1、2019 年新疆高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 UR，若函数 f（x）x 23x+2，集合 Mx|f （x ）0，Nx |f（x） 0，则 M UN（ ）A B C D2 （5 分）复数 z1+2 i（i 是虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则 （ ）A + i B i C i D i3 （5 分）若 sin（+ ） ，（0，） ，则 cos 的值为（ ）A B C D4 （5 分）已知点 P（1， ） ，O 为坐标原点，点 Q 是圆 O：x
2、2+y21 上一点，且0，则| + |（ ）A B C D75 （5 分）函数 f（x ）ln|1+x |ln |1x|的大致图象为（ ）A BC D6 （5 分）若点 M（x，y）满足 ，则 x+y 的取值集合是（ ）A1，2+ B1，3 C2+ ，4 D1 ，47 （5 分）将边长为 3 的正方形 ABCD 的每条边三等份，使之成为 33 表格，将其中 6 个第 2 页（共 24 页）格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法种数有（ ）A12 B6 C36 D188 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 a 的可
3、能值为（ ）A4 B5 C6 D79 （5 分）已知命题 ，命题 q：（x+a） （x3）0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ）A （3，1 B3，1 C （，3 D （，110 （5 分）已知点 A 是抛物线 C：x 24y 的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P，Q ，则APQ 的面积为（ ）A2 B3 C4 D511 （5 分）已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA12，BC 2，BAC ，则三棱柱 ABCA 1B1C1 外接球的体积为（ ）A4 B6 C8
4、D1212 （5 分）定义在区间a，3（a0）上的函数 f（x）e xe x 2x +3x3， （e2.718，e 为自然对数的底数）满足 f（a+1）f（2a 2） ，则第 3 页（共 24 页）实数 a 的取值集合是（ ）A （0， B1， C ， D （1， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）若二项式（a ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 14 （5 分）数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 bn满足关系为+ + + ，数列b n的前 n 项和为 Sn，则 S4 的值为 &nb
5、sp; 15 （5 分）设点 O 在ABC 的内部且满足： ，现将一粒豆子随机撒在ABC 中，则豆子落在OBC 中的概率是 16 （5 分）设 f（x ）是 R 上具有周期 2 的奇函数，并且 f（3）f（4）0，则 f（x）在0，10中至少有 个零点三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17 （12 分）已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 tanC（）求角 C 大小；（）当 c1 时，求 a2+b2 的取值范围18 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB
6、BCBD2，ABCDBC120，E、F 分别为 AC、DC 的中点（）求证：ADBC；（）求二面角 DBEF 的正弦值19 （12 分）港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目大桥建设需要许多桥染构件从某企业生产的桥梁构件中抽取 100 件测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65 ） ，65，75） ，75 ，85 内的频率之比为 4：2：1（）求这些桥梁构件质量指标值落在区间75，85 内的频率；第 4 页（共 24 页）（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3 件，记这 3 件桥梁构件
7、中质量指标值位于区间45，75）内的桥梁构件件数为 X，求 X 的分布列与数学期望20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点， F（1，0）是它的一个焦点，直线 l1 过点 F 与椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l1x 轴时， （）求椭圆 C 的标准方程；（）设椭圆的左顶点为 P，PA、PB 的延长线分别交直线 l2：x2 于 M，N 两点，证明：以 MN 为直径的圆过定点21 （12 分）已知函数 f（x ）（x 2+ax2a3）e x，（）若 x2 是函数 f（x）的一个极值点求实数 a 的值；（）设 a0，当 x1，2时，f（x ）e 2，求实数 a 的取值范围请考生在第 222
8、3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）已知曲线 （ 为参数） ，曲线 （t 为参数） （1）若 ，求曲线 C2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）曲线 C1 和曲线 C2 的交点记为 M，N ，求|MN|的最小值选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x 2|+|3x4|（）解不等式 f（x ）5x；第 5 页（共 24 页）（）若 f（x）的最小值为 m，若实数 a，b 满足 2a+3b3m，求证：a 2+b2 第 6 页（共 24 页）
