1、 离散型随机变量的均值与方差跟踪知识梳理考纲解读：1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简 单 实际问题.考点梳理：1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn(1)均值称 E(X)x 1p1 x2p2x ipix npn 为随机变量 X 的 均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称 D(X) _(xiE( X)2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的n i 1平均偏离程度，其算术平方根 为随机变
2、量 X 的标准差.D(X)2.均值与方差的性质(1)E(aXb) aE(X)b.(2)D(aXb)a 2D(X)(a，b 为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D (X)p(1p) .(2)若 X B(n，p)，则 E(X)np，D(X) np(1p).提醒：1.若 x1，x 2 相互独立，则 E(x1x2)E(x 1)E(x2).2.均值与方差的关系：D(X) E(X 2)E 2(X).3.超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X) .nMN核心能力必练一、选择题1(2019 宁波期末)一个箱子中装有形状完全
3、相同的 5 个白球和 n(nN *)个黑球.现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)1，则 E(X)( )A.1 B.2 C.3 D.42已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 （ ）X,Bnp30,2EpA B C D13231553若随机变量 ， ，则 ( ),(pn9E， pA. B. C. D. 234若随机变量 的分布列如下表，其中 ，则下列结果中正确的是（ ）0,1m0 1PnA B3,EmDn 2,EmDnC D2115已知 ，且 ，则 等于( )(,)Bp()7,()6EpA. B. C. D.765146设随机变量 ，若 ，则 和
4、的值分别是（ ）(5,0.)EDA 和 B 和 25424C 和 D 和1157设随机变量 的分布列为下表所示，且 ，则 （ ）.6Eab0 1 2 3p0.1 b0.1A0.2 B0.1 C0.2 D0.48有 5 支竹签，编号分别为 1，2 ，3，4，5 ，从中任取 3 支，以 X 表示取出竹签的最大号码，则 EX 的值为（ ）A4 B4.5 C4.75 D59随机变量 的分布列如表所示， ，则实数 的值为( )X2EXaa34P1b6A. B. C. D.013 3210某班有 的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出 5 名学生，那么其中数学成绩4优秀的学生数 服从二项分布 ，则 的值
5、为（ ）1(5,)4B()EA B C D1411已知 ，随机变量 的分布列如下表，则当 增大时 （ ）02aa10 1Pa2A. 增大， 增大 B. 减小， 增大EDEDC. 增大， 减小 D. 减小， 减小12甲命题：若随机变量 ，若 ，则 .乙命题：随2(3,)N(2)0.3P(4)07P机变量 ，且 ， ，则 ，则正确的是（ ）(,)Bnp0ED1pA甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确C甲错误，乙也错误 D甲正确，乙也正确13据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为 0.2，有大洪水的概率为 0.05该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围
6、墙，需花费 4000 元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为 30 000 元方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失 15000 元，大洪水来临将损失 30000 元以下说法正确的是（ ）A方案一的平均损失比方案二的平均损失大B方案二的平均损失比方案一的平均损失大C方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算14若 是离散型随机变量， 且 ，又X121(),()33PXxx2x，则 的值为（ ）42(),()39E12A3 B C D5715设随机变量 ，随机变量 ，若 ，则,Xp:3,YBp:519PX（ ）1
7、DYA B C D 来源:Z.xx.k.Com236716甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率23为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为（ ）13 EA B C D4881274816702417已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 ，则 的值分别是(),()1X,ab（ ） 10 1 2Pabc1A. B. C. D.51,2485,623,55,124二、填空题18(2019 北京延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个
8、随机变量X，Y，其分布列分别为：X 0 1 2 3来源:ZXXKP 0.4 0.3 0.2 0.1Y 0 1 2P 0.3 0.5 0.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.19已知随机变量 的分布列如下表所示，则 .X(68)EX123P040.20已知随机变量 ， ，则 ，标准差 5,.2XBYX()EYY21设 为非负实数，随机变量 的分布列如下表，则 的最大值为_.p()D0 1 212pp1三、解答题22某大学依次进行 科、 科考试，当 科合格时，才可考 科，且两科均有一次补ABAB考机会，两科都合格方通过甲同学参加考试，已知他每次考 科合格的概率均为 ，每A23
