x=0 x(x+4)=0x1=0,x2=-4,故答案为：0和-4.12.解：由 y2(x1)2 得， 顶点坐标为（1,0），即A(1,0), 当x=0时,y=1, B(0,2), SABO =12OAOB=1212=1. 故答案为：1.13.解：COD是AOB绕点O顺时针方向旋转
19、40后所得的图形，点C恰好在AB上， AOCBOD40，OAOC，OAOC，AOCA，A 12 （18040）70，故答案是：70.14.解：M、N关于y轴对称的点， 纵坐标相同，横坐标互为相反数点M坐标为（a，b），点N坐标为（a，b），b 12a ，ab 12 ；ba+3，a+b3，则抛物线yabx2+（a+b）x 12 x2+3x的横坐标是x a+b2ab 31 3；纵坐标是 0(a+b)24ab 92顶点坐标为（3， 92 ）.15.解：研究一元二次方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 t ，则另一个根为 2t ，因此 ax2+bx+c=a(xt)(x2t)
20、=ax23atx+2t2a ，所以有 b292ac=0 ；我们记 K=b292ac ，即 K=0 时，方程 ax2+bx+c=0 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于， K=b292ac=10 ，因此本不符合题意；对于， mx2+(n2m)x2n=0 ，而 K=(n2m)292m(2n)=0 ， 4m2+5mn+n2=0 ，因此本不符合题意；对于，显然 pq=2 ，而 K=3292pq=0 ，因此本不符合题意；对于，由 M(1+t，s) ， N(4t，s) 知 b2a=1+t+4t2=52 ， b=5a ，由倍根方程的结论知 b292ac=0 ，从而有 c=509a ，所以方程变为：
21、 ax25ax+509a=0 ， 9x245x+50=0 ， x1=103 ， x2=53 ，因此本不符合题意故答案为：16.解：（1）作OPCD，OQAM，AOQ+QOC=POC+QOC=90，得AOQ=COP，又OA=OC，故AOQCOP，所以AQ=CP，AM=AQ+QM=OP+CP= 5+53 。（2）在OE上取一点M，使 OM=OE ， OECD， EOM=OCD=60 ，故 EOM 是等边三角形，得 EM=EO ，根据旋转图形的特点， BOB=EFE=60，FE=FE ，故 EFE 是等边三角形，得 FE=EE ,又 FOE=EME ，由上可知： FOEEME ，得ME=OF=4。
22、OB=OBOE+BE=OE+BEBEBE=OEOE=EM=4 。三、解答题（66分）17. （1）解：ABP旋转后能与PBC重合，点B是对应点，没有改变， 点B是旋转中心；（2）解：AB与BC是旋转前后对应边， 旋转角=ABC,ABC是等边三角形，ABC=60，旋转角是60；（3）解： BPP 是等边三角形 由旋转的性质可得： PBP=60 BP=BP BPP 为等边三角形18.（1）由题意得：y=x(60-x)2(025,不存在绿化带BC的长的某个值，使得绿化带的面积为450平方米; 19. （1）解： 把P代入y=2x-1中得：m=21-1=1，则P(1,1),把P代入 yax2 中得：1
23、=a1，a=1; （2）解： 由题（1）得y=x2,a=10, 对称轴x=0,当x0时，y随x的增大而增大，当x0 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根（2）解：当k=2时，方程为 x27x+12=0 方程的解为 x1=3,x2=4 32+42=52 ，ABC为直角三角形。（或由求根公式可得 x1=k+1,x2=k+2 ，当k=2时， x1=3,x2=4 ）（3）解：=10，ABAC，即方程有一根为x=5, 把x=5代入方程，可得 k1=4,k2=3 当k=4时，ABC是等腰三角形，得 x1=5,x2=6 ，ABC的周长=5+5+6=16当k=3时，ABC是等腰三角形，得 x1=5,x2=