9、2019 年新疆高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 UR，若函数 f（x）x 23x+2，集合 Mx|f （x ）0，Nx |f（x） 0，则 M UN（ ）A B C D【分析】先求出函数的导数后，解两个不等式化简集合 M、N，后求补集 UN，最后求交集 M UN 即得【解答】解：f（x ）x 23x+2，f（x）2 x3，由 x23x+20 得 1x 2，由 2x30 得 x ， UN ，+） ，M UN 故选：A【点评】这是一个集合与导数、不等式交
10、汇的题，本小题主要考查集合的简单运算属于基础题之列2 （5 分）复数 z1+2 i（i 是虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则 （ ）A + i B i C i D i【分析】把 z1+2 i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z1+2 i， 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）若 sin（+ ） ，（0，） ，则 cos 的值为（ ）第 7 页（共 24 页）A B C D【分析】由已知求得 cos（+ ） ，再由 coscos（ ） ，展开两角差的余弦求解【解答】解：（0，） ， + （ ）
11、 ，又 sin（ + ） ，cos （ + ） ，则 coscos（ ） cos（ ）cos +sin（ ）sin 故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，是基础题4 （5 分）已知点 P（1， ） ，O 为坐标原点，点 Q 是圆 O：x 2+y21 上一点，且0，则| + |（ ）A B C D7【分析】设 Q（x，y） ，由 0，可得 ，然后由| + | 整天代入即可求解【解答】解：设 Q（x，y） ， 0，x（x+1）+y（ y ）0x 2+y21 （x1，y + ）则| + | 故选：C【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题5
12、 （5 分）函数 f（x ）ln|1+x |ln |1x|的大致图象为（ ）第 8 页（共 24 页）A BC D【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的符号进行排除即可【解答】解：f（x ）ln|1 x|ln|1+x|（ln|1+x|ln|1x| ）f（x） ，即 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，C，f（2）ln3ln1ln30，排除 B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合特殊值进行排除是解决本题的关键6 （5 分）若点 M（x，y）满足 ，则 x+y 的取值集合是（ ）A1，2+ B1，3 C2+ ，
13、4 D1 ，4【分析】作出不等式组表示的可行域，作出与目标函数平行的直线，利用数形结合即可得到结论【解答】解点 M（x，y）满足 的可行域如图：zx+y，变形 yx +z平移直线 yx +z，第 9 页（共 24 页）当直线 yx+z 经过点 B（1+ ，1+ ）时，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大；可得最大值为：2 ，直线经过 D 时，取得最小值为：1，x+y 的取值集合是： 1，2+ 故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，向量的数量积公式、作不等式组的平面区域、数形结合求出目标函数的最值7 （5 分）将边长为 3 的正方形 ABCD 的每条边三等份，使之成为 33 表格，将其中
14、 6 个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法种数有（ ）A12 B6 C36 D18【分析】根据题意，2 步进行分析：，对于第一行，可以在 3 个方格中任选 2 个染色，分析第二、三行的染色方法数目，由乘法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：，对于第一行，可以在 3 个方格中任选 2 个染色，有 C323 种染色方法，对于第二行，当第一行确定之后，第二行有 2 种染色方法，第三行有 1 种染色方法，则每行每列都有两个黑格的染色方法有 6 种；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题第 10 页（共 24 页）8 （
15、5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 a 的可能值为（ ）A4 B5 C6 D7【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 S 时，根据题意，此时应该满足条件 ka，退出循环，输出 S 的值为 ，从而得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得S1，k1不满足条件 ka，S1+ ，k2不满足条件 ka，S1+ + ，k3不满足条件 ka，S1+ + + 2 ，k4不满足条件 ka，S1+ + + 2 ，k5根据题意，此时应该满足条件 ka，退出循环，输出 S 的值为 故选：A【点评】本题主要考查了循环结构，根据 S 的值正确判断退出循环的条件
16、是解题的关键，属于基础题第 11 页（共 24 页）9 （5 分）已知命题 ，命题 q：（x+a） （x3）0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ）A （3，1 B3，1 C （，3 D （，1【分析】求解本题要先对两个命题进行化简，解出其解集，由 p 是 q 的充分不必要条件可以得出 p 命题中有等式的解集是 q 命题中不等式解集的真子集，由此可以得到参数 a的不等式，解此不等式得出实数 a 的取值范围【解答】解：对于命题 ，解得1x1，则 A（1，1）对于命题 q：（x+a） （x 3）0，其方程的两根为a 与 3，讨论如下，若两根相等，则 a3 满
