1、2018 年新疆高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 Ax| 2 x ，B x|lnx0 ，则 AB（ ）A B1，0） C D 1，12 （5 分）已知 b+i（a ，b R） ，其中 i 为虚数单位，则 a2+b2（ ）A0 B1 C2 D33 （5 分） “m ”是“方程 x2+x+m0 有实数解”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为（ ）A4 B C1
2、0 D115 （5 分）平面向量 （x，y） ， （x 2，y 2） ， （1，1） ， （2，2） ，若 1，则这样的向量 有（ ）A1 个 B2 个 C多于 2 个 D0 个6 （5 分）沈括是我国宋朝著名科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛，怎样用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术沈括用了近十年的时间写了著名的梦溪笔谈 ，提出了公式，解决了这个问题下面左图中的是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了 a 个酒缸，短边放置了 b 个酒缸，共放置了 n 层某同学根据左图，绘制了计算酒缸总数的程序框图，那么在 和 两个
3、空白框中，可以分别填入（ ）第 2 页（共 25 页）Ain？和 SS+a*b Bin？和 SS+a*bCin？和 Sa*b Din？和 Sa*b7 （5 分）已知双曲线 1（0a ）的两条渐近线的一个夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D28 （5 分）已知定义在 R 上的函数 的大小关系为（ ）Abac Bacb Ccab Dc ba9 （5 分）数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，的项正负交替，且项的绝对值为 1 个 1，2 个 2，3 个 3，n 个 n，则此数列的前 100 项和为（ ）A7 B2
4、1 C21 D710 （5 分）在空间中，与边长均为 3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数为（ ）A2 B4 C6 D8第 3 页（共 25 页）11 （5 分）不等式 在 t（0，2上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A B C D12 （5 分）关于函数 f（x ） +lnx，则下列结论不正确的是（ ）A存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立B函数 yf （x ）x 有且只有 1 个零点Cx 2 是 f（x ）的极小值点D对任意两个正实数 x1、x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）f （ x2） ，则 x1+x24二、填空题
5、（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列的b n的前 n 项和为 Tn，且a1b 11，a 4b 48，则 14 （5 分）如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的外接球的体积是 15 （5 分） 展开式中 x2 的系数为 16 （5 分）横坐标和纵坐标均为整数的点叫整点设 a，b 均为大于 1 的正数，且ab+ab100若 a+b 的最小值为 m，则满足 3x2+2y2m 的整点
6、（x ，y）的个数为 个三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知向量 （1，sinx ） ， （sinx，1） ， （1，cosx） ，x（0，） （）若（ + ） ，求 x；（）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 B 为（）中的x，2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsin C，求 sin（C ）的值18 （12 分）中国共产党第十九次全国代表大会（简称十九大）于 2017 年 10 月 18 日10第 4 页（共 25 页）月 24 日在北京胜利召开 “十九大”报告指出：“必须把教育事业放
7、在优先位置，深化教育改革，加快教育现代化，办好人民满意的教育” 要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育，办好学前教育、特殊教育和网络教育” 某乡镇属于学前教育、特殊教育、网络教育的学校的比例为 3：1：2现有 3 名师范毕业生从 3 类学校中任选一所学校参与应聘，假设每名毕业生被每所学校录取的机会相同（）求他们选择的学校所属教育类别相同的概率；（）记 为 3 名师范毕业生中选择的教育属于学前教育或网络教育的人数，求 的分布列及数学期望19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACBD 于点 O，E 为线段PC 上一点，且 ACBE（）求证：OE平面 A
8、BCD；（）若 BCAD，BC ，AD 2 ，PA3，且 ABCD，求二面角 CPDA的余弦值20 （12 分）一动圆 M 与圆 O1：x 2+（y1） 21 外切，与圆 O2：x 2+（y+1） 29 内切（）求动圆圆心 M 的轨迹方程；（）设过圆心 O1 的直线 l：ykx+1 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，请问ABO 2 的内切圆 N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 l 的方程；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnxx ax2（）当 a2 时，求曲线 yf （x）在点 P（1，f （1） ）处的切线方程；（）若 f（x）有两个极值点 x
