1、11.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义 2.理解导数的几何意义 3.会求曲线在某点处的切线方程4理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数1导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线(2)导数的几何意义当点 Pn无限趋近于点 P 时，k n无限趋近于切线 PT 的斜率因此，函数 f(x)在 xx 0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k f(x 0)limx 0 lim x 0f（x0 x） f（x0）x2导函数的概念(1)定义：当 x 变化时，f(x )便是
2、 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)(2)记法：f(x)或 y，即 f(x) y .limx 0 lim x 0f（x x） f（x） x1此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线如图中的曲线 C，直线l1 与曲线 C 有唯一的公共点 M，但 l1 不是曲线 C 的切线；l 2 虽然与曲线 C 有不止一个公共点，但 l2 是曲线 C 在点 N 处的切线(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线
3、定义为切线，适用于各种曲线所以这种定义才真正反映了切线的本质2函数 f(x)在 xx 0 处的导数 f(x0)、导函数 f(x)之间的区别与联系区别：(1)f(x 0)是在 xx 0 处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量(2)f(x)是函数 f(x)的导数，是对某一区间内任意 x 而言的，即如果函数 yf(x) 在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个 x(a，b)，都对应着一个确定的导数 f(x)，从而构成了一个新的函数导函数 f(x)联系：函数 f(x)在 xx 0 处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx 0 处的函数值这也是求函数在 xx
4、 0 处的导数的方法之一 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)函数在一点处的导数 f(x0)是一个常数( )(2)函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)就是导函数 f(x) 在点 xx 0 处的函数值( )(3)函数 f(x)0 没有导数( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点( )答案：(1) (2) (3) (4)如图，直线 l 是曲线 yf(x)在 x4 处的切线，则 f(4)( )A. B312C4 D5解析：选 A.根据导数的几何意义知 f(4)是曲线 yf(x)在 x4 处的切线的斜率 k，注意到 k ，所以 f(4) .5 34 0 12 1
5、2已知 yf(x)的图象如图，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是( )Af(x A)f(xB) Bf(x A)0 说明曲线在 x0 处的切线的斜率为正值，从而得出在 x0 附近曲线是上升的；f (x0)0 Bf(x 0)0 上升 k0 锐角f(x0)0 下降 k0 钝角f(x0)0 k 0零角(切线与x 轴平行 )注意 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.A 基础达标1已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标为(1，2) ，则 f(1)的值为( )A1 B0C1 D2解析：选 B.因为二次函数 f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于 x 轴，即切线的斜
6、率为 0，所以 f(1)0，选 B.2曲线 f(x) 在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )9xA45 B60C135 D120解析：选 C.f(x) 9 9limx 0 lim x 0f（x x） f（x）x lim x 0 lim x 01x x 1xx lim x 0 ，所以 f(3)1.又切线的倾斜角的范围为0，180) ，所以所求倾limx 0 1（x x）x 9x2斜角为 135.3设曲线 yax 2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于( )A1 B. 12C D112解析：选 A.因为 y|x1 limx 0 lim x 0a（1 x）2 a12x (
7、2aax)limx 0 lim x 02ax a（x）2x lim x 0 lim x 02a，所以 2a2，所以 a1.4若曲线 f(x)x 2 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为( )A4xy40 Bx4y50C4x y30 Dx 4y30解析：选 A.设切点为(x 0，y 0)，因为 f(x) (2x x)2x.limx 0 lim x 0（x x）2 x2x lim x 0 lim x 0由题意可知，切线斜率 k4，即 f(x0)2x 04，所以 x02.所以切点坐标为(2，4) ，切线方程为 y44(x2) ，即 4xy40，故选 A.5若曲线 yx 2ax
8、b 在点 (0，b)处的切线方程是 xy10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da 1，b1解析：选 A.因为点(0，b)在直线 xy10 上，所以 b1.又 y 2xa，所以过点(0，b) 的切线的limx 0 （x x）2 a（x x） 1 x2 ax 1x斜率为 y|x0 a1.6已知函数 yf( x)在点(2 ，1) 处的切线与直线 3xy2 0 平行，则y|x2 _解析：因为直线 3xy 20 的斜率为 3，所以由导数的几何意义可知 y|x2 3.答案：37已知 f(x)x 2ax ，f(1)4，曲线 f(x)在 x1 处的切线在 y 轴上的截距为1，则实数 a 的值