17、足题意若a3，则 a3 则不等式解集为（，a）（3，+） ，由 p 是 q 的充分不必要条件，得a1，得 a1，故符合条件的实数 a 的取值范围3a1若a3，即 a3，则不等式解集为（，3）（a，+） ，满足 p 是 q 的充分不必要条件，得 a3，综上知，符合条件的实数 a 的取值范围是（，1故选：D【点评】本题考点必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查不等式的解法以及利用充分不必要条件确定两个不等式解集之间的关系，以得出参数所满足的不等式，此是本章中的一种常见题型10 （5 分）已知点 A 是抛物线 C：x 24y 的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P
18、，Q ，则APQ 的面积为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由已知得到 A 的坐标，设过点 A 与抛物线相切的直线方程为 ykx 1，与抛物线方程联立，由判别式等于 0 求得 k，可得 P，Q 的坐标，则答案可求【解答】解：根据题意，点 A（1，0） ，设过点 A 与抛物线相切的直线方程为 ykx1；由 ，得 x24kx+40，16k 2160，可得 k1，则 Q（2，1） ，P（2，1） ，第 12 页（共 24 页）APQ 的面积为 S 424，故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧
19、棱与底面垂直，AA12，BC 2，BAC ，则三棱柱 ABCA 1B1C1 外接球的体积为（ ）A4 B6 C8 D12【分析】先利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径 2r，再利用公式可计算出外接球的半径 R，最后利用球体体积公式可得出答案【解答】解：由正弦定理可知，ABC 的外接圆直径为 ，由于三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面垂直，该三棱柱为直三棱柱，所以，该三棱柱的外接球直径为 ，则 因此，三棱柱 ABCA 1B1C1 外接球的体积为 故选：A【点评】本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题12 （5 分）定义
20、在区间a，3（a0）上的函数 f（x）e xe x 2x +3x3， （e2.718，e 为自然对数的底数）满足 f（a+1）f（2a 2） ，则实数 a 的取值集合是（ ）A （0， B1， C ， D （1， ）【分析】利用导数可得 f（x ）在 a，3上为增函数，把 f（a+1）f（2a 2）转化为关于a 的不等式组求解第 13 页（共 24 页）【解答】解：由 f（x ）e xe x 2x+3x 3，得 f（x ）e x+ex 2+9 x2，xa， 3（a0） ，f（x）2 0f（x）在a， 3上为增函数，由 f（a+1）f （2a 2） ，得 ，解得 1a 实数 a 的取
21、值集合是1， 故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用，考查不等式组的解法，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）若二项式（a ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 2 【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：二项式（a ） 6 的展开式中的通项公式：T r+1（1） ra6r x3r 令 3r0，解得 r3常数项为 160，则 a2故答案为：2【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14 （5 分）数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 bn满足关系为+ + + ，数列b n的前 n 项和为
22、 Sn，则 S4 的值为 162 【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和【解答】解：数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则：a n1+2（n1）2n1，第 14 页（共 24 页）由于 ，所以：当 n1 时，解得：b 12，当 n2 时， ，当得： ，整理得： ， （首项不符合通项） ，则： ，所以：S 4b 1+b2+b3+b4，21240112，162故答案为：162【点评】 ，本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用数列的通项公式求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题15 （5 分）设点 O 在ABC 的内部且满足：
23、，现将一粒豆子随机撒在ABC 中，则豆子落在OBC 中的概率是 【分析】题中条件：“满足： ， ”说明点 O 在三角形的位置，由下面的图可知，它在中线的三分之一处；利用几何概型的意义求两个三角形的面积比即可【解答】解： ，点 O 在三角形内且在中线的三分之一处，如图：第 15 页（共 24 页）豆子落在OBC 中的概率 故填： 【点评】本题考查几何概型，将基本事件“几何化” ，实际问题转化为数学问题，将随机事件的概率抽象为几何概型是研究的关键16 （5 分）设 f（x ）是 R 上具有周期 2 的奇函数，并且 f（3）f（4）0，则 f（x）在0，10中至少有 &nb
24、sp;11 个零点【分析】根据函数的周期性和奇偶性的性质，分别进行递推即可【解答】解：f（x ）是定义域为 R 的具有周期 2 的奇函数，f（0）0，则 f（2）f（0）0，又 f（3）f（4）0，则 f（3）0，f （4）0，f（3+2） 0，f（4+2）0，f （3+4）0，f（4+4 ）0，f（3+2）0，又 f（）f（+2 ）f（ ）f（ ） ，f（）0，f（+2 ）f（3 ）0f（x）在区间 0，10中至少有零点：0，2，3，3+2，4，24，44，2 3，43，3，11 个，故答案为：11【点评】本题主要考查函数零点个数的求解，结合函数奇偶性和周期性的性质，依次进行递推是解决本题的
