1、21 离散型随机变量及其分布列21.1 离散型随机变量1.理解随机变量的意义 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子3理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量1随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)表示：随机变量常用字母 X，Y， ， ，表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的 判断正误(正确
2、的打“” ，错误的打 “”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数( )(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( )(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值( )答案：(1) (2) (3) 如果 X 是一个离散型随机变量且 YaXb，其中 a，b 是常数且 a0，那么 Y( )A不一定是随机变量B一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C可能是定值D一定是离散型随机变量答案：D一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出 3 个篮球，以 表示取出的篮球的最大号码，则 8 表示的试验结果有_种答案：21探究点 1 随机变量的概念判断下列各
3、个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)北京国际机场候机厅中 2018 年 5 月 1 日的旅客数量；(2)2018 年 1 月 1 日到 6 月 1 日期间所查酒驾的人数；(3)2018 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长.【解】 (1)旅客人数可能是 0，1，2，出现哪一个结果是随机的 ，因此是随机变量(2)所查酒驾的人数可能是 0，1，2，出现哪一个结果是随机的 ，因此是随机变量(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的， 因此是随机变量(4)球的体积为 1 000 cm3 时，球的半径为定值，不
4、是随机变量 判断一个试验是否为随机试验的方法判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即 (1)试验在相同条件下是否可重复进行；(2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币 5 次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数( 最上面的数字)中的最小值；(4)某个人的属相解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是 0 环，1 环， ，10 环，结果只
5、有其中一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)任意掷一枚硬币 1 次，可能出现正面向上也可能出现反面向上 ，因此投掷 5 次硬币，出现正面向上的次数可能是 0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量(3)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是 1，2， 3，4，5，6，因此是随机变量(4)属相是人出生时便确定的，不是随机变量探究点 2 离散型随机变量的判定指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由(1)从 10 张已编好号码的卡片( 从 1 号到 10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)某林场中的树木最高达 30 m，则此林场中树木的高度【解】 (
6、1)是离散型随机变量因为只要取出一张，便有一个号码 ，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义(2)不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变量 ，它可以取(0 ，30内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：判断随机变量 X 的所有取值是否可以一一列出(2)具体方法明确随机试验的所有可能结果将随机试验的试验结果数量化确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由(1)某超市 5 月份每天的销售额；(2)某加工厂加
7、工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0 ，29这一范围内变化，该水位站所测水位 .解：(1)是离散型随机变量某超市 5 月份每天的销售额可以一一列出 ，故为离散型随机变量(2)不是离散型随机变量实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出 ，不是离散型随机变量(3)不是离散型随机变量，水位在(0 ，29这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量探究点 3 用随机变量描述随机现象写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一个袋中装有 8 个红球，3 个白球，从中任取 5 个球，其中所含黑球的个数为 X.(2
