1、专题 15 三角形的五心与向量一【知识点】1.三角形的重心：三角形各边中线的交点2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心二 【学习目标】1理解三角形五心的概念2掌握五心的向量表示3掌握五心的向量表示的轨迹问题三 【题型方法】（一）三角形的内心例 1. O是平面上一定点， ,ABC是平面上不共线的三个点，动点 P满足：,0,)|PA，则 P的轨迹一定通过 ABC的( )A内心 B垂心 C重心 D外心【答案】A【解析】 |B、AC分别表示向量 AB、 方向上的单位向
2、量A的方向与 的角平分线一致又()|ACOPB，()|向量 APur的方向与 BAC的角平分线一致一定通过 的内心故选： 练习 1. 已知 ABC满足()0ABC，12A，则 ABC为( )A顶角为 120的等腰三角形 B等腰直角三角形C有一个内角为 6的直角三角形 D等边三角形【答案】D【解析】设,ABCE，则 AEF，而 1AE，所以 AF是 BC的角平分线，又 0F，所以 B为等腰三角形，cos11cos2232ABCBCCB，所以 AB是等边三角形.练习 2.O 是平面内的一定点， A,B，C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ）=+(
3、|+|),0, +),A内心 B外心 C重心 D垂心【答案】A【解析】 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，| 的方向与BAC 的角平分线重合，|+|又 可得到 （ ）=+(|+|) =|+|向量 的方向与BAC 的角平分线重合，一定通过ABC 的内心故选：A（二）三角形的重心例 2.已知 BC中，向量 ()(APBCR，则点 P的轨迹通过 ABC的（ ）A垂心 B内心 C外心 D重心【答案】D【解析】设 D为 BC中点，则 2ACD2AP，即 P点在中线 上可知 点轨迹必过 的重心本题正确选项：练习 1过 的重心 作直线 ，已知 与 、 的交点分别为 、 ， ，若 ，则实 =209 =数
4、 的值为（ ）A 或 B 或23 25 34 35C 或 D 或34 25 23 35【答案】B【解析】设 ,因为 G 为 的重心，所以 ,即 .= +=313+13=由于 三点共线，所以 ，即 .,13+13=1 = 31因为 ， ，所以 ，即有=209 =12|,=12| |=|=1=209，解之得 或 .故选 B.20231=9 =34 35练习 2.已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 = , 则 O 点是ABC 的( )+0A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】C【解析】作 BDOC，CDOB，连结 OD，OD 与 BC 相交于 G，则 BGCG， （平行四边形对角线互相平分），
5、 ，+=又 ，可得： ，+=0 += ，=A， O，G 在一条直线上，可得 AG 是 BC 边上的中线，同理：BO，CO 的延长线也为 ABC 的中线O 为三角形 ABC 的重心故选：C练习 3.已知 是 所在平面上的一定点，若动点 满足 ， ，则 =+(|sin+ |sin) (0,+)点 的轨迹一定通过 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心【答案】C【解析】 设它们等于 t，| | 而=+1(+) +=2表示与 共线的向量 ,1(+) 而点 D 是 BC 的中点，所以即 P 的轨迹一定通过三角形的重心故选：C练习 4.已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三点，动点
6、P 满足 ，=+(+)，则点 P 的轨迹一定通过 的_心0,+) 【答案】重.【解析】设 D 为 BC 的中点，则 ，=+(+)=+2于是有 ，=2，P，D 三点共线，又 D 是 BC 的中点，所以 AD 是边 BC 的中线，于是点 P 的轨迹一定通过 的重心例 4. 是平面上不共线的三点， 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足、 、 ，则点 的轨迹一定过 _心（内心、外心、垂心或重心） =13(22)+(1+2)() 【答案】重心【解析】动点 P 满足 （22） （1+2） （R ） ，=13 + 且 ，P、C、D 三点共线，又 D 是 AB 的中点，13(22)+13(1+2)=1
7、CD 为中线， 点 P 的轨迹一定过ABC 的重心故答案为重心（三）三角形的外心例 3. 已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 的内角 等于( ) +=0 A B30 60C D90 120【答案】B【解析】因为 ，所以点 为 的重心，+=0 延长 交 于 ，则 为 的中点，又 为 外接圆的圆心， 所以 ，则 ，同理可得 ， = =为等边三角形， ，故选 B. =60练习 1.已知 ，点 ， 为 所在平面内的点，且 ， ， =， 则点 为 的 ( )+= A内心 B外心 C重心 D垂心【答案】B【解析】因为 ，所以 ，即 = ()=0 =0又因为 ，所以 ，+= +=即 +=所以 即(+)=0
8、(+)()=0所以 ,|2|2=0所以 ，同理 = =所以 为 的外心。 故选 B.练习 2.在 中，设 ，则动点 M 的轨迹必通过 的（ ） |2|2=2 A垂心 B内心 C重心 D外心【答案】D【解析】 |2|2=(+)()=(+)=2(+2)=0(+)=(+)=0设 为 中点，则 +=22=0 为 的垂直平分线 轨迹必过 的外心 本题正确选项： 练习 3.已知 是锐角 的外接圆圆心， 是最大角，若 ，则 的取值范围为 += _.【答案】 3,2)【解析】设 是 中点，根据垂径定理可知 ，依题意 ，即 ，利用正弦定理化简得+=(+)=22 2+ =22.由于 ，所以 ，即+=2 =(+)
9、+=2.由于 是锐角三角形的最大角，故 ，故 .=2 3,2) =2 3,2)练习 4.已知 O 是ABC 外接圆的圆心， AB=6，AC=15， = + ，2 +3 =1，则 cosBAC=_ 【答案】35【解析】如图所示，过 O 点分别作 ODAB，OEAC ，垂足分别为 D，E则 AD=DB，AE=EC则 ， =(+) =122=1262=18则 因为 = + ，=(+)=122=12152=2252 所以 ， =2+ =+2即 18=36x+90ycosA， =90xcosA+225y，又 2x+3y=1，联立解得 cosA= ，故答案为：2252 35 35（四）三角形的垂心例 4.
