1、22导数的几何意义学习目标1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程知识点一割线思考函数yf(x)在x0，x0x上的平均变化率为，由下图你能说出它的几何意义吗？答案表示过点A(x0，f(x0)，B(x0x，f(x0x)的斜率梳理割线的定义函数yf(x)在x0，x0x的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)两点的直线的斜率这条直线称为曲线yf(x)在点A处的一条割线知识点二导数的几何意义如图，Bn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，A的坐标为(x0，y0)，直线
2、AT为在点P处的切线思考1割线ABn的斜率kn是多少？答案割线ABn的斜率kn.思考2当点Bn无限趋近于点A时，割线ABn的斜率kn与切线AT的斜率k有什么关系？答案kn无限趋近于切线AT的斜率k.梳理(1)切线的定义若A(x0，f(x0)，B(x0x，f(x0x)是曲线yf(x)上的点，当x趋于零时，点B将沿着曲线yf(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线yf(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线(2)导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)(3)切线方程：曲线yf(x
3、)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)1函数yf(x)在x0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率()2直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()类型一求切线方程例1已知曲线C：yx3，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解将x2代入曲线C的方程得y4，切点为P(2,4)4，k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_考点求函数在某点处的切线方程题点曲
4、线的切线方程的应用答案3解析(4x)4，k4.曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.例2求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点为(x0，xx01)，则切线的斜率为k2x01.又k，2x01.解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10.当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.反思与感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(
5、x0，f(x0)(2)建立方程f(x0).(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求函数yf(x)x33x2x的图像上过原点的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点坐标为(x0，y0)，则y0x3xx0，yf(x0x)f(x0)(x0x)33(x0x)2(x0x)(x3xx0)3xx3x0(x)26x0x(x)33(x)2x，3x3x0x6x01(x)23x，f(x0)3x6x01.切线方程为y(x3xx0)(3x6x01)(xx0)切线过原点，x3xx03x6xx0，即2x3x0，x00或x0，故所求切线方程为xy0或5x4y0.类型二利用
6、图像理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(2)f(3)f(2)f(3)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案C解析kABf(3)f(2)，f(2)为函数f(x)的图像在点B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数f(x)的图像在点A(3，f(3)处的切线的斜率，根据图像可知0f(3)f(3)f(2)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析由导数的几何
7、意义，知f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图像可知f(xA)f(xB)4抛物线yx2在点P处的切线平行于直线y2x3，则点P的坐标为_考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案(1,1)解析设点P(x0，y0)，则2x0，2x02，x01，故点P的坐标为(1,1)5已知曲线f(x)x3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴，直线xa围成的三角形的面积为，则a_.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案1解析f(a)3a2，曲线f(x)x3在点(a，a3)处的切线斜率为f(a)3a2，切线方程为ya33a2(xa)，即y3a2x2a3.令y0得切线与x轴的交点为，由题设知三角形面积为|a3|，得a1.1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点