8、)一个袋中有 5 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4 ，5，从中任取 3 个球，取出的球的最大号码记为 X.【解】 (1)X0 表示取 5 个球全是红球；X1 表示取 1 个白球，4 个红球；X2 表示取 2 个白球，3 个红球；X3 表示取 3 个白球，2 个红球(2)X3 表示取出的球编号为 1，2，3.X4 表示取出的球编号为 1，2，4；1，3，4 或 2，3，4.X5 表示取出的球编号为 1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5 或 3，4，5.变条件 在本例(1)的条件下，规定取出一个红球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，以 表示赢得的钱数，结果如何？
9、解： 10 表示取 5 个球全是红球； 7 表示取 1 个白球，4 个红球； 4 表示取 2 个白球，3 个红球； 1 表示取 3 个白球，2 个红球用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果(1)一个人要开房门，他共有 10 把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为 X；(2)在一个盒子中，
10、放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2| yx|.解：(1)X 可能取值为 1，2，3，10.Xn 表示第 n 次打开房门 (2)因为 x，y 可能取的值为 1，2，3，所以 0|x2| 1，0| xy |2，所以 0X3，所以 X 可能的取值为 0，1，2，3，用(x，y) 表示第一次抽到卡片号码为 x，第二次抽得号码为 y，则随机变量 X 取各值的意义为：X0 表示两次抽到卡片编号都是 2，即(2，2) X1 表示(1 ， 1)，(2，1)，(2，3)，(3 ，3)X2 表示(1 ， 2)，(3，2)X3 表示(1
11、 ， 3)，(3，1).1下面给出四个随机变量：某高速公路上某收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 是一个随机变量；一个沿直线 yx 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置 Y 是一个随机变量；某网站未来 1 小时内的点击量；一天内的温度 .其中是离散型随机变量的为( )A BC D 解析：选 C.是，因为 1 小时内经过该收费站的车辆可一一列出不是，质点在直线yx 上运动时的位置无法一一列出是，1 小时内网站的访问次数可一一列出不是，1 天内的温度 是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数 ，无法一一列出2掷两颗骰子，所得点数之和为 ，那么 4 表示的随机试验结果是( )A一颗是 3
12、 点，一颗是 1 点B两颗都是 2 点C两颗都是 4 点D一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点解析：选 D.因为 4 表示两个骰子之和为 4，有(3，1) ，(1，3)，(2 ，2)，即 4 表示的随机试验结果是一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点，故选 D.3写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件(1)在含有 5 件次品的 200 件产品中任意抽取 4 件，其中次品件数 X 是一个随机变量；(2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含黑球的个数 Y 是一个随机变量解：(1)随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.X
13、0，表示“抽取 0 件次品” ；X1，表示“抽取 1 件次品” ；X2，表示“抽取 2 件次品” ；X3，表示“抽取 3 件次品” ；X4，表示“抽取 4 件次品” (2)随机变量 Y 的可能取值为 0，1，2，3.Y0，表示“取出 0 个黑球，3 个白球” ；Y1，表示“取出 1 个黑球，2 个白球” ；Y2，表示“取出 2 个黑球，1 个白球” ；Y3，表示“取出 3 个黑球，0 个白球” 知识结构 深化拓展1.随机变量与函数的关系2.离散型随机变量的特征(1)可用数值表示(2)试验之前可以判断其出现的所有值(3)在试验之前不能确定取何值(4)试验结果能一一列出.相同点随机变量和函数都是一
14、种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域, A 基础达标1某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X；某人射击 2 次，击中目标的环数之和记为 X；测量一批电阻，在 950 1 200 之间的阻值记为 X；一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为 X.其中是离散型随机变量的是( )A BC D解析：选 A.根据离散型随机变量的定义知 ，是离散型随机变量210 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A取到产品的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数
15、 D取到次品的概率解析：选 C.A 中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B，D 也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0，1，2，是随机变量3袋中有大小相同的红球 6 个，白球 5 个，从袋中每次任意取出 1 个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 X，则 X 的可能取值为( )A1，2，3，6 B1，2，3，7C0，1，2，5 D1，2，5解析：选 B.由于取到白球取球停止 ，所以取球次数可以是 1，2，3，7.4(2018河北徐水一中月考) 某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ，则“ 5”表示的试验结果是( )A第 5 次击