9、次考 科合格的概率均为 .假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响B12（1 ）求甲恰好 次考试通过的概率；3（2 ）记甲参加考试的次数为 ，求 的分布列和期望.3第 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 届伦敦30第 届北京29第 届雅典2第 届悉尼27第 届亚特兰26大中国 851381俄罗斯 242273226（1 ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数
10、值，给出结论即可） ；（2 ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ，丙猜中国代表团的概率为 ，三人各自猜哪个代表团4535的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 ，求 的X分布列及数学期望 .EX24为推行“ 新课堂 ”教学法，某地理老师分别用传统教学和“ 新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，结果如下表，记
11、成绩不低于 70 分者为“成绩优良”.分数 509)， 609)， 709)， 809)， 01)，甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数 1 3 5 6 5（1 ）由以上统计数据填写下面 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 的前2 0.2提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计成绩优良成绩不优良总计 来源:Z+xx+k.Com附： .2nadbcKnabcdcd临界值表： 20Pk0.10.50.250.12.763.841.46.35（2 ）现从上述 40 人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方 法抽取 8 人进行考核，在这 8 人中，记成绩不优良的乙班人数为 ，求 的分布
12、列及数学期望.X25某校高三年级有 400 人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图 ）.（1 ）求第四个小矩形的高；（2 ）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在 120 分以上的学生大约有多少人？（3 ）样本中，已知成绩在 内的学生中有三名女生，现从成绩在 内的140,5 140,5学生中选取 3 名学生进行学习经验推广交流，设有 名女生被选取，求 的分布列和数XX学期望.26空气质量指数（ ，简称 ）是定量描述空气质量状况的指数，AirQualtyIndexAQI空气质量按照 大小分为六级： 为优； 为良； 为轻度污
13、染；I05:10:15:为中度污染； 为重度污染；大于 为严重污染.一环保人士记录去1520:2133年某地某月 10 天的 的茎 叶图如下. I（1 ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ ）的天数；（按这个月总共 30AQI10天计算）（2 ）将频率视为概率，从本月随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望.27为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过的有 40 人 ，不超过 的有 15 人在 45 名女性驾驶员中，平均车速超10km/h1
14、0km/h过 的有 20 人，不超过 的有 25 人（1 ）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 的人与10km/h性别 有关平均车速超过人数10km/h平均车速不超过人数10k/h合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2 ）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相10km/hX互独立的，求 的分布列和数学期望X参考公式与数据： ，其中 .22nadbcKdnabcd20Pk（ ）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.
15、00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82828某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：5,10三级为合格等级， 为不合格等级. 为了解该校高一年级学生身体素质情况，CBA、 D从中抽取了 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 ，n 50,6的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数60,7,80,9,1在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示.（1 ）求 和频率分布直方图中的 的值；n,xy（2 ）根据样本估计总体的思
16、想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等 级的概率；（3 ）在选取的样本中，从 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表AC、 示所抽取的 3 名学生中为 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望.百分 制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 ABCD离散型随机变量的均值与方差跟踪知识梳理考纲解读：1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.考点梳理：1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机
17、变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn(1)均值称 E(X)x 1p1 x2p2x ipix npn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称 D(X) _(xiE( X)2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的n i 1平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差.D(X)2.均值与方差的性质(1)E(aXb) aE(X)b.(2)D(aXb)a 2D(X)(a，b 为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D (X)p(1p)
