1、第 68 讲 圆锥曲线的综合应用( 一)(与最值、范围的综合)1(2018北京卷文节选)已知椭圆 M： 1(ab0)的离心率为 ，焦距为 2 .x2a2 y2b2 63 2斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k1，求|AB|的最大值(1)由题意得 解得 a ，b1.a2 b2 c2，ca 63，2c 22，) 3所以椭圆 M 的方程为 y 21.x23(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由 得 4x26mx 3m 230，y x m，x23 y2 1，)所以 x1x 2 ，x 1x2 .3m
2、2 3m2 34所以|AB| （x2 x1）2 （y2 y1）2 2（x2 x1）2 2（x1 x2）2 4x1x2 .12 3m22当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 .62(经典真题)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： 1(ab0)右焦点的直线x2a2 y2b2xy 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .312(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值(1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 1， 1， 1.x2
3、1a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2 y1x2 x1由此可得 1.b2x2 x1a2y2 y1 y2 y1x2 x1因为 x1x 22x 0，y 1y 22y 0， ，所以 a22b 2.y0x0 12又由题意知，M 的右焦点为( ，0) ，故 a2b 23.3因此 a26，b 23.所以 M 的方程为 1.x26 y23(2)由Error!解得Error!或Error!因此|AB| .463由题意可设直线 CD 的方程为 yxn( b0)的左、右顶点，x2a2 y2b2|AB|4，且离心率为 .22(1)求椭圆 的方程；(2)若点 P(x0， y0)(y00)为直线 x4 上任意一点
4、，PA，PB 交椭圆 于 C，D 两点，求四边形 ACBD 面积的最大值(1)依题意|AB|2a 4，所以 a2，又 e ，所以 c ，从而 b2a 2c 22.22 2所以椭圆方程为 1.x24 y22(2)设 P(4，t)(不妨设 t0)，则直线 PA 的方程为 y (x2)，直线 PB 的方程为 y (x2) ，t6 t2设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)由 得(18t 2)x24t 2x4t 2720.y t6（x 2），x24 y22 1，)则2x 1 ，所以 x1 ，4t2 7218 t2 36 2t218 t2于是 y1 (x12) .t6 12t18 t2由 得(2t
5、 2)x24t 2x4t 280.y t2（x 2），x24 y22 1，)则 2x2 ，所以 x2 ，4t2 82 t2 2t2 42 t2于是 y2 (x22) .t2 4tt2 2S 四边形 ACBDS ACB S ADB |AB|y1| |AB|y2|12 12 4( )3212 12t18 t2 4tt2 2 t3 6tt4 20t2 3632 32 .t 6tt2 36t2 20t 6t（t 6t）2 8设 ut ，则 u2 ， )，S 四边形 ACBD g(u)，6t 6 32u 8ug(u)在2 ，)递减，6故(S 四边形 ACBD)maxg(2 )2 .6 64(2018浙江
6、卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴) 一点，抛物线 C：y 24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围y24(1)设 P(x0，y 0)，A( y ，y 1)，B( y ，y 2)1421 142因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y 2 为方程( )24y y02 14y2 x02即 y22y 0y8x 0y 0 的两个不同的实根20所以 y1y 22y 0，因此，PM 垂直于 y 轴(2)由(1)可知所以|PM| (y y )x 0 y 3x 0，18 21 2 3420|y1 y2|2 .因此，PAB 的面积SPAB |PM|y1y 2| (y 4x 0) .12 324 20 32 因为 x 1(x 00)，20所以 y 4x 04x 4x 044，5 ，20 20因此，PAB 面积的取值范围是6 ， 215104