10、 点 P 为 所在平面内的动点，满足 ， ，则点 P 的轨迹通过=( |+ |) (0,+)的 ( )A外心 B重心 C垂心 D内心【答案】C【解析】处理原式得到 =(|+|)=(|)=0故 所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选 C。练习 1. 在 中，若 ，则 是 的（ ） = A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】D【解析】 ； = ()=0 ；OBAC，=0同理由 ，得到 OABC 点 O 是 ABC 的三条高的交点 = 故选：D练习 2. 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三点，动点 满足 ， , =+(|+ |)，则动点 的轨迹一定经过 的（ ）(0,) A重心 B垂心 C
11、外心 D内心【答案】B【解析】 （ ） ，= |+ | ，.=(.|+.|)=(|+|)=0 ，即点 P 在 BC 边的高上，即点 P 的轨迹经过ABC 的垂心故选：B（五）三角形问题综合例 5. 在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边， ， ，点 为线段 上一点， =12 ，则 的最大值为（ ）=|+| A B C D5 6 7 8【答案】B【解析】 ，=，=2+222化简可得， ， ，2+2=2 =90，=12=12=24，且 ， 均为单位向量，过 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，=|+| | | 则 ， ， ， ，两式相加可得，= = = +=1由基本不等式可得， ，当且仅当 时取
12、等号，解可得，1=+2=224 = 6则 的最大值为 故选：B 6练习 1. 若点 是 所在平面内的一点，且满足 ，则 为（ ） (OB-OC)(OB+OC-2OA)=0 A等腰三角形 B正三角形C直角三角形 D以上都不对【答案】A【解析】 ()(+2)=0即 ， ，()(+)=0 (+)=0，即 ， ，()(+)=0 |2|2=0 |=|三角形 为等腰三角形 故选： 练习 2.已知 是直线 上任意两点， 是 外一点，若 上一点 满足 ，则, =+2的值是_.2+4+6【答案】 51【解析】A 、B、C 三点共线，且 cos cos2，= +cos+cos21， （三点共线的充要条件）cos
13、21cos，cos1cos 2sin 2，sin6 cos3 cos（1 sin2）cos（1cos）cos cos2cos（1cos）2cos 1，sin2+sin4+sin6cos+cos 2+2cos1cos+1cos+2cos12cos，由 cos21cos 得 cos 或 cos 1，舍去，cos ，=1+52 =152 =1+52原式2cos 1，故答案为： 1=5 5练习 3已知 为 的重心，过点 的直线与边 分别相交于点 .若 ,则当 与 , ,= 的面积之比为 时，实数 的值为_.209 【答案】 或34 35【解析】设 ， ， ， 三点共线， 可设 ，= =+(1)， 为
14、的重心，=+(1) ， =13(+) 13+13=+(1)，两式相乘得 13=13=(1) 19=(1)， ， 代入即 解得 或 即 或=12|12|=920 2081=(1) =49 59 =35 34故答案为： 或 35 34练习 4. 已知 中，点 在线段 上，且 ，延长 到 ，使 设 =2 =， =（1）用 表示向量 ；， ， （2）若向量 与 共线，求 的值+ 【答案】 （1） , ；（2）=2=253 34【解析】 （1） 为 BC 的中点， ，=12(+)可得 ，=2=2而=23=253（2）由（1）得 ，+=(2+1)53与 共线，设+ =(+)即 ，2=(2+1)+53根据平
15、面向量基本定理，得 2=(2+1)1=53 解之得， =34练习 4.已知 P 是三角形 ABC 所在平面内的任意一点，且满足 则 : _+2+3=0, =【答案】1:3【解析】取 D，E 分别为 AC，BC 的中点，则 2 ， 2 += += ， （ 2（ ） ，+2+3=0 +)+2(+)=0+ +=0 ，+2=0P 是 DE 上靠近 E 的三等分点，=13，故答案为：1:3【点睛】（六）五心综合例 6.点 O 在ABC 所在平面内，给出下列关系式：（ 1） ；（2） ；+=0 =（3） ；（4） 则点 O 依次为 ABC 的(|)=(|)=0 (+)=(+)=0（ ）A内心、外心、重心、
16、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】 由三角形“五心” 的定义， 我们可得：（1） 时，得 在三角形 中， 是边 的中点， 则 ，+=0 += =2即 是三角形 的重心， 为 的重心； （2） 时，得 ，即 ,所以 .同理可知= () =0 =0 =0,所以 为 的垂心；=0 （3） ， ，(|)=(|)=0 | =| =0当 时， ，即 ，| =0 | =| | =|，=点在三角形的角 平分线上；同理， 点在三角形的角 ，角 平分线上； 点定 的一定是 的内心； （4） 时， 是边 的中点，则 ，故 OD 为 AB 的中垂线，(+)=(+)=0 2=0同理 是边 的中点， ,故 OE 为 CB 的中垂线，所以 为 的外心. 2=0 故选： 练习 1.已知 为 的重心，过点 的直线与边 分别相交于点 ，若 ,则 与 的面 , , =35积之比为_.【答案】209【解析】设 ， 三点共线， 可设 ，=, =+(1)， 为 的重心， ，=35+(1) =13(+)，13+13=35+(1)，解得 ， ， 13=3513=(1) =59=34 =34，故答案为 .=12|12|=209 209