16、中目标 B第 5 次未击中目标C前 4 次均未击中目标 D第 4 次击中目标解析：选 C.击中目标或子弹打完就停止射击 ，射击次数 5，则说明前 4 次均未击中目标5袋中装有大小和颜色均相同的 5 个乒乓球，分别标有数字 1，2，3，4，5，现从中任意抽取 2 个，设两个球上的数字之积为 X，则 X 所有可能值的个数是( )A6 B7C10 D25解析：选 C.X 的所有可能值有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共计 10 个6给出下列四个命题：某次数学期中考试中，其中一个考场 30 名考生中做对选择题第 12 题的人数是随机变量；黄河每年的最大流量是随机变量；某体育
17、馆共有 6 个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；方程 x22x30 根的个数是随机变量其中正确的是_解析：是正确的，中方程 x22x30 的根有 2 个是确定的，不是随机变量答案：7已知 Y2X 为离散型随机变量，Y 的取值为 1，2，3，4，10，则 X 的取值为_解析：由 Y2X 得 X Y.12因为 Y 的取值为 1，2，3，4，10，所以 X 的取值为 ，1，2，3，4，5.12 32 52 72 92答案： ，1，2，3，4，512 32 52 72 928在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分，则这名同学回答这三个问题的
18、总得分 的所有可能取值是_解析：若答对 0 个问题得分300；若答对 1 个问题得分100；若答对 2 个问题得分 100；若问题全答对得分 300.答案：300，100，100，3009某车间三天内每天生产 10 件某产品，其中第一天、第二天分别生产了 1 件、2 件次品，而质检部门每天要在生产的 10 件产品中随机抽取 4 件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得 0 分，通过一天、两天分别得 1 分、2 分，设该车间在这两天内总得分为 ，写出 的可能取值解： 的可能取值为 0，1，2. 0 表示在两天检查中均发现了次品； 1 表示
19、在两天检查中有 1 天没有检查到次品，1 天检查到了次品； 2 表示在两天检查中都没有发现次品10小王钱夹中只剩有 20 元、10 元、5 元、2 元和 1 元的人民币各一张他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用 X 表示这两张人民币的金额之和写出 X 的可能取值，并说明所取值表示的随机试验的结果解：X 的可能取值为(单位：元 )：3，6，7，11，12，15， 21，22，25，30.其中 X3 表示抽到的是 1 元和 2 元，X6 表示抽到的是 1 元和 5 元，X7 表示抽到的是 2 元和 5 元，X11 表示抽到的是 1 元和 10 元，X12 表示抽到的是 2 元和 10 元，X15 表
20、示抽到的是 5 元和 10 元，X21 表示抽到的是 1 元和 20 元，X22 表示抽到的是 2 元和 20 元，X25 表示抽到的是 5 元和 20 元，X30 表示抽到的是 10 元和 20 元B 能力提升11一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于 5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同) ，设他拨到所要号码时已拨的次数为 ，则随机变量 的所有可能取值的种数为( )A20 B24C4 D18解析：选 B.由于后四位数字两两不同 ，且都大于 5，因此只能是 6，7，8，9 四位数字的不同排列，故有 A 24 种412抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出
21、的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 X，则“X4”表示的试验结果是_解析：因为一枚骰子的点数可以是 1，2，3，4，5，6 六种结果之一，由已知得5X5，也就是说“X4”就是“X5” 所以， “X4”表示两枚骰子中第一枚为 6点，第二枚为 1 点答案：第一枚为 6 点，第二枚为 1 点13下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔，从中任意取出 3 支，其中所含白粉笔的支数 X，所含红粉笔的支数 Y；(2)离开天安门的距离 Y；(3)袋中有大小完全相同的红球 5 个，白球 4 个，
22、从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数 X.解：(1)X 可取 1，2，3.Xi表示取出 i 支白粉笔，3i 支红粉笔，其中 i1，2，3.Y j表示取出 j 支红粉笔，3j 支白粉笔，其中 j0，1，2.(2)Y 可取0，)中的数Yk 表示离开天安门的距离为 k(km)不是离散型随机变量(3)X 可取所有的正整数Xi表示前 i1 次取出红球，而第 i 次取出白球，这里 iN *.是离散型随机变量14(选做题) 一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为 .(1)列表说明可能出现的结果与对应的 的值；(2)若规定抽取 3 个球中，每抽到一个白球加 5 分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上 6 分求最终得分 的可能取值，并判定 的随机变量类型解：(1) 0 1 2 3结果 取得 3 个黑球取得 1 个白球 ，2 个黑球取得 2 个白球，1 个黑球取得 3 个白球(2)由题意可得 5 6，而 可能的取值范围为0，1，2，3 ，所以 对应的各值是：506，516，526，536.故 的可能取值为6，11，16，21 ，显然 为离散型随机变量