9、1，x 2 且 x1x 2，求证：x 1x2e 2选修 4-4：坐标系与参数方程第 5 页（共 25 页）22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知曲线 C1 的参数方程是： （ 为参数，02） ，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为： ，其中 02（）求曲线 C1、C 2 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若 P 是曲线 C1 上任意一点， Q 为曲线 C2 上的任意一点，求| PQ|取最小值时 P 点的坐标选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x +1|2 x4|，g（x ）9+2 xx 2（）解不等式 f（x ）
10、1；（）证明：|8x 16|g（x）2f （x） 第 6 页（共 25 页）2018 年新疆高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 Ax| 2 x ，B x|lnx0 ，则 AB（ ）A B1，0） C D 1，1【分析】化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| 2 x x| 1x B x|lnx0x|0 x 1，则 ABx|0x （0， ） 故选：A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）已知 b+i（a ，b R） ，其中 i 为虚数单位，则 a2
11、+b2（ ）A0 B1 C2 D3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数相等的条件求出 a，b 的值，则答案可求【解答】解：由 b+i，得 a1，b1a 2+b22故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3 （5 分） “m ”是“方程 x2+x+m0 有实数解”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性【解答】解：先证明充分性：第 7 页（共 25 页）m ，14m0，方程 x2+x+m0 有实数解
12、，是充分条件；再证明必要性：方程 x2+x+m0 有实数解，14m0，m ，不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查了一元二次方程根的判别式，是一道基础题4 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为（ ）A4 B C10 D11【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得结果【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；联立 ，解得 A（4，2） ，化目标函数 z2x+y 为 y2x +z，由图可知当直线 y2x +z 过点 A 时，直线在 y 轴
13、上的截距最大， z 有最大值为24+210故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了数形结合的解题思想方法，是基础第 8 页（共 25 页）题5 （5 分）平面向量 （x，y） ， （x 2，y 2） ， （1，1） ， （2，2） ，若 1，则这样的向量 有（ ）A1 个 B2 个 C多于 2 个 D0 个【分析】根据平面向量的数量积运算法则，列方程组求得 x、y 的值即可【解答】解：平面向量 （x，y） ， （x 2，y 2） ， （1，1） ， （2，2） ，若 1，则 ，解得 ，向量 （ ， ） ，只有 1 个故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，
14、也考查了直线与圆的位置关系应用问题，是基础题6 （5 分）沈括是我国宋朝著名科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛，怎样用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术沈括用了近十年的时间写了著名的梦溪笔谈 ，提出了公式，解决了这个问题下面左图中的是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了 a 个酒缸，短边放置了 b 个酒缸，共放置了 n 层某同学根据左图，绘制了计算酒缸总数的程序框图，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）第 9 页（共 25 页）Ain？和 SS+a*b Bin？和 SS+a*bCin？和 Sa*b Din？
15、和 Sa*b【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：由已知中要计算 n 层酒缸总数的和故循环次数要 n 次，由循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值为 n，故 处应填：in？由于每次累加的值为每层酒缸的总数，为 a*b，故 处应填：SS+a*b，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题7 （5 分）已知双曲线 1（0a ）的两条渐近线的一个夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）第 10 页（共 25 页）A B C D2【分析】根
