1、专题 11 解三角形的技巧与解题规律(2)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合二 【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向
2、进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四 【题型方法】（一）四边形中的三角形例 1. 如图，在四边形 中， ， 已知 ， ABCD6090ABC3AD6B（）求 的值；sinABD（）若 ，且 ，求 的长2CCB【答案】 （） （）641BC【解析】 （）在 中，由正弦定理，得 ADsinsiADB因为 ， 60,3,6所以 sinsinsin04B（）由（ ）可知， ，6i4AD因为 ，90ABC所以 6coscssin4BA在 中，由余弦定理，D得 22cosCBCD因为 ,6所以 ，244即 ，230B
3、C解得 或 12又 ，则 D1B练习 1. 在平面四边形 中，内角 B 与 D 互补. ，. .AC4A5,1BCD（）求 ；（）求四边形 的面积。BD【答案】 （） （）2163【解析】 （） ，2cosACABC=+-22cosADCD=+-A2245cos41cosBD+-=+-即 1078-BDcos()cosB=-=即 ，1260故421AC=-（）由（ ）可知， ，60BcosDB=-，3sin23sin2四边形 的面积ABCD1145sin4sin22ABCDSBD=+63（二）三角形与数列的综合例 2.已知 a，b，c 分别是 内角 A，B，C 的对边.角 A，B，C 成等差数
4、列， ， ，V sinAiB成等比数列.sinC（）求 的值；siA（）若 ，求 的周长.2aVB【答案】 （） （） 的周长为 。sinC=34ABC32【解析】 （）角 A，B ，C 成等差数列，即 260成等比数列.sin,si， 223iin4ACB=（）由（ ）可知 ，即2sisin2acb由余弦定理可得： 2o60bac+-化简得 ，即2()0ac2acb=32ac+因此 的周长为 。VABC练习 1已知 中 ，角 的对边分别为 23AB,ABC,abc（1）若 依次成等差数列，且公差为 2，求 的值；,abcc（2）若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值VBCV【答案】 （1）
5、；（2） .7c3【解析】 （1） 依次成等差数列，且公差为 ,ab22bac，bc4，由余弦定理得：23ACB222 1cos 4ccab整理得： ，解得： 或291407又 ，则acc7（2）设 ，外接圆的半径为 ，则 ，解得：BR21R由正弦定理可得： sinisinabcABC2sinsii33b可得： ， ，2sibina3c的周长ABC2sini3fabc2sinicosi3icos2sin33 又 0,2当 ，即： 时， 取得最大值326f23（三）角的范围问题陷阱例 3. 的内角 的对边分别为 ，已知 ABC, ,abcsinsi2ACb（1）求 ；（2）若 为锐角三角形，且
6、，求 面积的取值范围1B【答案】(1) ;(2) .3B(,)82【解析】(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，sinsiACabsinsin2ACBA0故 ，消去 得 。sin0Asiiin2B， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故BCA2CABC不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以 .22B33(2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ，VABC3AC2故 ，解得 .02362C又应用正弦定理 ， ，siniacA1由三角形面积公式有： 22 2sin()11sin3sinsi2 4ABC CaASacBcBcC.ioi331213(sicos)4si4tan38tan 又因
7、,故 ，,tan623C8t82C故 .38ABCS故 的取值范围是ABC3(,)82练习 1. 已知 中， 分别为角 的边，且 ，且abc、 、 ABC、 、1sin222abc（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围.abc【答案】 （1） （2）3C231,abc【解析】 （1）sinos2C2222co0(,)(,2)abcabC， ，因此43，（2）sin2323(sin)(sin()3abABABAcC,31(sicos)i因为23(0,)(,)sin()(,1332AA，因此21,abc练习 2.在 中，角 所对的边分别是 ，且（1）求证: 为直角三角形；（2） ，求 的取值范围
8、.【答案】(1)见详解；(2) .【解析】 （1）因为 ，所以 ，即 ，因为角 为三角形内角，所以角 ，故 ，即角 ，为直角，所以 为直角三角形；（2）因为 ，所以 ，令 ，由（1）可知 ，所以 ，所以 ，因此 在 上单调递减；在 上单调递增；故 ， ，又 ，所以 .故 的取值范围 .（四）边的范围陷阱例 4. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，VABCBCabc02B36b2ac.sinta12（1）求内角 的大小；B（2）求 的最大值.(2)()acb【答案】(1) (2) 613【解析】 （1） ， ，b2 1sinta2acACB，2 2sintacACBb即 ，2
9、ianb由余弦定理得 ， ，cosist2tansincosBAC由正弦定理得 ，即2tanibB22coitab，231cos6B，即 ，ini326sini10B变形得 ，解得 ，2(2si1)(ii)1sin2B， 0B6（2） ， ，由余弦定理得 ，3b21cos62a化简得 ， ，212ac2()(3)c，2()4，2(3)(3)4acac，22()()()， ， 2(23)14ac23()ac，当且仅当 时等号成立，()(2)cb21()4bac 的最大值为 .()()a3练习 1. 已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足 且 ABCBCabcosin2AcBb950（
