1、1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 学习目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 知识点 导数的几何意义 如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P 的坐标为(x0，y0)，直线 PT 为在点 P 处的切 线 思考 1 割线 PPn的斜率 kn是多少？ 答案 割线 PPn的斜率 knyn xn fxnfx0 xnx0 . 思考 2 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn与在点 P 处的切线 PT 有什么关系？ 答案 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于在点 P 处的切线 PT. 思考 3 当 Pn无限趋近于点
2、 P 时，kn与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？ 答案 kn无限趋近于切线 PT 的斜率 k. 梳理 (1)曲线的切线 设函数yf(x)的图象如图所示， AB是过点A(x0， f(x0)与点B(x0 x， f(x0 x)的一条割线 由 此割线的斜率是y x fx0 xfx0 x ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线 AD，这条直线 AD 叫做 此曲线在点 A 处的切线 (2)函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义 几何意义：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率等于 f(x0) 曲线在点
3、(x0，f(x0)处切线的斜率为lim x0 fx0 xfx0 x . 相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 1函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值( ) 2直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( ) 类型一 求切线方程 命题角度1 曲线在某点处的切线方程 例 1 求曲线 y1 x在点 M 3，1 3 处的切线方程 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 求曲线的切线方程 解 因为 ylim x0 1 xx 1 x x lim x0 1 x2xx 1 x2， 所以曲线 y1 x在点 M 3，1 3 处的切线斜率为1 9，
4、 所以曲线在点 M 3，1 3 处的切线方程为 y1 3 1 9(x3)，即 x9y60. 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练 1 曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_ 答案 3 解析 y|x2lim x0 y xlimx0 2x21221 x lim x0(4x)4， ky|x24.曲线 yx21 在点(2,5)处的切线方程为 y54(x2)，即 y4x3. 切线与 y 轴交点的纵坐标是3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程 例 2 求抛物线 y1 4x 2过点 4，7 4 的切线方程 解 设切线在抛物线上的切点为 x0，1 4x 2 0，
5、y| 0 xx lim x0 1 4x0 x 21 4x 2 0 x lim x0 1 2x0 1 4x 1 2x0， 1 4x 2 07 4 x04 1 2x0， 即 x208x070，解得 x07 或 x01， 即切线过抛物线 y1 4x 2上的点 7，49 4 ， 1，1 4 ， 故切线方程为 y49 4 7 2(x7)或 y 1 4 1 2(x1)， 化简得 14x4y490 或 2x4y10， 即所求的切线方程为 14x4y490 或 2x4y10. 反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线 yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0) (2)建立方程 f(x0)y1f
6、x0 x1x0 . (3)解方程得 kf(x0)，由 x0，y0，及 k, 从而写出切线方程 跟踪训练 2 求过点(1,0)与曲线 yx2x1 相切的直线方程 解 设切点为(x0，x20 x01)， 则切线的斜率为 klim x0 x0 x2x0 x1x20 x01 x 2x01. 又 kx 2 0 x010 x01 x 2 0 x01 x01 ， 2x01x 2 0 x01 x01 ， 解得 x00 或 x02. 当 x00 时，切线斜率 k1，过点(1,0)的切线方程为 y0 x1，即 xy10. 当 x02 时，切线斜率 k3，过点(1,0)的切线方程为 y03(x1)，即 3xy3 0
7、. 故所求切线方程为 xy10 或 3xy30. 类型二 求切点坐标 例 3 已知曲线 yx21 在 xx0处的切线与曲线 y1x3在 xx0处的切线互相平行，求 x0的值 解 对于曲线 yx21， k1y| 0 xx lim x0 y x2x0. 对于曲线 y1x3， k2y| 0 xx lim x0 y x lim x0 1x0 x31x30 x 3x20. 由题意得 2x03x20， 解得 x00 或 x02 3. 引申探究 1若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求 x0的值 解 k1y| 0 xx 2x0，k2y| 0 xx 3x20， 又曲线 yx21 与 y1x3在 xx0处的切线
8、互相垂直，2x0 (3x20)1， 解得 x0 3 36 6 . 2若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程 解 由例 3 知 x00 或2 3. 当 x00 时，两条平行的切线方程为 y1 或 y1. 当 x02 3时，曲线 yx 21 的切线方程为 12x9y130. 曲线 y1x3的切线方程为 36x27y110. 所求两条平行的切线方程为 y1 与 y1 或 12x9y130 与 36x27y110. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0) (2)求导函数 f(x) (3)求切线的斜率 f(x0) (4)由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x
9、0. (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0，得切点坐标 跟踪训练 3 已知直线 l：y4xa 与曲线 C：yf(x)x32x23 相切，求 a 的值及切点坐 标 解 设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0) f(x)lim x0 fxxfx x lim x0 xx32xx23x32x23 x 3x24x. 由题意可知 k4，即 3x204x04， 解得 x02 3或 x02， 切点坐标为 2 3， 49 27 或(2,3) 当切点坐标为 2 3， 49 27 时，有49 274 2 3 a， a121 27 . 当切点坐标为(2,3)时，有 342a
10、，a5. 当 a121 27 时，切点坐标为 2 3， 49 27 ； 当 a5 时，切点坐标为(2,3) 类型三 导数几何意义的应用 例 4 设函数 f(x)x3ax29x1(a0)， 若曲线 yf(x)的斜率最小的切线与直线 12xy 6 平行，求 a 的值 解 yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x2 2ax9)x(3xa)(x)2(x)3， y x3x 22ax9(3xa)x(x)2， f(x)lim x0 y x3x 22ax93 xa 3 29a 2 3 9a 2 3 . 由题意知 f(x)最小值是12， 9a 2 3 12，a29， a0
11、， a3. 跟踪训练 4 若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b 上的图象可能是( ) 答案 A 解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线的斜率 随着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有 A 满足 1若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( ) Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 答案 A 解析 由题意知，ky|x0 lim x0 0 x2a0 xbb x 1，a1. 又(0，b)在切线上，b1，故选 A. 2已知 yf(x)的图象如图所示，则 f(xA)与
12、 f(xB)的大小关系是( ) Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)f(xB) D不能确定 答案 B 解析 由导数的几何意义知，f(xA)，f(xB)分别是切线在点 A，B 处切线的斜率，由图象 可知 f(xA)f(xB) 3如图，函数 yf(x)的图象在点 P(2，y)处的切线是 l，则 f(2)f(2)等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 D 解析 由图象可得函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线是 l，与 x 轴交于点(4,0)，与 y 轴交于 点(0,4)，则可知 l：xy4，f(2)2，f(2)1，代入可得 f(2)f(2)1，故选 D. 4已知曲线 y
13、f(x)2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则点 P 的坐标为_ 答案 (3,30) 解析 设点 P(x0,2x204x0) 则 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 2x24x0 x4x x 4x04， 令 4x0416，得 x03，P(3,30) 5已知抛物线 yax2bxc 过点 P(1,1)，且在点 Q(2，1)处与直线 yx3 相切，求实 数 a，b，c 的值 解 抛物线过点 P，abc1， 又 ylim x0 y x lim x0 axx2bxxcax2bxc x 2axb， y|x24ab，4ab1. 又抛物线过点 Q，4a2bc1， 由解得 a3，b11，c9. 1导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 klim x0 fx0 xfx0 x f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 2“函数 f(x)在点 x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有 本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数 yf(x)在 xx0处的一个函数值 3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以 该点为切点的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0， f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点
