1、第六篇 平面向量与复数专题6.01平面向量的概念及线性运算【考试要求】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
2、(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.【微点提醒】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向
3、量终点的向量，即An1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则().【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)若b0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.【教材衍化】2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：零向量
4、的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.【答案】A【解析】根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误.3.(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2C.3 D.4【答案】D【解析】()()224.【真题体验】4.(2019东莞调研)如图所示，已知3，a，b，c，则下列等式中成立的是()A.cbaB.c2baC.c2abD.cab【答
5、案】A【解析】因为3，a，b，所以()ba.5.(2018上海静安区月考)若四边形ABCD满足且|，则四边形ABCD的形状是()A.等腰梯形 B.矩形C.正方形 D.菱形【答案】A【解析】因为，所以，且|，所以四边形ABCD为以AD为上底，BC为下底的梯形.又|，所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形ABCD是等腰梯形.6.(2019菏泽调研)设a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b2a)共线，则_.【答案】【解析】依题意知向量ab与2ab共线，设abk(2ab)，则有(12k)a(k)b0，所以解得k，.【考点聚焦】考点一平面向量的概念【例1】 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，
6、一定能使0成立的是()A.a2b B.abC.ab D.ab(2)给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()A. B. C. D.【答案】(1)C(2)A【解析】(1)由0得0，即a|a|0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.(2)不正确.两个向量的长度相等，但它们的方
7、向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.【规律方法】对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具
8、有传递性.(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式中成立的是()A. B.C. D.(2)给出下列说法：非零向量a与b同向是ab的必要不充分条件；若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；a与b是非零向量，若a与b同向，则a与b反向；设，为实数，若ab，则a与b共线.其中错
9、误说法的序号是_.【答案】(1)D(2)【解析】(1)根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以，均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以.(2)根据向量的有关概念可知正确，错误.考点二平面向量的线性运算角度1向量的线性运算【例21】 (2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】E是AD的中点，又知D是BC的中点，()，因此().角度2利用向量线性运算求参数【例22】 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则等于()A
10、.1 B. C. D.(2)在锐角ABC中，3，xy(x，yR)，则_.【答案】(1)B(2)3【解析】(1)E为线段AO的中点，.(2)由题设可得(A)，则x，y.故3.【规律方法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，B
11、EBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.【答案】(1)D(2)【解析】(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.(2)()，12，1，2，因此12.考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.【答案】见解析【解析】(1)证明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b
12、.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.【规律方法】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立.【训练3】 (1)已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A.2 B.1C.1 D.1(2)(一题多解)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.0 B.C.1 D.0，1【答案】(1)D(2)C【解析】(1)因为A，B，C三点共线，所以，
13、设m(m0)，则abm(ab)，所以所以1.(2)法一若要x2x0成立，必须与x2x共线，由于与共线，所以和的系数必须互为相反数，则x2x，解得x0或x1，而当x0时，0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x1.法二，x2x0，即x2(x1)，A，B，C三点共线，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2x0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x1.【反思与感悟】1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2
14、.三个常用结论(1)O为ABC的重心的充要条件是0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则2；(3)对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.注意向量共线与三点共线的区别.【易错防范】1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知下列各式：；，其中结果为零向量的个数为()A.1 B.2 C.3 D.
15、4【答案】B【解析】由题知结果为零向量的是，故选B.2.如图，在正六边形ABCDEF中，()A.0 B.C. D.【答案】D【解析】由题图知.3.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反 B.a与2a的方向相同C.|a|a| D.|a|a【答案】B【解析】对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小.4.已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()A.A，B，C B.A，B，DC.B，C，D D.A，
16、C，D【答案】B【解析】因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线.5.设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，()2.6.(2019唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心.若，其中，R，则()A.2 B. C. D.【答案】A【解析】，1，因此2.7.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.8.在ABC中，点D在线段BC
17、的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】设y，因为yy()y(1y).因为3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y，因为x(1x)，所以xy，所以x.二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有_个.【答案】3【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，共3个.10.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.【答案】【解析】向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实
18、数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.11.在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则xy_.【答案】【解析】由题中条件得，()xy，所以x，y，因此xy.12.(2019清华大学自主招生能力测试)设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_.【答案】4【解析】D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点.又D为AB的中点，SAOCSADCSABC，则4.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上
19、D.点P不在直线AB上【答案】B【解析】因为22，所以2，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.14.(2019青岛二模)设D，E，F分别为ABC三边BC，CA，AB的中点，则23()A. B.C. D.【答案】D【解析】因为D，E，F分别为ABC三边BC，CA，AB的中点，所以23()2()3().15.已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.【答案】3【解析】由已知条件得，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.同理E，F分别是AC，AB的中点，因此点M是ABC的重心，()，则m3.16.(2019郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，
20、3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为_.【答案】【解析】由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k.【新高考创新预测】17.(多填题)在ABC中有如下结论：“若点M为ABC的重心，则0.”设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，点M为ABC的重心. 若abc0，则内角A的大小为_，当a3时，ABC的面积为_.【答案】【解析】由abcabc()0，且与不共线，acbc0，abc.ABC中，由余弦定理可求得cos A，A.若a3，则b3，c3，SABCbcsin A33.16