16、据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程，结合题意以及 a 的范围可得 ，解可得 a ，由双曲线的性质可得 c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 1 的焦点在 x 轴上，且 0a ，则其渐近线方程为 y x，又由双曲线的两条渐近线的一个夹角为 ，且 0a ，则有 ，解可得 a ，则 c ，则双曲线的离心率 e 2；故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，注意求出 a 的值8 （5 分）已知定义在 R 上的函数 的大小关系为（ ）Abac Bacb Ccab Dc ba【分析】由 0.90.9（0，1） ， ln（lg
17、9）0， 1，及其函数 f（x） 在 R上单调递减，即可得出【解答】解：0.9 0.9（0， 1） ，ln （lg9）0， 1，函数 f（x） 在 R 上单调递减，cab故选：C【点评】本题考查了对数函数与指数函数及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9 （5 分）数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，的项正负交替，且项的绝对值为 1 个 1，2 个 2，3 个 3，n 个 n，则此数列的前 100 项和第 11 页（共 25 页）为（ ）A7 B21 C21 D7【分析】根据题意，将数列按绝对值分组，分析各组和的关系；进而分析可得第
18、 100 个数为第 14 组的第 9 个数，将其相加即可得答案【解答】解：根据题意，将该数列分组，第 1 组，为 1，有 1 个 1，其和为 1，第 2 组，为2、2，其绝对值为 2，两项和为 0，第 3 组，为3，3，3；其绝对值为 3，其和为3，第 4 组，为 4，4，4，4；其绝对值为 4，其和为 0，第 5 组，为 5，5，5，5，5；其绝对值为 5，其和为 5，；前 13 组共有 1+2+3+1391 个数，则第 100 个数为第 14 组的第 9 个数，则此数列的前 100 项和为 13+57+911+13 147；故选：D【点评】本题考查合情推理的应用，关键是分析数列各项的规律1
19、0 （5 分）在空间中，与边长均为 3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置，由此能求出与边长均为3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数【解答】解：若三角形在平面的同侧，此时到ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的平面有两个因为正三角形的边长为 3，所以三角形的高为 2，所以当平面经过中位线 EF 时，根据线面平行的性质可知此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为 1cm同理过两外两个边的中位线的平面也各有 2 个所以满足条件的平面共有 8 个故选：D第
20、12 页（共 25 页）【点评】本题考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11 （5 分）不等式 在 t（0，2上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A B C D【分析】令 f（t） ，g（t） ，由不等式 在 t（0， 2上恒成立即 f（t ）maxag（t） min，利用函数的单调性可求【解答】解：令 f（t） ，则可得 f（t ）在 t（0，2 单调递增，则有f（t） max令 g（t） 在（0，2单调递减，则有g（t） ming（2）1不等式 在 t（0，2上恒成立f（t）
21、maxag（t） min故选：B【点评】本题主要考查了利用函数 yx+ 的单调性求解函数的最值，及不等式恒成立与函数最值之间的转化第 13 页（共 25 页）12 （5 分）关于函数 f（x ） +lnx，则下列结论不正确的是（ ）A存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立B函数 yf （x ）x 有且只有 1 个零点Cx 2 是 f（x ）的极小值点D对任意两个正实数 x1、x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）f （ x2） ，则 x1+x24【分析】求出原函数的导函数，得到单调性与极值，作出图象，数形结合可得 A 错误，C 正确；再利用导数证明 B 正确；构造函数，利用导
22、数证明 D 正确【解答】解：由 f（x ） +lnx，得 f（x） （x0） ，当 x（0，2 ）时，f（x ） 0，当 x（2，+）时，f（x）0，f（x）在（0 ，2）上为减函数，在（2，+）上为增函数，则 f（x）有最小值为 f（2）ln 2+1作出函数 f（x）的图象如图：由图可知，不存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立，故 A 错误；当 x（0，2）时，函数 yf（x ）x 有 1 个零点，令 g（x）f（x）x +lnxx，g（x） 0 对任意 x2，+ ）恒成立，g（x）在2 ，+ ）上单调递减，则 g（x）g（2）ln210，即当 x2 时，函数 yf（x）x 无零点，则
23、函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点，故 B 正确；x2 是 f（x）的极小值点，故 C 正确；第 14 页（共 25 页）令 t（0，2） ，则 2t（0，2） ，2+t2，令 g（t）f（2+t）f（2t） ，则 g（t） g（t）在（0，2）上为减函数，则 g（t ）g（0）0，令 x12t，由 f（x 1）f（x 2） ，得 x22+t ，则 x1+x22t +2+t4，当 x24 时 x1+x24 显然成立对任意两个正实数 x1、x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）f（x 2） ，则 x1+x24 正确，故 D 正确不正确的结论是 A故选：A【点评】本题考查导数知识的运用，考