18、 .(2)若 X B(n，p)，则 E(X)np，D(X) np(1p).提醒：1.若 x1，x 2 相互独立，则 E(x1x2)E(x 1)E(x2).2.均值与方差的关系：D(X) E(X 2)E 2(X).3.超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X) .nMN核心能力必练一、选择题1(2019 宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(nN *)个黑球.现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)1，则 E(X)( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意，XB(4 ，p) ，D(
19、X) 4p(1p) 1，p ，E( X)4p4 2.12 122已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 （ ）来源:,Bn30,2EXDpA B C D1323155【答案】A【解析】根据二项分布的期望与方差公式可知 ，30,(1)20EXnpDXnp解得 .13p3若随机变量 ， ，则 ( ),(pnB9135D，A. B. C. D. 2253【答案】A【解析】由题意可知， 解得 故选 A.5,310,9EnpD,13np4若随机变量 的分布列如下表，其中 ，则下列结果中正确的是（ ）,m0 1PnA B3,EmDn 2,EmDnC D211【答案】C【解析】由离散型随机变量的概率关系可知
20、 ，则 ，1n01Enm222011Dmm5已知 ，且 ，则 等于( )(,)Bnp()7,()6EDpA. B. C. D.765141【答案】A【解析】 ， ， ，故(,)Bnp()7,()6Enpnp19,7np选 A.6设随机变量 ，若 ，则 和 的值分别是（ ）(5,0.)5DA 和 B 和 254524C 和 D 和11【答案】C【解析】因为随机变量 ，所以 ，(5,0.)B5.20E，所以 = ， = .2.105.D2D147设随机变量 的分布列为下表所示，且 ，则 （ ）6ab0 1 2 3p0.1 b0.1A0.2 B0.1 C0.2 D0.4【答案】A【解析】由题中分布列
21、可得 ， ，则 ，0.8ab20.316b0.3,.5ab，故选 A.0.2ab8有 5 支竹签，编号分别为 1，2 ，3，4，5 ，从中任取 3 支，以 X 表示取出竹签的最大号码，则 EX 的值为（ ）A4 B4.5 C4.75 D5【 答 案 】 B【 解 析 】 X 可 能 取 的 值 为 3,4,5.，2243335551 6(),(),()C0C10C10PPPX所 以 .694E9随机变量 的分布列如表所示， ，则实数 的值为( )X2EaXa34P1b61A. B. C. D.013 32【 答 案 】 A【 解 析 】 ,又 .11,364bb112342,06aa10某班有
22、 的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出 5 名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数 服从二项分布 ，则 的值为（ ）(5,)B()EA B C D141444【答案】D【解析】因为 ，所以 故选 D.(5,):15().E11已知 ，随机变量 的分布列如下表，则当 增大时 （ ）102aa10 1Pa2A. 增大， 增大 B. 减小， 增大EDEDC. 增大， 减小 D. 减小， 减小【答案】B【解析】由题意得， ，1()2Ea2 211() )()Daa，又 ，当 增大时， 减小， 增大，故选 B.240E()D12甲命题：若随机变量 ，若 ，则 .乙命题：随2(3,)N(2)0.3P40
23、7P机变量 ，且 ， ，则 ，则正确的是（ ）(,)BnpED1pA甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确C甲错误，乙也错误 D甲正确，乙也正确【答案】D【解析】因为随机变量 ，所以图象关于 对称，又 ，所以2(3,)N3x(2)0.3P，所以 ，正确；因为随机变量 ，所(4)P()0.(4)0.7P(,)Bnp以 ， ，解得 ，正确，故选 D30Enp(1)20Dnp13p13据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为 0.2，有大洪水的概率为 0.05该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费 4000 元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临
24、时，设备会受损，损失费为 30 000 元方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失 15000 元，大洪水来临将损失 30000 元以下说法正确的是（ ）A方案一的平均损失比方案二的平均损失大B方案二的平均损失比方案一的平均损失大C方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算【答案】A【解析】用 表示方案 （ ）的损失，则1Xi1,2，1()30.540405E综上可知，采用方案一的平2 .340均损失大14若 是离散型随机变量， 且 ，又X121(),()33PXxx2x，则 的值为（ ）42(),()39ED12A3 B C D57【
25、答案】A【解析】由题意，得 即 解1224,31()(),39xx 1224,()(),33x得 或 又 ， 125,3x12,12x12,x12x15设随机变量 ，随机变量 ，若 ，则2,XBp:3,YBp:519PX（ ）31DYA B C D2367【答案】C【解析】随机变量 ， ，2,Xp:202511C9PXp解得 ，13p ， ，故选 CDY2396DY16甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率23为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为
