1、矩 形,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.,矩形,即：,矩形是特殊的平行四边边形。它具有平行四边形 的一切性质。即,对边平行且相等.,对角相等,邻角互补.,对角线互相平分.,矩形的一般性质,边：,角：,对角线：,从边、角、对角线三个方面进行考虑，你能发现矩形有什么特有的性质吗？请以小组的形式讨论总结。,A,D,C,B,矩形的邻边垂直,A,B,C,D,矩形的四个角都是直角,已知：四边形ABCD是矩形 求证：A=B=C=D=90,证明：矩形ABCDABCDB+C=180 C=90 B=90A=B=C=D=90,定理证明1,已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC= BD,证明：
2、矩形ABCD, ABC = DCB = 90, AB = DC,又BC = CB,ABCDCB（SAS）,AC = BD,矩形的对角线相等,图中共有几个三角形？它们分别是什么三角形？,定理证明2,注：矩形的两条对角线把矩形分成了四个 等腰三角形,和四个直角三角形。,解题指导：矩形问题,通过对角线 转化,直角三角形或等腰三角形,探究,等腰三角形：,OAB OBC OCD OAD,直角三角形：,RtABC RtBCD RtCDA RtDAB,O,OA,OB,OC,OD这4条线段有什么数量关系？,A,B,C,O,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半., 在RtABC中, O是AC的中点， BO= A
3、C.,直角三角形的一个性质,几何语言：,（2）BO,AC分别是RtABC的什么线段？,（3） BO与AC 有什么数量关系？为什么？,（4） 由此，你能得出什么结论？,（1）OA,OB,OC,OD这4条线段有什么数量关系？,矩形的性质,A,B,C,D,矩形的对边平行且相等.,对角线互相平分且相等,对称性,矩形是轴对称图形，,推论：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,矩形问题,通过对角线 转化,直角三角形或等腰三角形,（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）A.内角和是360度 B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线相等,（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）A.对角线相等 B
4、.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线垂直,D,D,基础过关,（3）四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？,O,A,B,C,D,公平，因为OA=OC=OB=OD,基础过关,（4）在RtABC中, 两条直角边分别是6和8.则斜边上的 中线长为 。,5,A,O,B,C,（3）,（4）,例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长？, OA=OB, AOB=60, AOB是等边三角形, OA=AB=4, AC=BD=2OA=8,解： 矩形ABCD,方法小结: 如果矩形两对
5、角线的夹角是60或120, 则其中必有等边三角形., AC与BD相等且互相平分,例2:在矩形ABCD中，AEBD，且交CB的延长线于点E，求证：EAB=CAB,O,例2:在矩形ABCD中，AEBD，且交CB的延长线于点E，求证：EAB=CAB,又 矩形ABCD,法一：, AC与BD相等且互相平分,O, OA=OB, CAB=1,证明: AEBD, EAB=1, EAB=CBA,1,例2:在矩形ABCD中，AEBD，且交CB的延长线于点E，求证：EAB=CAB,证明 矩形ABCD,法二：, ADEB ，,O,又 AEBD, 四边形AEBD是平行四边形, EAB=CBA, AE=BD,又 ABC=
6、90, AE=AC,（等腰三角形的三线合一）,AC=BD,例2:在矩形ABCD中，AEBD，且交CB的延长线于点E，求证：EAB=CAB,证明 矩形ABCD,法三：, ADEB ，,O,又 AEBD, 四边形AEBD是平行四边形, EAB CBA（SAS）, AD=EB,又 ABC=90,AB=AB, EB=BC, EAB=CBA,AD=BC,归纳小结,两组对边 分别平行,一个角 是直角,(1)知识结构图,(2)矩形不同于平行四边形的两条性质和推论,(3)解题指导：矩形问题,通过对角线 转化,直角三角形或等腰三角形,（6）在矩形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，ED=5,EC=3,求矩
7、形的周长及对角线的长,课堂练习,A,D,C,B,E,5,3,（4）在矩形ABCD中，AEBD于E，若BE=OE=1，则AB= , AC,B,C,D,E,A,O,4,2,课堂练习,1,1,（5）如图，在矩形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E,ED=5,EC=3,求矩形的周长及对角线长。,课堂练习,5,3,例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长？,变式：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AC=8,求AB的长？,请你补充一个条件，使得问题可以解决。,（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）A.内角和是360度 B.对角相等 C.对
8、边平行且相等 D.对角线相等,（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线垂直,D,D,（3）已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线所夹锐角的度数为 （ ）,A50 B60 C70 D80,D,课堂练习,猜想1：矩形的四个角都是直角,猜想2：矩形的对角线相等,A,B,C,D,矩形的特殊性质,有两组对边分别平行的四边形.,对边相等 邻边不相等,对角相等 邻角不相等,对边相等 邻边相等,对角相等 邻角相等,四条边都相等,四个角都相等,19.2特殊的平行四边形,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.,矩形,即：,
9、生活中的矩形,两组对边 分别平行,一个角 是直角,矩形有什么性质？,有平行四边形的所有性质,还有其它特殊的性质,矩形的对边平行且相等.,矩形的对角相等.,矩形的对角线互相平分.,矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）,猜想1：矩形的四个角都是直角,猜想2：矩形的对角线相等,A,B,C,D,矩形的特殊性质,矩形的四个角都是直角,已知：四边形ABCD是矩形 求证：A=B=C=D=90,证明：四边形ABCD是平行四边形， C=90A=C=90 B+C=180 B=180C=90D=B=90即A=B=C=D=90,定理证明,已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD,证明：在矩形ABCD中,AB
10、C = DCB = 90,又AB = DC ， BC = CB,ABCDCB（SAS）,AC = BD,矩形的对角线相等,定理证明,矩形的性质,矩形的对边平行且相等.,对称性,矩形是轴对称图形， 也是中心对称图形.,A,B,C,O,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,在RtABC中, BO是斜边AC上的中线， 则BO= AC.,直角三角形的一个性质,即：,D,证明: 延长BO至D，使OD=BO连结AD、DC.,AO=OC, BO=OD 四边形ABCD是平行四边形.,ABC=90,AC=BD,已知：在RtABC中ABC=90，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC,定理证明,在矩形AB