25、关键三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17 （12 分）已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 tanC第 16 页（共 24 页）（）求角 C 大小；（）当 c1 时，求 a2+b2 的取值范围【分析】 （I ） 利用锐角ABC 中，sin C ，求出角 C 的大小（II）先求得 B+A150 ，根据 B、A 都是锐角求出 A 的范围，由正弦定理得到a2sinA，b2sinB2sin（A+30） ，根据 a2+b24+2 sin（2A60） 及 A 的范围，得（2A60） ，从而得到 a2+b2 的范围【解答】解：（I ）由已知及余弦定理，得
26、tanC ，sinC ，故锐角 C （II）当 C1 时，B+A150，B150A由题意得，60A90由 2，得 a2sinA，b2sinB2sin（A+30） ，a 2+b24sin 2A+sin2（A+30）4 + 41 cos2A（ cosA sin2A） 4+2 sin（2A60） 60A90，（2A60） 7a 2+b24+2 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，其中判断sin（2A60）的取值范围是本题的难点18 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB BCBD2，ABCDBC120，E、F 分别为 AC、DC 的中点（）求证：ADBC；（
27、）求二面角 DBEF 的正弦值【分析】 （）法一：取 AD 的中点 M，连结 BM，CM，推导出ABC第 17 页（共 24 页）DBC，ADCM，ADBM ，从而 AD平面 BCM，由此能证明 ADBC法二：以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，过 B 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 ADBC（）求出平面 DBE 的法向量和平面 BEF 的法向量，利用向量法能求出二面角DBEF 的正弦值【解答】证明：（）法一：取 AD 的中点 M，连结 BM，CM，ABBCBD2，ABCDBC120，ABC
28、DBC，ABBD ，AMMD，ADCM，ABBD ，AMMD，ADBM ，又 CMBMM ，AD平面 BCM，ADBC证法二：ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD 2，ABCDBC120，E、F 分别为 AC、DC 的中点，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，过 B 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（0，0，0） ，A（0，1， ） ，D （ ，1，0） ，C（0，2，0） ，E（0， ） ，F （ ， ，0） ， （ ） ， （0，2，0） ， 0，ADBC解：（）设平面 DBE 的法向
29、量 （x，y ，z） ，（ ） ， （0， ） ， （ ， ，0） ，由 ，取 x1，得 （1， ，1） ，设平面 BEF 的法向量 （a，b，c） ，第 18 页（共 24 页）则 ，取 x1，得 （1， ，1） ，设二面角 DBEF 的平面角为 ，则 cos ，sin 二面角 DBEF 的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目大桥建设需要许多桥染构件从某企业生产的桥梁构件中抽取 100
30、 件测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65 ） ，65，75） ，75 ，85 内的频率之比为 4：2：1（）求这些桥梁构件质量指标值落在区间75，85 内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3 件，记这 3 件桥梁构件中质量指标值位于区间45，75）内的桥梁构件件数为 X，求 X 的分布列与数学期望第 19 页（共 24 页）【分析】 （）设这些桥梁构件质量指标值落在区间75，85 内的频率为 x；则在区间55，65） ，65，75）内的频率之比为 4x，2x 由题意可得：（0.004+0.012+0
31、.019+0.03）10+4x+2x+x1，解得 x，即可得出（）从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立的重复试验可得 XB（3，p） 即可得出【解答】解：（）设这些桥梁构件质量指标值落在区间75，85 内的频率为 x；则在区间55，65） ，65，75）内的频率之比为 4x，2x 由题意可得：（0.004+0.012+0.019+0.03）10+4x+2x+x1，解得 x0.05这些桥梁构件质量指标值落在区间75，85 内的频率为 0.05（）从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立的重复试验XB（3，p） 由（I）可得：区间45
32、，75 内的频率为 0.3+0.2+0.10.6将频率视为概率，可得：p0.6XB（3，0.6） X 的可能取值为 0，1，2，3P（Xk） ，数学期望 E（X）30.61.8【点评】本题考查了二项分布列的性质、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点， F（1，0）是它的一个焦点，直线 l1 过点 F 与椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l1x 轴时， （）求椭圆 C 的标准方程；（）设椭圆的左顶点为 P，PA、PB 的延长线分别交直线 l2：x2 于 M，N 两点，证明：以 MN 为直径的圆过定点【分析】 （I）设椭圆 C
