1、3.3 复数的几何意义复数的几何意义 学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一 一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义 解决一些简单问题 知识点一 复平面 思考 实数可用数轴上的点来表示， 平面向量可以用坐标表示， 类比一下， 复数怎样来表示呢？ 答案 任何一个复数 zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面 直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系 梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实 轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示
2、纯虚数 知识点二 复数的几何意义 1复数与点、向量间的对应关系 2复数的模 复数 zabi(a，bR)，对应的向量为OZ ，则向量OZ的模叫做复数 zabi 的模(或绝对 值)，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi| a2b2. 知识点三 复数加、减法的几何意义 思考 1 复数与复平面内的向量一一对应， 你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 几何意义吗？ 答案 如图，设OZ1 ，OZ2 分别与复数 abi，cdi 对应，且OZ1 ，OZ2 不共线， 则OZ1 (a，b)，OZ2 (c，d)， 由平面向量的坐标运算，得OZ1 OZ2 (ac，bd)， 所以OZ1 OZ2 与
3、复数(ac)(bd)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行 思考 2 怎样作出与复数 z1z2对应的向量？ 答案 z1z2可以看作 z1(z2) 因为复数的加法可以按照向量的加法来进行 所以可以按 照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1z2对应的向量(如图)图中OZ1 对应复数 z1，OZ2 对应复数 z2，则Z2Z1 对应复数 z1z2. 梳理 (1)复数加减法的几何意义 复数加法的 几何意义 复数 z1z2是以OZ1 ，OZ2 为邻边的平行四边形的 对角线OZ 所对应的复数 复数减法的 几何意义 复数z1z2是从向量OZ2 的终点指向向量OZ1 的终 点的向量Z2Z1 所对应的复数
4、 (2)设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2| ac2bd2，即两个复数的 差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 1原点是实轴和虚轴的交点( ) 2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上( ) 3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数( ) 4复数的模一定是正实数( ) 类型一 复数的几何意义 例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z(x2x6)(x22x15)i 对应的点 Z 在： (1)第三象限； (2)直线 xy30 上 解 因为 x 是实数，所以 x2x6，x22x15 也是实数 (1)当实数 x 满足 x2x60， x22x150， 即当3x
5、0， x22x150， 即当 2x0， m23m280， 解得 m5， 7m4. 即7m3. 故当7m3 时，复数 z 的对应点位于第四象限 (2)由题意，知 m28m150， m23m280， 由得 m7 或 m4. 因为 m7 不适合不等式，m4 适合不等式， 所以 m4. 故当 m4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上 类型二 复数模及其几何意义的应用 例 2 已知复数 z1 3i 及 z21 2 3 2 i. (1)求|z1|及|z2|的值； (2)设 zC，满足|z2|z|z1|的点 z 的集合是什么图形？ 解 (1)|z1| 3i| 32122， |z2| 1 2 3 2
6、 i 1 2 2 3 2 21. (2)由(1)知 1|z|2，因为不等式|z|1 的解集是圆|z|1 上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|2 的解集是圆|z|2 上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件 1|z|2 的 点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界， 如图所示 反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进 行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小 (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离 跟踪训练 2 设 z 为复数，且|z|z1|1，求|z1|的值 考点
7、 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 解 设 zabi(a，bR) z1(a1)bi，且|z|z1|1， a2b21， a12b21， 即 a2b21， a12b21， 即 a2b21， a2b22a0， 解得 a1 2， b23 4， |z1|(abi)1|a12b2 1 21 23 4 3. 类型三 复数加、减法的几何意义 例 3 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别对应的复数为 0，32i，24i. 求：(1)AO 表示的复数； (2)CA 表示的复数； (3)OB 表示的复数 解 因为 A，C 对应的复数分别为 32i，24i， 由复数的几何意义，知OA
8、 与OC 表示的复数分别为 32i，24i. (1)因为AO OA ，所以AO 表示的复数为32i. (2)因为CA OA OC ， 所以CA 表示的复数为(32i)(24i)52i. (3)OB OA OC ， 所以OB 表示的复数为(32i)(24i)16i. 反思与感悟 (1)常用技巧 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中 (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为 A，B，z1z2对应的点为 C，O 为坐标原 点，则 四边形 OACB 为平行四边形 若|z1z2|z1z2
9、|，则四边形 OACB 为矩形 若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形 若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形 跟踪训练 3 (1)已知复平面内的平面向量OA ，AB 表示的复数分别是2i,32i，则|OB | _. (2)若 z12i，z23ai，复数 z2z1所对应的点在第四象限上，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (1) 10 (2)(，1) 解析 (1)OB OA AB ， OB 表示的复数为(2i)(32i)13i， |OB |1232 10. (2)z2z11(a1)i， 由题意知 a10，即 a|xyi|y2i| 解析 由 34ixyi，
10、x3，y4. 则|15i| 26，|xyi|34i|5， |y2i|42i|2 5， |15i|xyi|y2i|. 4设 z134i，z223i，则 z1z2在复平面内对应的点位于第_象限 答案 四 解析 z1z257i， z1z2在复平面内对应的点为(5，7)，其位于第四象限 5设平行四边形 ABCD 在复平面内，A 为原点，B，D 两点对应的复数分别是 32i 和 2 4i，则点 C 对应的复数是_ 答案 52i 解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 5 2，1 ，设点 C 坐标为(x，y)，则 x5，y 2，故点 C 对应的复数为 52i. 1复数模的几何意义 复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决， 而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径 (1)复数 zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi) (2)复数 zabi(a，bR)的对应向量OZ 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因 为复平面上与OZ 相等的向量有无数个 2复数的模 (1)复数 zabi(a，bR)的模|z| a2b2. (2)从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表 示点 Z1和点 Z2之间的距离