9、为_解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为 kf (1)4.又切线在 y 轴上的截距为1，所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y4x 1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以 f(1)1a3，即 a2.答案：28设 f(x)存在导函数，且满足 1，则曲线 yf(x) 上lim x 0lim x 0f（1） f（1 2 x）2 x点(1，f (1)处的切线斜率为_ 解析： limx 0 lim x 0f（1） f（1 2x）2x limx 0 lim x 0f（1 2x） f（1） 2xf(x )1.答案：19已知曲线 y x3 上一点 P ，求：13 (2， 83)(1)曲线在点 P 处
10、的切线方程；(2)过点 P 的曲线的切线方程解：(1)因为函数 y x3 的导函数为13y limx 0 lim x 0yx lim x 0 lim x 013（x x）3 13x3x 3x23x x(x) 2x 2，13 lim x 0 lim x 03x2x 3x（x）2 （x）3x 13 lim x 0 lim x 0所以 y 2 24.所以曲线在点 P 处的切线的斜率等于 4.|x 2)故曲线在点 P 处的切线方程是 y 4(x2)，即 12x3y160.83(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知 yx 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率 kx ，切线方程为20yy 0x (
11、xx 0)20又切线过点 P ，且(x 0， y0)在曲线 y x3 上，(2，83) 13所以 整理得 x 3x 40，即(x 02) 2(x01) 0，解得 x02 或 x01.30 20当 x02 时，y 0 ，切线斜率 k4，切线方程为 12x3y 160；83当 x01 时，y 0 ，切线斜率 k1，切线方程为 3x3y 20.13故过点 P 的切线方程为 12x3y 160 或 3x3y20.10已知曲线 f(x) 在 x4 处的切线方程为 5x16yb0，求实数 a 与 b 的ax x值解：因为直线 5x16y b0 的斜率 k ，所以 f(4) .516 516而 f(4) l
12、imx 0（a4 x 4 x） （a4 4）x limx 0（a4 x a4） （4 x 2）x limx 0 a4（4 x） 14 x 2 ，a 416所以 ，解得 a1.a 416 516所以 f(x) ，所以 f(4) ，即切点为(4 ， )1x x 14 4 74 74因为(4， )在切线 5x16yb0 上，74所以 5416( )b0，即 b8，74从而 a1，b8.B 能力提升11曲线 yx 上任意一点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是( )1xA(，1) B( 1，1)C(，1) D(1，)解析：选 C.y x 上任意一点 P(x0，y 0)处的切线斜率为 ky|x
13、x 01xlimx 0（x0 x）1x0 x (x0 1x0)x 1 1.limx 0即 k1.12若抛物线 yx 2x c 上一点 P 的横坐标是2，在点 P 处的切线恰好过坐标原点，则实数 c 的值为 _解析：y 2x 1，在点 P 处切线的斜率为 2(2)15.因为点 P 的横limx 0yx坐标是2，所以点 P 的纵坐标是 6c，故直线 OP 的斜率为 ，根据题意有6 c2 5，解得 c4.6 c2答案：413已知直线 l：y 4xa 与曲线 C：y x 32x 23 相切，求 a 的值及切点坐标解：设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y 0)，因为 f(x) limx 0 l
14、im x 0f（x x） f（x）x limx 0 lim x 0（x x）3 2（x x）2 3 （x3 2x2 3）x3x 24x，由题意可知 k4，即 3x 4x 04，20解得 x0 或 x02，23所以切点的坐标为( ， )或(2，3) 23 4927当切点为( ， )时，有 4( )a，a .23 4927 4927 23 12127当切点为(2，3)时，有 342a，a5.所以当 a 时，切点为( ， )；12127 23 4927当 a5 时，切点为(2，3)14(选做题) 已知曲线 yx 21 在 xx 0 处的切线与曲线 y1x 3 在 xx 0 处的切线互相平行，试分别求
15、出这两条平行的切线方程解：对于曲线 yx 21 在 x x0 处，y|x x0 limx 0 lim x 0 limx 0 lim x 02x0x （x）2x (2x0 x)2x 0.limx 0 lim x 0对于曲线 y1x 3 在 xx 0 处，y|x x0 limx 0 lim x 0 limx 0 lim x 0 3x 3x 0x( x)23x ，limx 0 lim x 0 20 20又 y1x 3 与 yx 21 在 xx 0 处的切线互相平行，所以 2x03x ，解得 x00 或 x0 .2023(1)当 x00 时，两条切线的斜率 k0，曲线 yx 21 上的切点坐标为(0，1)，切线方程为 y1，曲线 y1x 3 上的切点坐标为(0，1)，切线方程为 y1.但直线 y1 并不是曲线的切线，不符合题意(2)当 x0 时，两条切线的斜率 k ，23 43曲线 yx 21 上的切点坐标为 ，切线方程为 y ，即( 23， 59) 59 43(x 23)12x9y130，曲线 y1x 3 上的切点坐标为 ，切线方程为 y ，即( 23，3527) 3527 43(x 23)36x27y110.综上，两曲线的切线方程分别是12x9y130，36x 27y110.
