1、专题 18 三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的综合3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。二 【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例 1. 设 D为 ABC所在平面内一点，若 3BCD，则下列关系中正确的是（ ）A 143B 14AC D 3【答案】A【解析】 3B C =3( D AC)； A= 43 1.故选：C.练习 1设四边形 ABCD 为平行四边形， ， .若点 M，N 满足 ， ，则|=6 |=4 =3=2（ ）
2、=A20 B15 C9 D6【答案】C【解析】试题分析：不妨设该平行四边形为矩形，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ，故 (6,3),(4,4).=(6,3)(2,1)=123=9练习 2. 如图，在 VABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 O.若6ABOE，则 的值是_.【答案】 3.【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.3632AOECDAEBACE21112 33B ABC 2 2233ACABC，得221,B即 ,故3.（二）考察数形结合
3、思想（如：向量与圆等图形的结合）例 2.已知点 A,B,C 在圆 上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则2+2=1 的最大值为（ ）|+|A6 B7 C8 D9【答案】B【解析】由题意，AC 为直径，所以 ,当且仅当点 B 为（-1，0）|+|=|2+|4+|4+3=7时， 取得最大值 7，故选 B.|+|练习 1. 在平面内，定点 A， B，C，D 满足 = = , = = =2，动点 P，M| | |满足 =1， = ，则 的最大值是| |2A B C D434 494 37+634 37+2334【答案】B【解析】甴已知易得 .以 为原点，直线 为 轴建=120 ,
4、|=|=|=2 立平面直角坐标系，如图所示，则 设 由已知 ，得(2 , 0) , (1 , 3) , (1 , 3) . ( , ) , |=1，又(2)2+2=1 = , (12 , +32 ) , =(+12 , +332 ) , ，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，|2|=(+1)2+(+33)24 (2)2+2=1 ( ， ) (1 , 33) 14，故选 B.(|2)=14( 32+(33)2+1)2=494练习 2. 在矩形 ABCD 中，AB=1 ，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP= B+AD，则 + 的最大值为A3 B2 C 5 D
5、2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设 0,1,2,1,ABDPxy 根据等面积公式可得圆的半径是 5，即圆的方程是 245xy ,10,12,0APxyBA，若满足 APBD即 2 ， ,2xy ，所以 12xy，设 12xzy ，即 102xyz，点,Pxy在圆 45上，所以圆心到直线的距离 dr，即 514 ，解得 3，所以 z的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.（三） 考查向量的数量积例 3. 已知向量 , 则 ABC=(12, 32)=(32,12), A30 B 45 C 60 D120 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得 ，所以 ，故选 A=|=1232+3
6、21211 =32 =30【思维拓展】 （1）平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹角的定义和 | 它的取值范围： ；（2）由向量的数量积的性质知 ， ，0180 |= ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题 0练习 1. 已知 是边长为 4 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 (+)A B C D2 32 3 6【答案】D【解析】以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 A（0，2 ） ，B （2，0） ，C（2，0） ，设 P（x，y） ，则 =（x，2 y） ，3 3=（ 2x，y） ， =（2x，y） ， 所以 （
7、+ ）= x（2x）+（2 y） （ 2y）=2x 24 y+2y2 3 3=2x2+（y ） 23；3所以当 x=0，y= 时， （ + ）取得最小值为 2（ 3）=63 故选：D练习 2.在等腰梯形 ABCD 中,已知 /,2,1,0CABABC ,动点 E 和 F 分别在线段BC和 上,且, 19EF则 EF的最小值为 .【答案】 2918【解析】因为 ,DFC2AB，19918CDAB ，AEBABC， 1981FABCFABABC，22191988F 1942cos08117172992898当且仅当 2即 3时 AEF的最小值为 18.BADCEF（四）考查三角形中的边角互化例 4
8、. 在 ABC中，角 ,的对边分别为 a， b， c若 ABC为锐角三角形，且满足sin12cosincosinAC，则下列等式成立的是（ ）A ab B 2a C 2B D 2A【答案】A【解析】 sinsincosincosin 所以 2co22Aba，选 A.练习 1. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， .已知 ， 2+2(+)2=2则 （ ）A一定是直角三角形 B一定是等腰三角形C一定是等腰直角三角形 D是等腰或直角三角形【答案】B【解析】由题，已知 ，2+2(+)2=2由正弦定理可得： 2+2(+)2=2即 又因为 sin2+sin2sin2(+)=2sinsincos
9、(+)=所以 即 sin2+sin2sin2=2sinsincos 2+22=2由余弦定理： 即 所以 所以三角形一定是等腰三角形2+22=2 = =故选 B练习 2. 在 中， ， 为 边上的一点，且 ，若 为 的角平分线，则 的取值=3 =2 21范围为（ ）A B(32, 3) (32, 3C D(12, 3) (12, 3【答案】A【解析】因为 ， 为 的角平分线，所以 ，=3 =6在 中， ，因为 ，所以 ，= =2 2=6=2在 中， ，因为 ，所以 ，所以 ，= =2 2=6=2 1=则21=2=2(23),=3232=3(6)因为 ，所以 ,00 2+2，3+330） 则 a=
10、“ksin“ A，b=“ksin“ B，c=“ksin“ C 代入 cosa+ b= ic中，有 osik+ i= sik，变形可得sin Asin B=“sin“ Acos B+cos Asin B=sin（A+B ） 在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin（A+B）=sin（C）=“sin“ C ，所以 sin Asin B=“sin“ C（2）由已知，b 2+c2a2= 65bc，根据余弦定理，有 cos A=22bca= 35所以 sin A= 21cosA= 45由（） ，sin Asin B=“sin“ Acos B+cos Asin B，所以 45sin B= cos B+
11、35sin B，故 tan B= sincoB=4练习 3已知 分别是 内角 的对边， , , sin2=2sinsin（1）若 ，求= cos;（2）若 ，且 求 的面积=90 =2, 【答案】 （1） ；（2）114【解析】 （1）由题设及正弦定理可得 2=2又 ，可得= =2,=2由余弦定理可得 =2+222=14（2）由（1）知 2=2因为 ，由勾股定理得=90 2+2=2故 ，得2+2=2 =2所以 的面积为 1练习 4.设 .()=2(+4)（）求 的单调区间；()（）在锐角 中，角 的对边分别为 ,若 ,求 面积的最大值. , ,(2)=0,=1 【答案】 （）单调递增区间是 ；
12、单调递减区间是4+,4+() 4+,34+()（） 面积的最大值为2+34【解析】（）由题意知 ()=221+(2+2)2=22 122 =212由 可得2+222+2, 4+4+,由 可得2+2232+2, 4+34+,所以函数 的单调递增区间是 ；() 4+,4+()单调递减区间是 4+,34+()（）由 得(2)=12=0, =12由题意知 为锐角，所以 =32由余弦定理： 2=2+22可得： 1+3=2+22即： 当且仅当 时等号成立.2+3, =因此122+34所以 面积的最大值为2+34练习 5设 ABC的内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c， tanbA，且 B为钝角. （1）证明： 2； （2）求 sinA的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） 9,8.【解析】()由 tanbA及正弦定理，得 sinsicoAabB， incosA，即 si2B，又 为钝角，因此 ,2A，故 2B，即 ；()由（1）知， CB20A， ,4A，于是 sinsinC22 19icoii1sin48AAA，04A， 20sinA，因此219sin48A，由此可知 sinAC的取值范围是 29,8
