1、14 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的 优化问题 知识点 生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求用料最省、 利润最大、 效率最高等问题， 这些问题通常称为优化问题 2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3解决优化问题的基本思路： 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题( ) 2生活中的优化问题都必须利用导数解决( ) 3生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点( ) 类型一 几何中的最值问题 例 1 请你设计一个包装
2、盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于 图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点 E，F 在边 AB 上，是被切去的一个 等腰直角三角形斜边的两个端点设 AEFBx(cm) 某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大， 试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 解 V(x)( 2x)2(602x) 2 2 2x2(602x)2 2x360 2x2(0x30) V(x)6 2x212
3、0 2x6 2x(x20) 令 V(x)0，得 x0(舍去)或 x20. 当 0x0； 当 20x30 时，V(x)0. V(x)在 x20 时取极大值也是唯一的极值，故为最大值 底面边长为 2x20 2(cm)， 高为 2(30 x)10 2(cm)， 即高与底面边长的比值为1 2. 引申探究 本例条件不变，若要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ 解 AEx，HE 2x. EF602x， EG 2 2 EF 2 2 (602x) 2(30 x) S侧4HEEG4 2x 2(30 x) 8x(30 x)8x2240 x 8(x15)28152. 当 x15 时，S侧最大为
4、 1 800 cm2. 反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出 恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检 验 跟踪训练 1 已知圆柱的表面积为定值 S，当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 的值为 _ 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 6S 3 解析 设圆柱的底面半径为 r， 则 S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh， 圆柱的表面积 S2r22rh. hS2r 2 2r ， 又圆柱的体积 Vr2hr 2(S2r 2)rS2r 3 2 ， V(r)S6r 2 2 ， 令
5、V(r)0，得 S6r2，h2r， V(r)只有一个极值点， 当 h2r 时圆柱的容积最大 又 r S 6，h2 S 6 6S 3 . 即当圆柱的容积 V 最大时， 圆柱的高 h 为 6S 3 . 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例 2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元， 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完， 每千件的销售收入为R(x)万元， 且 R(x) 10.8x 2 30，010. (1)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服
6、装的生产中所获得的年利润最大，并求出 最大值 解 (1)当 010 时，WxR(x)(102.7x)981 000 3x 2.7x. 所以 W 8.1xx 3 3010，010. (2)当 0x10 时，令 W8.1x 2 100，得 x9. 所以当 0x9 时，W 单调递增， 当 9x10 时，令 W2.71 000 3x2 0，得 x100 9 ， 当 10x0；当 x100 9 时，W0， 所以当 x100 9 时，Wmax3838.6， 所以当年产量为 9 千件时， 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大， 最大利润 为 38.6 万元 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题
7、， 应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系， 常见的基本等量关系 (1)利润收入成本 (2)利润每件产品的利润销售件数 跟踪训练 2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y a x310(x6) 2，其中 3x6，a 为常数已知销售价 格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大 解 (1)因为当 x5 时，y11，所以a 21011， 所以 a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售
8、量为 y 2 x310(x6) 2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3) 2 x310 x6 2 210(x3)(x6)2，3x6. 从而 f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6) 列表如下. x (3,4) 4 (4,6) f(x) 0 f(x) 极大值 f(4) 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点 所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值为 42. 所以当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 命题角度2 用料、费用最少问题 例 3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米
9、，余下工程只需建两端桥墩之间 的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2 x)x 万元 假设桥墩等距离分布， 所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素， 记余下工程的费用为 y 万元 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建 n 个桥墩， 则(n1)xm，即 nm x1. 所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256 m x1 m x(2 x)x 256m x m x2m256.(0
10、xm) (2)由(1)知，f(x)256m x2 1 2m 1 2 x m 2x2 3 2 512x 令 f(x)0，得 3 2 x512， 所以 x64. 当 0x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当 64x0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以 f(x)在 x64 处取得最小值 此时 nm x1 640 64 19. 故当 m640 米时，需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要 明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际 作答 (2)
11、利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f(x)0 时，如果函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值 跟踪训练 3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年 的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2
12、)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为 C(x) k 3x5， 再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) 40 3x5， 而建造费用为 C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 40 3x56x 800 3x56x(0 x10) (2)f(x)6 2 400 3x52. 令 f(x)0，即 2 400 3x526， 解得 x5，x25 3 (舍去) 当 0x5 时，f(x)0；当 5x0， 故当 x5 时，f(x)取到最小值，对应的最小值为 f(5)65 800 15
13、570. 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元. 1方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为_ 答案 4 解析 设底面边长为 x，高为 h， 则 V(x)x2 h256，h256 x2 . S(x)x24xhx24x 256 x2 x24256 x ， S(x)2x4256 x2 . 令 S(x)0，解得 x8，判断知当 x8 时，S(x)取得最小值 h256 82 4. 2某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数，y117x2；生产总成本 y2(万元)也是 x 的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台 答案 6 解析 构造
14、利润函数 yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令 y0，得 x6(x0 舍去)，x6 是函数 y 在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点 3一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1 000 元时，公寓会全部租出去，月租 金每增加 50 元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费，则月租 金定为_元时可获得最大收入 答案 1 800 解析 设 x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数 f(x)(1 00050 x)(50 x)100(50 x)， f(x)1 600100 x， 当 x16 时， f(x)取最大值， 故把月租金定为 1 800 元
15、时收入最大 4要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米 20 元， 侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_元 答案 160 解析 设底面长为 x m，由题意得底面宽为4 x m. 设总造价为 y 元，则 y20 x4 x101 2x24 x ， 即 y20 x80 x 80， y2080 x2，令 y0，得 x2. 当 x2 时，ymin160. 5将一段长 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面 积之和最小时，圆的周长为_ cm. 答案 100 4 解析 设弯成圆形的一段铁丝长为 x，则另一段长为
16、 100 x. 设正方形与圆形的面积之和为 S， 则正方形的边长 a100 x 4 ，圆的半径 r x 2. 故 S x 2 2 100 x 4 2(0x100) 因此 S x 2 25 2 x 8 x 2 100 x 8 ， 令 S0，则 x100 4. 由于在(0,100)内，函数只有一个导数为 0 的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当 x 100 4时，面积之和最小 1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系 yf(x) (2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0. (3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特 别注意： (1)合理选择变量， 正确写出函数解析式， 给出函数定义域 (2)与实际问题相联系 (3) 必要时注意分类讨论思想的应用