24、查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列的b n的前 n 项和为 Tn，且a1b 11，a 4b 48，则 【分析】设公差为 d，公比为 q，求出公差和公比，再根据求和公式计算即可【解答】解：设公差为 d，公比为 q，a 1b 11，a 4b 48，d3，q2，S 551+ 25，T5 11， ，故答案为：【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等比数列的求和公式，属于基础题第 15 页（共 25 页）14 （5 分）如图是一个几何体的三视图，其正视图
25、与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的外接球的体积是 【分析】易得此几何体为正四棱锥，设 ACDBH ，则 PH面 ABCD，此几何体的外接球的球心在 PH 上，设球 半径为 R，PH2 sin603，R 2（PHR） 2+BH2，解得 R 即可求球的体积【解答】解：可得此几何体为正四棱锥，如图设 ACDBH，则 PH面 ABCD，此几何体的外接球的球心在 PH 上，设球 半径为 R，PH2 sin603，R2（PHR） 2+BH2，解得 R 则此几何体的外接球的体积是 故答案为： 【点评】本题考查了正四棱锥的三视图、球的体积计算公式，考
26、查了推理能力与计算能力，属于基础题15 （5 分） 展开式中 x2 的系数为 30 第 16 页（共 25 页）【分析】分析展开式中 x2 的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数【解答】解：当（1+ ）选择 1 时， （1+x） 6 展开式选择 x2 的项为 ；当（1+ ）选择 时， （1+ x） 6 展开式选择为 ，所以（1+ ） （1+ x） 6 展开式 30；故答案为：30【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式得到 x2 的两种情况16 （5 分）横坐标和纵坐标均为整数的点叫整点设 a，b 均为大于 1 的正数，且ab+ab100若 a+b 的最小值为 m，则满足 3x
27、2+2y2m 的整点（x ，y）的个数为 9 个【分析】根据题意，对 ab+ab100 变形整理可得 a、b 间的关系，进而可得 a+b 的最小值，即 m 的值；满足 3x2+2y2m 的点可以看成是椭圆 + 1 的上及其内部的点，结合椭圆的几何性质，分析可得答案【解答】解：根据题意，ab+ab100，则 a 1+ ，则 a+bb+1+ 2 6，即 a+b 的最小值为 6，则 m6，3x2+2y2m 即 3x2+2y26，满足 3x2+2y2 m 的点可以看成是椭圆 + 1 的上及其内部的点，分析可得其整点共有 9 个，分别为（0，0） ， （0，1） ， （0，1） ， （1，0） ， （1
28、，0） ，（1，1） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，1） ，故答案为：9【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及椭圆的简单几何性质，关键是求出m 的值三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知向量 （1，sinx ） ， （sinx，1） ， （1，cosx） ，x（0，） （）若（ + ） ，求 x；（）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 B 为（）中的第 17 页（共 25 页）x，2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsin C，求 sin（C ）的值【分析】 （）由已知结合向量的坐标加法求得（ + ） ，再由（
29、 + ） 列式求 x；（）由已知等式结合正弦定理及余弦定理求得 cosA，进一步得到 sinA，由 sin（C ）sin（ ） sin（ ） ，展开两角差的正弦求解【解答】解：（） （1，sinx ） ， （sinx，1） ， （1，cosx） ， ，（ + ） ，（1+sinx）cosx sin x1，则 sinxcosxsin xcosx1，令 sinx cosxt，得 t ，x（0，） ， ，即 sinxcosx ，t（1， ，则 t2+2t30，解得 t1sinx cosx1，于是 ，sin （x ） 可得 x ；（）2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsinC ，2b
30、2+2c22a 2bc ， ，即 cosA ，得 sinA 又 B ，sin（C ）sin （ ）sin （ ）sin 【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，考查三角形的解法，是中档题18 （12 分）中国共产党第十九次全国代表大会（简称十九大）于 2017 年 10 月 18 日10月 24 日在北京胜利召开 “十九大”报告指出：“必须把教育事业放在优先位置，深化教育改革，加快教育现代化，办好人民满意的教育” 要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育，办好学前教育、特殊教育和网络教育” 某乡镇属于学前教育、特殊教育、网络教育的学校的比例为 3：1：2现有 3 名师范毕业生从 3
