1、第 53 讲 空间中的平行关系1下列命题正确的是(C)A若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行A 中两条直线可能平行或相交； B、D 中两平面可能平行或相交2已知 1， 2， 3 是三个相互平行的平面，平面 1， 2 之间的距离为 d1，平面2， 3 之间的距离为 d2.直线 l 与 1， 2， 3 分别相交于 P1，P 2，P 3.那么“P 1P2P 2P3”是“d1d 2”的(C)A充分而不必要条件 B必要
2、而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件因为面面平行，所以直线和平面所成的角相等，所以由“P 1P2P 2P3”可得“d1d 2”，反之也成立，故选 C.3(2018浙江卷)已知平面 ，直线 m，n 满足 m ，n ，则“m n”是“m ”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件因为若 m，n ，且 mn，则一定有 m，但若 m，n ，且 m ，则 m 与 n 有可能异面，所以“mn”是“m”的充分不必要条件4， ， 为不同的平面，a，b 为不同的直线，给出下列条件：a，a; ， ； ， ； a，a.其中能使 成立的条件的个数为 (B)A1 B
3、2C3 D4只有正确，选 B.5在单位正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 上的点，若 BD1平面 ACE，则DE .12连接 BD 交 AC 于 O，连接 EO，可知 EOBD1，故 E 为 DD1 的中点，故 DE .126下列命题：一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；一条直线和一个平面内无数条直线平行，这条直线与这个平面平行；一条直线与两个平行平面中的一个相交，则与另一个也相交；一条直线与两个平行平面中的一个平行，则与另一个也平行其中为真命题的序号是 .利用平面与平面平行的定义及判定定理可知为假命题，只有为真命题7(2017北京卷节选)如图，在四棱
4、锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PAPD ，AB4.求证：M6为 PB 的中点设 AC，BD 交于点 E，连接 ME，因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDBME，所以 PDME.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点8(2018广州模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 为 CC1 的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平面 BMN 交 AA1 于点 Q，则 AQ 的长为(D)A. B.23 12C. D.16
5、13作出 BMN 的截面交 AA1 于点 Q，如图(1)，由两平行平面的性质可知，NQMB，BQMN，所以四边形 BMNQ 为平行四边形，取 D1D 的中点 M，则 NQ AM，如图(2)，所以 AQNMD 1MD 1N1 .23 139在ABC 中，AB 5，AC 7，A60 ，G 是ABC 的重心(三条中线的交点) ，过 G 作平面 与 BC 平行，ABM，AC N，则 MN .2393在ABC 中，AB 5，AC7，A60 ，利用余弦定理可以求得 BC ，39因为 BC，平面 ABC MN，所以 MNBC，因为 G 是ABC 的重心， ，所以 MN .MNBC 23 239310(201
6、8天津卷节选)如图， ADBC 且 AD2BC，ADCD，EGAD 且EGAD，CDFG 且 CD 2FG，DG平面 ABCD，DADCDG2.若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面 CDE.(方法 1)取 GD 的中点 K，连接 NK，KM，在GED 中，由中位线定理得 NKED，又 NK平面 CDE，ED平面 CDE，所以 NK平面 CDE.在梯形 DCFG 中，由 K，M 分别是 GD，FC 的中点，可得 KMDC ，同理可得 KM平面 CDE.因为 NKKMK，所以平面 KNM平面 CDE.又 MN平面 KMN，所以 MN 平面 CDE.(方法 2)依题意，可以
7、建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴、y 轴、zDA DC DG 轴的正方向的空间直角坐标系( 如图) ，可得 D(0，0，0)，A (2，0，0)，B(1，2，0) ，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F(0，1，2) ，G(0，0 ，2) ，M(0， ，1)，N(1 ，0，2) 32依题意得 (0，2，0)， (2 ，0，2)DC DE 设 n0(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，则 n0DC 0，n0DE 0，)即 不妨令 z1，2y 0，2x 2z 0.)可得 n0(1 ，0 ，1)又 (1， ，1)，可得 n00.MN 32 MN 又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE.