26、（ ）13 EA B C D48812748167024【答案】B【解析】依题意知， 的所有可能值为 2，4，6 ，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是953122各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 ，952P， ，故 ，8120954P816942P8168104952E故选 B.17已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 ，则 的值分别是()0,()XD,ab（ ） 10 1 2Pabc1A. B. C. D.51,2485,623,55,124【答案】D【解析】由分布列的性质可得 ，12abc，120
27、6EXac，22210Dc化简可得 ，13c联立可解得 ， ，代入可得 .52a4c4b二、填空题18(2019 北京延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1Y 0 1 2P 0.3 0.5 0.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.【答案】乙【解析】E( X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.5 20.2 0.9，所以 E(Y)E(X)，故乙技术好.19已知随机变量 的分布列如下表所示，则 .(68)EXX123P040.【答案】 21.【解析】由
28、分布列得 ，则2.3.2.1E.86XE20已知随机变量 ， ，则 ，标准差 5,0B1YX()EYY【答案】 ；145【解析】由题意得， ， ，又()0.21EX25()50.8X，21YX ，()E4()2)5Y21设 为非负实数，随机变量 的分布列如下表，则 的最大值为_.p()D0 1 212pp1【答案】1【解析】由随机变量 的分布列的性质，得 解得 0p . ，则10,2p12EpD22222111501 4ppppp ，当 时， 取最大值， .maxD54三、解答题22某大学依次进行 科、 科考试，当 科合格时，才可考 科，且两科均有一次补ABAB考机会，两科都合格方通过甲同学参
29、加考试，已知他每次考 科合格的概率均为 ，每A23次考 科合格的概率均为 .假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响B12（1 ）求甲恰好 次考试通过的概率；3（2 ）记甲参加考试的次数为 ，求 的分布列和期望.【答案】 （1） （2）分布列见解析，期望5883E【解析】 （1）甲恰好 3 次通过考试有两种情况，第一种情况第一次 科通过，第二次 科AB不过，第三次 科通过；第二种情况第一次 科没通过，第二次 科通过，第三次 科BA通过，21215.338P（2 ）由题意得 ；14,4329P；1322.211439P 则 的分布列为： 234P4919.4182393E23第 届夏季奥林匹
30、克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举行.下表1是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第 届伦敦30第 届北京29第 届雅典2第 届悉尼27第 届亚特兰26大中国 851381俄罗斯 242273226（1 ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已
31、知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ，丙猜中国代表团的概率为 ，三人各自猜哪个代4535表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 ，求X的分布列及数学期望 .XEX【答案】 （1）茎叶图见解析， 中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散 （2）分布列见解析， 15EX【解析】 （1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散.（2
32、） 由已知得 的可能取值为 ，X0,123，420515PAPBC224343191C15XAB，来源:ZXXK 21243436255125PABCP，2438351X故 的分布列为： 023P2159561485.296480135EX24为推行“ 新课堂 ”教学法，某地理老师分别用传统教学和“ 新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于 70 分者为“成绩优良”.分数 509)， 609)， 709)， 809)， 01)，甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数
33、 1 3 5 6 5（1 ）由以上统计数据填写下面 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 的前2 0.2提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计成绩优良成绩不优良总计附： .2nadbcKnabcdcd临界值表： 20Pk0.10.50.250.12.763.841.46.35（2 ）现从上述 40 人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8 人进行考核，在这 8 人中，记成绩不优良的乙班人数为 ，求 的分布列及数学期望.X【答案】 （1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过 的前提下认为“成绩优良与教学025方式有关” （2 ）分布列见解析， 45【解析】 （1）甲班 乙
34、班 总计成绩优良 9 16 25成绩不优良 11 4 15总计 20 20 40根据 列联表中的数据，得 的观测值为 ，22K209165.7.024250k能在犯错概率不超过 的前提下认为“ 成绩优良与教学方式有关”. 0.5（2 ）在 8 人中成绩不优良的人数为 ，则 的可能取值为 . 18340X 13， ， ， ， ，315C09PX21435C9PX12435C6PX，3415 的分布列为：XX0 1 2 3P3914654 . 346012954EX25某校高三年级有 400 人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图