11、CD中，找出相等的线段与相等的角.,小练习,AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD,DAB=ABC=BCD=CDA=90 AOB=DOC AOD=BOC OAB=OBA=ODC=OCD OAD=ODA=OBC=OCB,等腰三角形：,OAB OBC OCD OAD,直角三角形：,RtABC RtBCD RtCDA RtDAB,全等三角形：,RtABC RtBCD RtCDA RtDAB OABOCD OADOCB,在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形.,小练习,矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长。,解：
12、 四边形ABCD是矩形， AC与BD相等且互相平分. OA=OB。又 AOB=60， OAB是等边三角形. 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=24=8（cm）.,矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm。求AD的长及点A到BD的距离AE的长。,解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在 RtABD中，由勾股定理： AD2+AB2=BD2 解得x=6。则 AD=6cm。AEDB= ADAB 解得 AE= 4.8cm.,“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB= ADAB,已知：矩形ABCD中，E
13、是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC. 求证：CEEF。,脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.,对角线段皆相等，相互交叉且平分.,内有直角三角形，斜边中线半斜边.,若要牢记其定义，直角平行四边形.,矩形之歌,矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.,矩形的性质：,具有平行四边形的一切特征.,四个角都是直角.,对角线相等且平分.,直角三角形的一个性质：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,1. 填空： （1）矩形的定义中有两个条件：一是_ ，二是_ . （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_、_ 、 _ 、 _ 。 （3）已知矩形的一条对
14、角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_ cm， _ cm， _ cm，_ cm。,有一个角是直角,平行四边形,60,60,120,120,5,5,2.下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分。 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形。 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 3. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对,C,B,4. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD, EF=GH （2）摆放成如图
15、（2）的四边形，则这时窗框的形状是，根据的数学道理是 （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边 框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格，这时窗框是，根据的数学道理 是,平行四边形,两组对边分别相等的,矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,四边形是平行四边形,5. 用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是( )A. 48cm,12cm B. 48cm,16cm; C. 44cm,16cm D. 45cm,15cm.,D,6. 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平
16、吗?为什么？,O,A,B,C,D,公平，因为OA=OC=OB=OD,10. 小明想要做一个矩形像框，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？,19.2.1矩形(2),学习目标：,1、理解并掌握矩形的判定方法。 2、能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。,你还记得吗？,1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2矩形有哪些性质？ 3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？,请你来帮忙,甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识帮助检测一个窗框ABCD是不是矩形，他们各自做了检测。你认为他
17、们的方法对吗？,甲同学先用刻度尺量得AB=CD，AD=BC，然后又用量角器量得其中一个内角DAB=90，因此甲判定这个四边形ABCD是矩形。,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,请你来帮忙,乙同学认为甲的方法太复杂，他只用量角器量得这个四边形的三个内角DAB 、 ABC、BCD都是90，他就判定这个四边形ABCD是矩形。,请你来帮忙,有三个角是直角的四边形是矩形。,丙同学想了一下，他决定用与他们不同的方法来判断。他先用刻度尺量得AB=CD，AD=BC，然后又量得这个四边形的两条对角线AC=BD，他就判定这个 四边形是矩形。,请你来帮忙,对角线相等的平行四边形是矩形。,O,我们来总结,矩形的判
18、定方法：,1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。,2、对角线相等的平行四边形是矩形。,3、有三个角是直角的四边形是矩形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。,你来评判,1、下列各句判定矩形的说法是否正确？,（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 ( ),应用新知,应用新知,要判定一个四边形是
19、矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。,课堂过关：,1、下列说法正确的是（ ） （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形 （B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2、满足下列条件（ ）的四边形是矩形. （A）有三个角相等 （B）有一个角是直角 （C）对角线相等且互相垂直 （D）对角线相等且互相平分,3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。,5工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使ABCD，EFGH； 摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；,有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形判定方法1,有三个角是直角的四边形是矩形。,矩形判定方法2,对角线相等的平行四边形是矩形。,矩形判定方法3,归纳小结,作业：,习题19.2第2、3题。,祝同学们学习快乐,