33、的方程为 （ab0） ，则 a2b 21，当 l1 垂直于 x轴时，A，B 两点的坐标分别是（1， ）和（1， ） ，由 知 a22b 4，由此能求出椭圆 C 的方程（）由对称性，若定点存在，则定点在 x 轴上，设直线 MN 的方程为：xmy +1，代第 20 页（共 24 页）入椭圆方程，运用韦达定理，再设 T（t，0）在以 PQ 为直径的圆上，则 TMTN ，即 0运用向量的数量积的坐标表示，代入韦达定理，化简整理，即可得到T1 或 3，可得定点【解答】解：（） ，设椭圆 C 的方程为 （ab0） ，则 a2b 21，当 l1 垂直于 x 轴时， A，B 两点的坐标分别是（1， ）和（1，
34、 ） ，由 1 ，知 a22b 4由， 消去 a，得 2b4b 210b 21 或 b2 （舍） 当 b21 时，a 22因此，椭圆 C 的方程为 （）证明：由对称性，若定点存在，则定点在 x 轴上，设直线 MN 的方程为：xmy+1，代入椭圆方程得（m 2+2）y 2+2my10，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2 ，y 1y2 ，直线 PA： M（2， ）同理可得 N（2， ）再设 T（t，0）在以 MN 为直径的圆上，则 TMTN，即 （2t） 2+ 0（2t） 2+ （2t） 2+ 0 第 21 页（共 24 页）（2t） 2解得 t1 或 t3，所以，
35、以 MN 为直径的圆恒过定点（1，0）或（3，0） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查向量垂直的条件，以及化简整理的运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x 2+ax2a3）e x，（）若 x2 是函数 f（x）的一个极值点求实数 a 的值；（）设 a0，当 x1，2时，f（x ）e 2，求实数 a 的取值范围【分析】 （）首先求得导函数，然后结合题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定实数 a 的值；（）原问题等价于 f（x ） maxe 2 成立，结合（）中的结论分类讨论求解实数 a 的取值范围即可【解
36、答】解：（I）由 f（x ）（x 2+ax2a3）e x 可得：f（x）（2x+a）e x+（x 2+ax2a3）e x x2+（2+a）xa3e x（x +a+3） （x1）ex由 x2 是函数 f（x）的一个极值点，可知 f（2）0，则（a+5）e 20，解得 a5故 f（x）（ x+a+3） （x1）e x（x2） （x1）e x当 1x2 时，f （x）0，当 x2 时，f （x）0可知 x2 是函数 f（x）的一个极值点a5（）因为 x1，2时，f（x ）e 2，所以 x1，2时，f（x） maxe 2 成立由（I）知 f（x ）（x +a+3） （x1）e x，令 f（x）0，解得
37、 x1a3，x 211当 a5 时，a32，f（x ）在 x1，2上单调递减，f（x） maxf（1）（a2）ee 2，ae2，与 a5 矛盾，舍去2当5a4 时，1a32，f（x ）在 x（1，a3）上单调递减，在x（a3，2 ）上单调递增f（x） max 在 f（1）或 f（2）处取到，f（1）（a2）e，f（2）e 2，只要 f（1）（a2）ee 2，解得e2a4第 22 页（共 24 页）3当4a0 时，a31，f（x ）在 x1，2上单调递增，f（x） maxf（2）e 2 符合题意综上所述，a 的取值范围是 ae2，0） 【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的最值，
38、分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）已知曲线 （ 为参数） ，曲线 （t 为参数） （1）若 ，求曲线 C2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）曲线 C1 和曲线 C2 的交点记为 M，N ，求|MN|的最小值【分析】 （1）将 的值代入曲线方程，消去参数 t 即可求出曲线 C2 的普通方程，再根据直线参数方程代表的几何意义可知；（2）将弦长 MN 表示出来 ，要使|
39、MN| 的最小值，只需弦心距最大即可，此时弦心距为 OG，解之即可【解答】解：（1） （t 为参数）x1y+1， 曲线 C2 的普通方程是 yx2（2 分）它表示过（1，1） ，倾斜角为 的直线（3 分）（2）曲线 C1 的普通方程为 x2+y24（5 分）设 G（1，1） ，过 G 作 MNOG，以下证明此时|MN| 最小，过 G 作直线 MN，MN 与 MN 不重合在 Rt OGG 中，| OG| |OG| MN|MN| （8 分）此时， （10 分）第 23 页（共 24 页）【点评】本题主要考查了圆的参数方程、直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题选修 4-5：不等式选讲
40、23设函数 f（x ）|x 2|+|3x4|（）解不等式 f（x ）5x；（）若 f（x）的最小值为 m，若实数 a，b 满足 2a+3b3m，求证：a 2+b2 【分析】 （）求出 f（x ）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（）求出 m 的值，根据基本不等式的性质证明即可【解答】解：（）f（x ）|x2|+|3x4| ，f（x）5x，故当 x2 时，4x 65x ，解得： x6，不等式无解，当 x2 时，2x 25，解得：x ，不等式无解，当 x 时，4x +65x ，解得： x ，不等式的解集是 x ，综上，不等式的解集是（， ） ；（）结合（）易得 f（x ） min ，故 m ，2a+3b2，故 a2+b2a 2+ a2 a+ + ，第 24 页（共 24 页）当且仅当 a ，b 时取“” ，故 a2+b2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