31、 类学校第 18 页（共 25 页）中任选一所学校参与应聘，假设每名毕业生被每所学校录取的机会相同（）求他们选择的学校所属教育类别相同的概率；（）记 为 3 名师范毕业生中选择的教育属于学前教育或网络教育的人数，求 的分布列及数学期望【分析】 （）记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育、特殊教育和网络教育分别为事件 Ai、B i、 i，i1， 2，3，由题意知 A1，A 2，A 3 相互独立，B 1，B 2，B 3 相互独立，C 1，C 2，C 3 相互独立，A i，B j， k（i ，j，k 1，2，3，且 i，j ，k 互不相同）相互独立，且 P（A i） ，P （B i） ，P（
32、i） ，由此能求出他们选择的学校所属教育类别相同的概率（）记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育或网络教育分别为事件Di，i1，2，3，由已知 D1，D 2，D 3 相互独立，且 P（D i）P（A i+i）P（A i）+P（ i） ，B（3， ） ，由此能求出 的分布和 E（） 【解答】解：（）记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育、特殊教育和网络教育分别为事件 Ai、B i、 i，i 1，2，3，由题意知 A1，A 2，A 3 相互独立，B 1，B 2，B 3 相互独立，C 1，C 2，C 3 相互独立，Ai， Bj， k（i，j，k 1，2，3，且 i，j ，k 互不相同）相
33、互独立，且 P（A i） ，P （B i） ， P（ i） ，他们选择的学校所属教育类别相同的概率为：PP（A 1A2A3）+P（B 1B2B3）+ P（C 1C2C3）（ ） 3+（ ） 3+（ ） 3 （）记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育或网络教育分别为事件Di，i1，2，3，由已知 D1，D 2，D 3 相互独立，且 P（D i）P（A i+i）P（A i）+P（ i） ，B（3， ） ，P（k ） ，k 0，1，2，3， 的分布为： 0 1 2 3P 第 19 页（共 25 页）E（） 【点评】本题考查概率的求
34、法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACBD 于点 O，E 为线段PC 上一点，且 ACBE（）求证：OE平面 ABCD；（）若 BCAD，BC ，AD 2 ，PA3，且 ABCD，求二面角 CPDA的余弦值【分析】 （）由 ACBD，ACBE，可得 AC平面 BDE，得到 ACOE ，又 PA平面 ABCD，得 ACPA ，进一步得到 OEPA ，则 OE平面 ABCD；（）由 BCAD，BC ，AD 2 ，且 ABCD，可得ABCDCB，得
35、ACBDBC，进一步求解三角形可得 OAOD2由（ ）知，OE平面ABCD，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OE 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ，然后分别求出平面 PCD 与平面 PAD 的一个法向量由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角 CPDA 的余弦值【解答】 （）证明：AC BD，ACBE，BD BE B ，AC平面 BDE，OE平面 BDE，ACOE，又 PA平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPA，又 OE、PA 都是都是平面 PAC 中的直线，OEPA，又 PA平面 ABCD，第 20 页（共 25 页）OE平面 ABCD；（）解：BCAD，
36、BC ，AD 2 ，且 ABCD，ABCDCB，则ACBDBC，又 ACBD，在OBC 中，OBOC1，同理 OAOD 2由（）知，OE平面 ABCD，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OE 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B（1，0，0） ，C（0，1， 0） ，D（2，0，0） ，P（0，2，3） ，则 ， ，设平面 PCD 的一个法向量为 ，由 ，取 x1，得 取棱 BC 的中点 M，连接 OM，可得 OM平面 PAD，平面 PAD 的一个法向量 由图可知，二面角 CPDA 的平面角为锐角，设为 ，则 cos|cos | | | 二面角 CPDA 的余弦值
37、为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题第 21 页（共 25 页）20 （12 分）一动圆 M 与圆 O1：x 2+（y1） 21 外切，与圆 O2：x 2+（y+1） 29 内切（）求动圆圆心 M 的轨迹方程；（）设过圆心 O1 的直线 l：ykx+1 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，请问ABO 2 的内切圆 N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （）设动圆圆心为 M（x，y） ，半径为 r，动圆与圆 O1：x 2+（y1） 21 外切，与圆 O2：x
38、2+（y+1 ） 2 9 内切，得|MO 1|r+1，|MO 2|3r，|MO 1|+|MO2|4，由椭圆定义知 M 在以 O1，O 2 为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心 M 的轨迹的方程；（）当ABO 2 的面积最大时，R 也最大，ABO 2 内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合二次函数的性质，求得最值，即可求得结论【解答】解：（）设动圆圆心为 M（x，y） ，半径为 r，由题意，动圆与圆 O1：x 2+（ y1） 21 外切，与圆 O2：x 2+（y+1 ） 29 内切，|MO 1|r+1，|MO 2|3r ，|MO 1|+|MO2|4|O 1O2|2，由椭圆定义知 M
