1、 2020年高考文科数学推理与证明题型归纳与训练【题型归纳】题型一 归纳推理例1 已知，若，则的表达式为_【答案】【解析】由，得，可得，故可归纳得例2 观察下列等式: 照此规律, 第个等式可为 【答案】1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1（n） 【解析】 观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为，所以第个式子可为1222+3242+=（1）n+1（）例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形
2、数如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 【答案】1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故， 题型二 类比推理例1 若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（） . . . .【答案】例2 若直角三角形的两条直角边长度分别为，则此三角形的外接圆半径，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径 【答案】例3 已知结论：“在正三角形中，
3、若是边的中点，是三角形的重心，则”,若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则 【答案】例4 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是_【答案】【解析】将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得.故填.【易错点】类比推理所涉及高中的知识点存在漏洞。【思维点拨】本题考查的是平面到空间的推
4、广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面点线圆三角形角面积周长空间线面球三棱锥二面角体积表面积题型三 演绎推理例1 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果 ，那么是函数的极值点因为在处的导数值，所以是函数的极值点以上推理中 ()A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确【答案】A【解析】对于可导函数，如果，那么不一定是函数的极值点，大前提错误，故选A.【易错点】 前提和推理形式正确性的确定。【思维点拨】演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性题型
5、四 逻辑推理例1 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_【答案】1和3.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲、乙的卡片中必有一张写有1和3，而丙的卡片又不可能写有2和3(和不是5)，则丙的卡片上写的只能是1和2.从而知乙卡片上写有2和3(与丙相同数字不是1)，则甲卡片上写有1和3.故填1和3.【易错点】 逻辑推理的关键是具体问题具体分析。【思维点拨】推理在实际生活中的应用是近年
6、高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断【巩固训练】题型一 归纳推理1.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为_【答案】55.【解析】解：因为211，321，532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.故填55.2. 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第60个“整数对”是()A(7，5) B(5，7) C(2，10
7、) D(10，1)【答案】B【解析】依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有个整数，注意到，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，因此第60个整数对是(5，7)故选B.3. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是_【答案】白色【解析】由观察知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列因为3657余1，所以第
8、36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色故填白色题型二 类比推理1. 在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高，现在把结论类比到空间：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，平面，且，则点到平面的距离 【答案】2.已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，类比三角形的面积可得四面体的体积为 【答案】3.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 【答案】
9、题型三 逻辑推理1.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是 ()A10日和12日 B2日和7日C4日和5日 D6日和11日【答案】D【解析】这12天的日期之和，S12(112)78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日故选D.2.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则 ()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，故选D.5
