1、11.3.2 多边形的内角和,第十一章 三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,11.3 多边形及其内角和,八年级数学上（RJ）教学课件,情境引入,1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. （重点） 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. （难点）,法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.,导入新课,情景引入,思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？,问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？,问题1 三角形内角和是多少度？,三角形内角和 是180.,都是360.,问题
2、3 猜想任意四边形的内角和是多少度？,讲授新课,猜想：四边形ABCD的内角和是360.,问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？,猜想与证明,方法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 1802=360.,E,方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.,方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：ABE,ADE,CDE,CBE. 所以四边形ABCD内角和为
3、： 1804-(AEB+AED+CED+CEB) =1804-360=360.,E,P,方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.,所以四边形ABCD内角和为180 3 180 = 360.,这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.,结论： 四边形的内角和为360.,例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.,解：,如图，四边形ABCD中，A+ C =180.,A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，,因为,BD= 360（AC） = 360 180
4、=180.,所以,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.,典例精析,【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直角三角形,证明：在四边形ABCD中，A与C互补， ABC+ADC=180， BE平分ABC，DF平分ADC， CDF+EBF=90， BEDF，EBF=CFD， CDF+CFD=90， 故DCF为直角三角形,运用了整体思想,问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?,内角和为180 3 = 540.,内角和为180 4 = 720.,0,n -3,1,2,3,1,2,3,4,
5、n -2,（ n -2 ）180,1180=180,2180=360,3180=540,4180=720,由特殊到一般,分割,多边形,三角形,分割点与多边形的位置关系,顶点,边上,内部,外部,转化思想,总结归纳,多边形的内角和公式,n边形内角和等于(n-2)180 .,例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？,解：设这个多边形边数为n，则（n-2）180=360+720，解得n=8，这个多边形的每个内角都相等，（8-2）180=1080，它每一个内角的度数为10808=135,典例精析,例3 已知n边形的内角和=（n-2）1
6、80 （1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由；,解：360180=2，630180=390，甲的说法对，乙的说法不对，360180+2=4故甲同学说的边数n是4；,（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x,解：依题意有 （n+x-2）180-（n-2）180=360， 解得x=2 故x的值是2,【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？,解：设此多边形的内角和为x， 则有112
7、5x1125180， 即180645x180745， 因为x为多边形的内角和，所以它是180的倍数， 所以x18071260. 所以729，12601125135. 因此，漏加的这个内角是135，这个多边形是九边形,思路点拨：多边形的内角的度数在0180之间.,例4 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数,解析：根据五边形的内角和等于540，由C,D, E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求 得P的度数,可运用了整体思想,解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D
8、=75，E=135， EAB+ABC=540-C-D-E=230. AP平分EAB, PAB EAB， 同理可得ABP ABC， P+PAB+PBA=180， P=180-PAB-PBA =180 (EAB+ABC)=180 230=65,用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？,你知道吗？,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和,问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？,互补,5180=900,五边形外角和,=360 ,=5个平角,五边形内角和,=5180,(52)
9、180,结论：五边形的外角和等于360.,问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和,n边形外角和,n边形的外角和等于360.,(n2) 180,=360 ,=n个平角-n边形内角和,= n180 ,思考：n边形的外角和又是多少呢？,与边数无关,问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？,每个内角的度数是,每个外角的度数是,练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 ,那么这是正_边形. (2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形.,六,正八,例4 已知一
10、个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.,解： 设多边形的边数为n.它的内角和等于 (n2)180，多边形外角和等于360， (n2)180=2 360.解得 n=6.这个多边形的边数为6.,例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.,解法一：设这个多边形的内角为7x ,外角为2x, 根据题意得,7x+2x=180，,解得x=20.,即每个内角是140 ，每个外角是40 .,360 40 =9.,答：这个多边形是九边形.,还有其他解法吗？,解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得,解得n=9.,答：这个多边形是九边形.,【变式题】一个正多边形
11、的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数,解：设该正多边形的内角是x，外角是y， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360， 则该正多边形的边数为360120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条,例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数,解：由题意得 AB=AE,所以AEB= (180-A)=36， 所以BED=AED-AEB=108-36=72.,当堂练习,1.判断 (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 (
12、 ),2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的每一个内角等于_,120,3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米,150,4.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800 B.540 C.720 D.810 ,D,5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ） A.360 B.540 C.720 D.900 ,B,6. 一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.,解：180018010， 原多边形边数为10212. 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是1620，1800，1980.,能力提升：如图，求1234567的度数.,解：如图， 3489， 12345671289567五边形的内角和540.,8,9,课堂小结,多边形的内角和,内角和计算公式,(n-2) 180 (n 3的整数）,外角和,多边形的外角和等于360 特别注意：与边数无关.,正多 边形,内角= ，外角=,