35、（如图）.（1 ）求第四个小矩形的高；（2 ）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在 120 分以上的学生大约有多少人？（3 ）样本中，已知成绩在 内的学生中有三名女生，现从成绩在 内的140,5 140,5学生中选取 3 名学生进行学习经验推广交流，设有 名女生被选取，求 的分布列和数XX学期望.【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，0.28032【解析】 （1）由题图可知，第四个小矩形的 高为.(3.12)08（2 ）因为样本中，数学成绩在 120 分以上的频率为 ，1(0.2)10.7所以通过样本估计总体（将频率看作概率） ，可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120 分以上的
36、学生大约有 （人）.40.728（3 ）由频率分布直方图可知，样本中成绩在 内的学生共有140,5（人）.由题设知这 6 人恰好是 3 男 3 女，因为 的所有可能取值为0.1256 X0、 1、2、3，且 ， ， ，36C1()20PX1236C9()0PX2136C9()0P.36()所以 的分布列为：XX0123P90所以 的数学期望为 .X113022EX26空气质量指数（ ，简称 ）是定量描述空气质量状况的指数，AirQualtyIndexAQI空气质量按照 大小分为六级： 为优； 为良； 为轻度污染；I5:10:15:为中度污染； 为重度污染；大于 为严重 污染.一环保人士记录去1
37、520:20133年某地某月 10 天的 的茎叶图如下. 来源:ZXXKI（1 ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ ）的天数；（按这个月总共 30AQI10天计算）（2 ）将频率视为概率，从本月随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望.【答案】 （1） （2）分布列见解析，81.8【解析】 （1）由茎叶图可知 10 天中 的有 6 天，所以估计这个月空气优良的天AQI0数为 天.30185（2 ）由（1 ）可估计某天气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0，1 ，2，335，3 213 36540,C,C512PPP，37故 的分布列为：0 1 3 4P8
38、256257显然 ，则 3,5B:31.E27为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过的有 40 人，不超过 的有 15 人在 45 名女性驾驶员中，平均车速超10km/h10km/h过 的有 20 人，不超过 的有 25 人（1 ）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 的人与10km/h性别有关平均车速超过人数10km/h平均车速不超过人数10k/h合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2 ）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量
39、 家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相10km/hX互独立的，求 的分布列和数学期望X参考公式与数据： ，其中 .22nadbcKdnabcd20Pk（ ）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）列联表见解析，有 的把握认为平均车速超过 与性别有关 9.5%10km/h（2 ）分布列见解析， 6【解析】 （1） 平均车速超过人数10km/h平均车速不超过人数10k/h合计男性驾驶员人数
40、 40 15 55女性驾驶员人数 20 25 45合计 60 40 100则 ，221045108.497.6K所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 与性别有关km/h（2 ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 的车辆的概率为 可取值是 0，1，2 ，3，10k/h40215X，则35XB ，03327C15P， 12354CPX，2365X， 03812，分布列为X0 1 2 3P27546581 2743680151EX28某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 内，发
41、布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：0,三级为合格等级， 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从CBA、 D中 抽取了 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 ，n 50,6的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数60,7,80,9,1在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示.（1 ）求 和频率分布直方图中的 的值；n,xy（2 ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；（3 ）在选取的样本中，从 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表AC、 示所抽取的 3 名学生中为 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望.百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 ABCD【答案】(1) ， (2) （3）分布 列见解析，50,.4nx0.18y91094E【解析】 （1）由题图 2 可知，区间 有 6 人，区间 有 2 人，样本容量80,990,1， .4.15,0.06xn 018564. y（2 ）样本中成绩是合格等级人数为 人，抽取的 50 人中成绩是合格等级5的频率为 ，故
