1、章末复习课,第二章 随机变量及其分布,学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.,4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题. 5.通过实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.条件概率的性质 (1)非负性：0P(B|A
2、)1. (2)可加性：如果B和C是两个互斥事件， 则P(BC|A)P(B|A)P(C|A). 2.相互独立事件的性质 (1)推广：一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An). (2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(AB).,P(A1)P(A2)P(An),P(A)P(B)P(AB),3.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. (4)随机变量是n次独立重复试验中某事件发生的次数. 4
3、.均值与方差的性质 (1)若ab(a，b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，且E()E(ab) . (2)D(ab) . (3)D() .,aE()b,a2D(),E(2)E()2,5.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(X) . (2)P(2X2) . (3)P(3X3) .,0.682 6,0.954 4,0.997 4,题型探究,例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？,解 记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球. 从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件
4、共65个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有45个，,解答,类型一 条件概率的求法,(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？,解 从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个； 第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有43个，,解答,(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？,解 利用条件概率的计算公式，,解答,条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法,反思与感悟,在古典概型下，n(
5、AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数.,跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.,解答,方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，n(B)6. “掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n(AB)3.,解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.,例2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 现安排甲组研发
6、新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发 相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；,类型二 互斥、对立、独立事件的概率,解答,解 记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功.,(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.,解答,解 设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.,故所求的分布列为,在本类题求解中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式 (1)P(A)1P( ). (2)若事件A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B). (3)若事件A，B是互斥事件
7、，则P(AB)P(A)P(B).,反思与感悟,跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率；,解答,解 设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，,因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5.由对立事件的概率公式，,(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求P(1).,解答,解 由题意，知的可能取值为0,1,2,3.,所以P(1)P(0)P(1)0.45.,例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子
8、质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布列；,类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差,解答,解 由已知，随机变量的取值为2,3,4,5,6. 设掷一个正方体骰子所得点数为0，,故的分布列为,(2)若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E()，D().,解答,求离散型随机变量的均值与方差的步骤,反思与感悟,跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立.,解答,(1)分别求甲队以3
9、0,31,32胜利的概率；,解 记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，,(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及均值.,解答,解 设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，,由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性，得,故X的分布列为,例4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，
10、回答不正确得10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和均值；,解答,类型四 概率的实际应用,解 三个问题均答错，得00(10)10(分). 三个问题均答对，得10102040(分). 三个问题一对两错，包括两种情况： 前两个问题一对一错，第三个问题错， 得100(10)0(分)； 前两个问题错，第三个问题对，得002020(分). 三个问题两对一错，也包括两种情况： 前两个问题对，第三个问题错， 得1010(10)10(分)；,第三个问题对，前两个问题一对一
11、错，得2010030(分). 故的可能取值为10,0,10,20,30,40. P(10)0.20.20.40.016，,P(10)0.80.80.40.256， P(20)0.20.20.60.024，,P(40)0.80.80.60.384.,所以的分布列为,所以E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.,(2)求这位挑战者总得分不为负分(即0)的概率.,解答,解 这位挑战者总得分不为负分的概率为 P(0)1P(0)10.0160.984.,解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件，易于解
12、题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想.,反思与感悟,跟踪训练4 某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程).,解答,随机变量X的分布列是,当堂训练,1.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为,2,3,4,5,1,解析,解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子
13、出现的点数是奇数为事件B，,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,解析 设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，,3.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,解析 由正态分布的概率公式，知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，,2,3,4,5,1,解
14、析,答案,5.盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 取出的白球个数可能取值为0,1,2. 0时表示取出的两个球都为黑球，,1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球，,2表示取出的两个球均为白球，,2,3,4,5,1,即D()E(2)E()21.81.220.36.,规律与方法,1.条件概率的两个求解策略,其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.,2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系. (3)公式“P(AB)1P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.,3.求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.,本课结束,