10、1）求角 ；（2）求 周长 L 的最大值【答案】 （1） （2）960B【解析】：（1） ，由正弦定理得cosinAcb，cosini2sisinACBB即 ，siicons又 ，sii0ABC所以 ，又 ，得1co2,60B（2）在 中，由余弦定理得 ，AB222cos9baBac所以 ，293cacac即 ，所以 ，69Lb当 时， 的周长 L 最大值为 93abcABC练习 2. 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .acABC()()3abcab（1）求角 的值；（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围.cABCab【答案】(1) .(2) .3(2,4【解析】 （1）
11、由题意知 ， ，)()3abcab22cab由余弦定理可知， ，221cosC又 ， .(0,)3（2）由正弦定理可知， ，即243sinisinabAB443sin,3sinaAbB43(si)ab43i3，2sincosAin6A又 为锐角三角形， ，即，ABC023B则 ，所以 ，23634sin46A综上 的取值范围为 .ab(,练习 3.在锐角 中，内角 、 、 的对边分别为 ，中线 ，满足 .（1）求 ；（2）若 ，求 周长的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】（1）由余弦定理可得：，即：由已知 得：即 又 为锐角三角形 （2）由正弦定理得：，则 的周长为：为锐角三角形且 即
12、 的周长练习 4. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】 （1）由题意及正弦定理得， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，故 （2）由正弦定理得， ，所以 ， ，所以 ， 由 得 ， 所以 ，故 ， 所以 的取值范围为 （五）实际问题中解三角形例 5. 如图，A，B 两点相距 2 千米， 甲从 A 点以 v 千米/小时的速度沿 AC 方向匀速直线行驶，同1x一时刻乙出发，经过 小时与甲相遇t（1）若 v = 12 千米/小时，乙从 B 处出发匀速直线追赶，为保证在 15 分钟内（含 15 分钟）能与
13、甲相遇，试求乙速度的最小值；（2）若乙先从 A 处沿射线 AB 方向以 千米/小时匀速行进 ( )小时后，再以 8 千米/小时的速16m0t度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下 v 的最大值【答案】(1)6.（2） 。163【解析】 （1）设乙速度为 x 千米/ 小时，由题意可知 ，22()(1)1cos30xttt整理得 .224346tt由于 ，所以104t 8t所以，当 即 t 时，x 2 取得最小值 36，263t9即 x 最小值为 6. 答：乙速度的最小值为 6 千米/小时.（2）由题意知8(t m )2(16m )2(vt) 2216 m vt cos30，两边同除以 t2 得：
14、219(8163)640vtt设 ,0mkt则有 192k2(12816 v)kv 2640，其中 k(0，1) ，即关于 k 的方程 在(0，1) 上有解，2219(8163)640v则必有 ，解得 ,22()49v163v当 时，可得 ，因此 v 为最大值为 .163v1(0,)3k6NQ答：甲的最大速度为 千米/小时.6NQ练习 1. 国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于 海里时，就会被警告.如图，设 ，是海岸线上距离 海里的两个观察站，满足 ，一艘外轮在 点满足 ， .（1） ， 满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当 时，间 处于什么范围内可
15、以避免使外轮进入被警告区域？【答案】 （1） （2）【解析】 （1）设外轮到我国海岸线的距离 为 海里，在 中， ，由正弦定理得 ，所以 ，在 中， ，当 ，即 时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.（2）当 时，要使不被警告，则 ，即 ，解得 ，所以 ， 即 ，又因为 ，所以 .当 时可以避免使外轮进入被警告区域.（六）三角形与向量数列的综合问题例 6. 设 的三内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，已知 、 、 成等比数列，且 .（I）求角 的大小；（）设向量 ， ，当 取最小值时，判断 的形状.【答案】 （I） ；（） 为锐角三角形.【解析】 （I）因为 、 、 成等比数列，则 .
16、由正弦定理得 .又 ，所以 因为 ，则 .因为 ，所以 或 .又 ，则 ，当且仅当 a=c 等号成立，即 故 .（）因为 ，所以 .所以当 时， 取得最小值.此时，于是 .又 ，从而 为锐角三角形.练习 1. 已知 ，设 （1）求 的最小正周期；（2）在ABC 中，已知 A 为锐角， ，BC=4，AB=3，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】 （1） 所以 ， 的最小正周期为 （2）因为 ，所以 ，由正弦定理得： ， = 练习 2. 已知在 中，角 ， ， 成等差数列，且 （1）求角 ， ， 的大小；（2）设数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，求 的值【答案】(1) ； ； (2) 或 【解析】 （1）由已知角 ， ， 成等差数列，可得 ，又 ，所以 ，又由 ，所以 ，所以 ，所以 为直角三角形， ；（2）所以 ，由解得 ，所以 ，所以 或 练习 3.已知 中， ， ，边 上一点 满足 ， .(I)证明： 为 的内角平分线；()若 ，求 .【答案】() 见解析 .（） .【解析】 （I）因为所以 ，又因为 ， ，所以 ，所以 为 的内角平分线. （方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（） 中， ， 中， ， ， ， ， ，中， ，中， ， ， .