24、4 ，ABC的周长=5+5+4=14（或由求根公式可得 ，当方程有一根为x=5，得 k1=4,k2=3 ）21. （1）解：设年平均增长率为x，依题意可列方程： 500(1+x)2=720 ，解得 x1=0.2 ， x2=2.2 （不合题意，舍去）因此，2016年至2018年“双十一”交易额的年平均增长率为20%（2）解：由（1）得年平均增长率为20%，因此 720（1+20%）=864（亿元）故2019年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元.22. （1）90（2）解：当1090时，y=(2600-2400)x=200x，即 y=5x2+650x(1090,且x为整数) （3）解：因为要
25、满足购买数量越多，所获利润越大，所以随x增大而增大 函数y=200x是y随x增大而增大，而函数y=-5x2+650x=-5(x-65)2+21125，当10x65时，y随x增大而增大，当65x90时，y随x增大而减小，若一次购买65件时，设置为最低售价，则可避免y随x增大而减小的情况发生，故当x=65时，设置最低售价为3000-5(65-10)=2725(元)，答：公司应将最低销售单价调整为2725元23. （1）解： ABEAFC， AE=AF， BAE=CAF， EAD=45, BAC=90, BAE+CAD=45, CAF+CAD=45, 即 DAF=45. 在 AED 和 AFD 中，
26、 AF=AEEAF=DAEAD=AD， AEDAFD. （2）解： AEDAFD， ED=FD， AB=AC,BAC=90. B=ACB=45， ACF=45， BCF=90. 设 DE=x. DF=DE=x,CD=9x. FC=BE=3. FC2+DC2=DF2, 32+(9x)2=x2. 解得： x=5. 故 DE=5. （3）解：过点 A 作 AHBC 于 H ,根据等腰三角形三线合一得， AH=BH=12BC=4. DH=BHBD=1 或 DH=BH+BD=7, AD2=AH2+DH2=17 或 65. DE2=2AD2=34 或 130. 24.（1）解：将P点代入函数式得：-1m(
27、2+2)(2-m)=2,解得: m=4, 该抛物线的解析式为： y=-14x2+12x+2.（2）解： 由（1）得-14(x+2)(x-4)=0,解得x=-2或x=4,B（-2,0），C（4,0），BC=4-（-2）=6，当x=0, y=2,OE=2.（3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，y=-14(x-1)2+94 ， 则F（2,2）,EH+BH=FH+HB=FB,设直线FB的解析式为：y=kx+b,0=-2k+b,2=2k+b,解得:k=12b=1,故y=12x+1 ,当x=1, y=121+1=32 ， H（1,32）. 25. （1）解： y1=3x2
28、6x1 的顶点为 (1,-4) ， 抛物线 C1:y1=3x26x1 与 C2:y2=x2mx+n 的顶点相同 m=2 ， n=3 ， y2=x22x3 （2）解：作 APx 轴， 设 A(a,a22a3) ， A 在第四象限， 0a3 ， AP=a2+2a+3 ， PO=a ， AP+OP=a2+3a+3=(a32)2+214 0a3 ， AP+OP 的最大值为 214 （3）解：假设 C2 的对称轴上存在点 Q ， 过点 B 作 BDl 于点 D ， BDQ=90 ，当点 Q 在顶点 C 的下方时， B(1,4) ， C(1,4) ，抛物线的对称轴为 x=1 ， BCl ， BC=2 ， BCQ=90 ， BCQ QDB （ AAS ） BD=CQ ， QD=BC ，设点 Q(1，b) ， BD=CQ=4b ， QD=BC=2 ，可知 B(3b,2+b) ， (3b)22(3b)3=2+b ， b2+7b+10=0 ， b=2 或 b=5 ， b4 ， Q(1,5) ，当点 Q 在顶点 C 的上方时，同理可得 Q(1,2) ；综上所述： Q(1,5) 或 Q(1,2) ；
