1、3.4导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题()2生活中的优化问题都必须利用导数解决()3生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点()类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示
2、的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解(1)由题意知，包装盒的底面边长为x cm，高为(30x)cm,0x30，包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)828225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，答若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，
3、得0x20；令V0，得20x30.答当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为.反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程跟踪训练1在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长
4、为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解(1)当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，故S(x)maxS.答当a90时，纸盒侧面积的最大值为 平方厘米(2)纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x3
5、60x2900x)，x(0,30)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，或x30(舍去)当x(0,30)时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值答当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千
6、件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)当00；当x(9,10时，W10时，W9898238，当且仅当2.7x，即x时，W取得最大值38.综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元答当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
7、(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6
8、)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2费用(用料)最省问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔
9、热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，当0x5时，f(x)0；当5x0，故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元反思与感悟(1
10、)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练3如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，PQOA，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其
11、中a为正常数，设AOP，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f()(1)求f()关于的函数关系式；(2)求当为何值时，总造价最小，并求出最小值解(1)种花区的造价为，种草区的造价为2a，故总造价f()2aa,00；当t(8,9)时，y0，故t8时，y取最大值2用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_ m3.答案8解析设长方体的底面边长为x m，则高为(62x)m，0x3，则长方体的体积为V(x)x2(62x)6x22x3，V(x)12x6x2.令V(x)0，得x2或x0(舍去)当x(0,2)时，函数V(x)
12、是增函数；当x(2,3)时，函数V(x)是减函数，当x2时，V(x)max428(m3)3某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是_答案300解析由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300.4要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y20x101，即y20x80，y20，令y0，得x2.因为当0x2时，y2时，y
13、0，所以x2是函数y的极小值点，也是最小值点所以当x2时，ymin160(元)5某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系式为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解(1)由题意知，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3x)万元销售收入是(32Q3)1
14、50%x50%，所以年利润y(32Q3x)(323x)(x0)，即所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；当x(7，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(7)42.又因为在0，)上只有一个极值点，所以f(x)最大值f(7)42.答当年广告费投入7万元时，企业年利润最大1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用