39、 在以 O1，O 2 为焦点的椭圆上，且 a2，c1，b 2a 2c 2413动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 + 1；（）如图，设ABO 2 内切圆 N 的半径为 R，与直线 l 的切点为 C，则三角形ABO 2 的面积 （| AB|+|AO2|+|BO2|）R （|AO 1|+|O1B|+|AO2|+|BO2|）R 4aR4R，当 最大时，R 也最大，ABO 2 内切圆的面积也最大，设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） （x 10，x 20） ，则 |O1O2|x1|+ |O1O2|x2|x 1x 2，由 ，得（3k 2+4）x 2+6kx90，x1+x2 ，x 1x2 ，第
40、 22 页（共 25 页）（x 1x 2） 2（x 1+x2） 24x 1x2（ ） 2+ ，令 t4+3k 2（t4） ，可得 4 4 ，由 0 ，可得 t4 即 k0 时， 的面积取得最大值 3，即有 4R 的最大值为 3，可得 R 的最大值为 ，ABO 2 的内切圆 N 的面积存在最大值，且为 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定ABO 2 的面积最大时，R 也最大，ABO 2 内切圆的面积也最大21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnxx ax2（）当 a2 时，求曲线 yf （x）在点 P（1，f （1）
41、 ）处的切线方程；（）若 f（x）有两个极值点 x1，x 2 且 x1x 2，求证：x 1x2e 2【分析】 （）求出函数的导数，计算 f（1） ，f （1） ，求出切线方程即可；（）求出 a ，得到 lnx1+lnx2 ，设 0x 1x 2，0t1，问题转化为证明： 2，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）a2 时，f（x ）xlnxx+x 2，f（1）0，f（x）lnx +2x，故 f（1）2，故 P 处的切线方程是 y2（x 1） ，即 2xy20；（）证明：若若 f（x ）有两个极值点 x1，x 2，则导函数有 2 个零点 x1，x 2，第 23 页（共 25 页）要证 x1x2e
42、 2lnx1+lnx22，由 f（x）lnxax，可得 ，故 a ，故 lnx1+lnx2 ，设 0x 1x 2，0t 1，则 lnx1+lnx2 ，下面只需证明： 2，lnt 对于 0t1 恒成立，设 g（t）lnt ，则 g（t） 0，故 g（t）在（0，1）递增，故 g（t）g（1）0，故 lnt 在 0t1 恒成立，即 lnx1+lnx22，即 x1x2e 2【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知曲线 C1 的参数方程是： （ 为参数，02） ，
43、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，第 24 页（共 25 页）曲线 C2 的极坐标方程为： ，其中 02（）求曲线 C1、C 2 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若 P 是曲线 C1 上任意一点， Q 为曲线 C2 上的任意一点，求| PQ|取最小值时 P 点的坐标【分析】 （）曲线 C1 的参数方程消去参数 ，能求出曲线 C1 的普通方程及表示的曲线；由曲线 C2 的极坐标方程能求出曲线 C2 的普通方程及表示的曲线（）由圆心 C1（4，3） ，设 P（4+2cos ，3+2sin） ，PC 1 与直线 xy4 垂直时，|PQ|取得最小值，此时 1，
44、 1 ，由此能求出当|PQ|取最小值是时，点 P 坐标【解答】解：（）曲线 C1 的参数方程是： （ 为参数，02 ） ，曲线 C1 的普通方程为（x +4） 2+（y3） 24，曲线 C2 的极坐标方程为： ，其中 02曲线 C2 的普通方程为 xy4曲线 C1 是圆心为（4，3） ，半径为 2 的圆，曲线 C2 是斜率为 1，在 y 轴上截距为4 的直线（）由圆心 C1（4，3） ，设 P（4+2cos ，3+2sin） ，由题意知 PC1 与直线 xy4 垂直时，|PQ|取得最小值，此时 1，1，02 ， 或 ，当 时，P（4 ，3+ ） ，当 时，P（4+ ，3 ） ，当|PQ|取最小
45、值是时，点 P 坐标为（4+ ，3 ） 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲第 25 页（共 25 页）23设函数 f（x ）|2x +1|2 x4|，g（x ）9+2 xx 2（）解不等式 f（x ）1；（）证明：|8x 16|g（x）2f （x） 【分析】 （）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式，解出即可；（）根据绝对值不等式的性质求出 2f（x ）+|8x16|的最小值是 10，从而求出 g（x）的最大值，从而证明结论【解答】解：（）当 x2 时，f （x）2x+1（2x4）51，得 xR故 x2，当 x2 时，f（x）2x+1（42x）4x31，得 x1，故 1x2，当 x 时，f（x）2x1（42x）51 不成立，综上，原不等式的解集是（1，+） ；（）证明|8x16|g（x）2f （x）|8x16|+2f（x ）g（x） ，2f（x）+|8 x16|4x+2|+|4x8| （4x+2）（4x8）|10，当且仅当 x2 时“”成立，故 2f（x）+|8 x16|的最小值是 10，又 g（x）（x 1） 2+1010
