1、专题 21 计数原理及随机变量分布列【训练目标】1、 掌握两个 计数原理解决实际问题； 2、 掌握排列的定义，排列数的计算，掌握常见的几种排列问题；3、 掌握组合的定义，组合数的计算，掌握常见的几种组合问题；4、 掌握排列组合的综合问题；5、 能利用排列组合的方法求解概率问题；6、 能正确的列出简单随机变量的分布列，掌握期望和方差的求法；7、 掌握二项分布的期望和方差公式；8、 掌握正态分布曲线的性质及实际应用。9、 掌握二项式定理，会利用二项式的通项公式求指定项，会利用赋值法求展开式的系数和。【温馨小提示】此类问题 在高考中，一般与概率问题综合在一起考查，有小题也有大题，所占分值比重较大，但
2、难度中等，属于必拿分题。在练习中，要多加思考，总结方法。【名校试题荟萃】1、某高校安排 名大学生到 个单位实习，每名大学生去一个单位，每个单位至少安排一名大学生，则不同的安排方法的种数为_.（用数字作答）【答案】240 2、现将 个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村 1 个名额，一个村 2个名额，一个村3 个名额，一个村 4 个名额，则不同的分配方案种数为_.【答案】24 【解析】将 个扶贫款的名额分成四份，四份的名额依次是 1 个、2 个、3 个和 4 个，分到 4 个村共有种分配方法.3、在 2019 年高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级某日 5 名同学去食堂就餐，有米饭
3、，花卷，包子和面条四种主食每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为 【答案】132【解析】分两种情况讨论：（1）甲选花卷有 种，（2）甲不选花卷，则甲选包子或面条，有 2种选法，在从剩下的 4 人中选一人选花卷，有 4 种选法，在剩下的三人中，若有一人与甲相同，则有种，若没有人与甲相同，则有 种，所以共有种，故总共有 种.4、现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种（用数字作答）【答案】5 45、各
4、大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 个专业中，选择 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）【答案】180【解析】分三类情况讨论，一是选 甲不选乙，有 ，二是选乙不选甲，有 ，三是既不选甲也不选乙,有，所以共有6、袋中有形状、大小都相同的 只球,其中 只白球, 只红球, 只黄球,从中一次随机摸出 只球,则这只球颜色不同的概率为_.【答案】【解析】由古典概型概率公式,得所求事件的概率为.7、 的二项展开式中，常数项是_（用数字作答）【答案】160【解析】的二项展开式的通项为，令，所以常数项为
5、。8、计箅的值为_.(用数字作答）【答案】【解析】原题是 的展式，故可知为 .9、已知，则二项式 展开式中 的系数为_.【答案】10、若二项式 的展开式的第三项是常数项，则 =_.【答案】6【解析】展开式的第三项为，因为第三项是常数项，所以，即 .11、设的展开式中的常数项为 ，则 _【答案】【解析】 的展开式中的常数项为.所以 .12、设 为正整数， 展开式中仅有第 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_【答案】11213、展开式中，各项系数之和为 ，则展开式中的常数项为_【答案】200【解析】令 ，则 ，即 ，因为 的展开式的通项为，所以展开式 中常数项为，即常数项为.14、设，则 等
6、于_.【答案】15、设的展开式的各项系数之和为 ，二项式系数之和为 ，若， 则 _. . 【答案】4【解析】由题意得：令 ， ，所以。 16、若，则 .（用具体数字作答）【答案】31【解析】因为令 ，有令 ，有两式相减 得 故答案为 .17、若，则_【答案】122【解析】令 可得,令 可得，以上两式两边相减可得,即.18、若，则_【答案】19、已知某随机变量 的分布列如下（ ）：，则随机变量 的数学期望 _.【答案】【解析】因为利用概率和为 ，得到,那么.20、从 、 、 、 、 这 个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是_【答案】8.5【解析】从 、 、 、 、 中任取不同的两个
7、数，其乘积 的值为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，取每个值的概率都是 ，. 21、已知某离散型随机变量 服从的分布列如图，则随机变量 的方差 等于_.【答案】22、某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了 100 名学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数 和众数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中玩电脑游戏时长在 的学生中，男生比女生多 1 人，现从中选 3 人进行回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与期望 【答案】（1） ， ；（2）详见解析.【解析】（1）
8、,（2）样本中玩电脑游戏时长在 的学生为人，其中男生 3 人，女生 2 人，则 的可能取值为1，2，3, ,.的分布列为1 2 3所以. 23、某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于 80 小时的社区服务教育部门在全市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据,按时间段（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示（1）求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任 意选取 3 位学生,记 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90小
9、时的人数试求随机变量 的分布列和数学期望 【答案】（1） ； （2）（2）由（1）可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其 参加社区服务时间不少于 90 小时的概率为 由已知得,随机变量 的可能取值为 , 则；随机变量 的分布列为0 1 2 3因为,所有 24、某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为 ，第二道工序检查合格的概率为 ，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器（1）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（2）若生产一台仪
10、器合格可盈利 万元，不合格则要亏损 万元，记该厂每月的赢利额为 ，求 的分布列和每月的盈利期望【答案】（1） （2）分布列见解析，所以赢利额 的数额可以为 ，当 时，当 时，当 时，当 时，所以 的分布列如下：每月的盈利期望，所以每月的盈利期望值为 万元25、在如图所示的正方形中随机投掷 个点，则落入阴影外部（曲线 为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若,则，A. B. C. D.【答案】D26、已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为， 由正态分布的对称性知， 与 关于对称轴 对称，从而，所以 ，故选 C27、设随机变量，若
11、 的数学期望 ，方差 ，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，故选 D28、某厂生产的零件外直径 ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 和 则可认为（ ）A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常C.上、下午生产情况均正常 D.上、下午生产情况均异常【答案】A29、据统计，2018 年夏季某旅游景点每天的游客人数服从正态分布则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过 1300 的概率为（ ）附：若则，.A. B. C. D.【答案】D【解析】因为 2018 年夏季某旅游景点每天的游客人数 服从正态分布， ，故选 D
12、.30、从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .利用该正态分布，求；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用的结果，求 .附： 12.2.若 ，则=0.6826， =0.9544.【答案】（1） （2） （2）由(1)知, ,从而；由知,一件产品的质量指标值位于区间的概率为 0.6826,依 题意知,所以.
