1、2017 年新疆高考数学二模试卷（理科）一、选择题1 （5 分）若集合 Ax|x| 1，x R，By|yx 2，xR ，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|x0 C x|0x1 D2 （5 分）已知复数 z13bi ，z 212i ，若 是纯虚数，则实数 b 的值为（ ）A0 B C D3 （5 分）已知向量 （+1，1） ， （+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 （ ）A4 B3 C2 D14 （5 分）右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 24，39，则输出的 a（
2、）A2 B3 C4 D245 （5 分）由曲线 yx 2+1、直线 yx+3，x 轴与 y 轴所围成图形的面积为（ ）A3 B C D6 （5 分）设 m、n 是不同的直线， 、 是不同的平面，有以下四个命题：若 ，则 若 ，m ，则 m若 m ，m ，则 第 2 页（共 26 页）若 mn，n，则 m其中真命题的序号是（ ）A B C D7 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B27 C27 D8 （5 分）从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中，每次取出两个不同的数，分别记作 a，b，可以得到 lgalgb 的不
3、同值的个数是（ ）A28 B26 C24 D229 （5 分）已知 a0，x，y 满足约束条件 ，若 z2x+y 的最小值为 1，则a（ ）A1 B C D210 （5 分）以下结论正确的是（ ）A一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 6 和 4 的长方形，则这个圆柱的体积一定是等于B命题“x 0R，x 02+x010”的否定是“x R，x 2+x10”C若 0 时， “k + （kZ”是“函数 f（x ）sin（x +）是偶函数”的充要条件D已知O： x2+y2r 2，定点 P（x 0，y 0） ，直线 l：x 0x+y0yr 2，若点 P 在O 内，
4、则直线 l 与 O 相交第 3 页（共 26 页）11 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+）1（0， |）的一个零点是 ，函数yf（x ）图象的一条对称轴是 x ，则 取得最小值时，函数 f（x）的单调增区间是（ ）A3k ，3k ，k Z B3 k ，3k ，kZC2k ，2k ，kZ D2k ，2k ，kZ12 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F 1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C3 D2二、填空题13 （5 分） 的值是 14 （5 分）ABC
5、 中，AB 2，AC 5，cosA ，在ABC 内任意取一点 P，则PAB面积大于 1 且小于等于 2 的概率为 15 （5 分）已知函数 f（x ） ，若存在实数 b，使得函数 g（x）f（x）b 有两个不同的零点，则 a 的取值范围是 16 （5 分）当 x1 且 x0 时，数列nx n1 的前 n 项和 Sn1+2x+3x 2+nxn1 （nN *）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由 x+x2+x3+xn（nN *）按等比数列的求和公式，先求得 x+x2+x3+xn ，两边都是关于 x 的函数，两边同时求导，（x+ x2+
6、x3+xn）（ ），从而得到：S n1+2x+3x 2+nxn1 ，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x） n1+ x+ x2+xn 出发，可以求得， Sn12 +23 +34 +n（n+1） （n4）的和为 （请填写最简结果）三、解答题17 （12 分）已知数列a n满足 a11，a 1+ a2+ a3+ ana n+11（nN） ，数列a n第 4 页（共 26 页）的前 n 项和为 Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，T n 是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN，都成立的最小正整数 m18 （12 分）2016 年 9 月
7、20 日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会，其展览规模为历届之最按照日程安排，22 日至 25 日为公众开放日某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以 50 元购进农产品若干件，以 80 元一件销售；若供大于求，剩余农产品当天以 40 元一件全部退回；若供不应求，则立即从其他地方以 60 元一件调剂（1）若农产品经销商一天购进农产品 5 件，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：件，nN *）的函数解析式；（2）农产品经销商记录了 30 天农产品的日需求量 n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若农产品经销商一天购进 5 件农产品，
8、以 30 天记录的各需求量发生的频率作为概率，X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列与数学期望19 （12 分）在直角梯形 ABCD 中，AB2，CDCB1，ABC90，平面 ABCD 外有一点 E，平面 ADE平面 ABCD，AE ED 1（1）求证：AEBE ；（2）求二面角 CBEA 的正弦值20 （12 分）已知 F（1，0） ，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 （1）求动点 P 的轨迹 G 的方程；（2）点 F 关于原点的对称点为 M，过 F 的直线与 G 交于 A、B 两点，且 AB 不垂直于x 轴，直线 AM 交曲线 G
9、于 C，直线 BM 交曲线 C 于 D证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补；第 5 页（共 26 页）直线 CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ） （1）试判断函数 f（x ）在（0，+）上的单调性，并说明理由；（2）若函数 f（x ）在其定义域内恒有 f（x） 成立，试求 a 的所有可能的取值的集合请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知 AB 和 CD 是曲线 C： （t 为参数）的两条相交于点 P（2，2）的弦，若 AB CD，且|PA|
10、|PB|PC |PD|（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）试求直线 AB 的方程选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）x|x +2|x3| m，若 xR， 4f（x）恒成立（1）求 m 的取值范围；（2）求证：log （m+1） （m+2）log （m+2 ） （m+3）第 6 页（共 26 页）2017 年新疆高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1 （5 分）若集合 Ax|x| 1，x R，By|yx 2，xR ，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|x0 C x|0x1 D【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算
11、常见的解法为计算出集合A、B 的最简单形式再运算【解答】解：由题得：Ax|1x1，By|y0，ABx|0 x1故选：C【点评】在应试中可采用特值检验完成2 （5 分）已知复数 z13bi ，z 212i ，若 是纯虚数，则实数 b 的值为（ ）A0 B C D【分析】把复数 z13bi， z212i 代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 b 值【解答】解：z 13bi，z 212i ， ，由题意，3+2b0，得 b 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知向量 （+1，1） ， （+2，
12、2） ，若（ + ）（ ） ，则 （ ）A4 B3 C2 D1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解： ， 第 7 页（共 26 页） （2+3，3） ， ， 0，（2+3 ）30，解得 3故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4 （5 分）右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 24，39，则输出的 a（ ）A2 B3 C4 D24【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论【解答】解：由 a2
13、4，b39，不满足 ab，则 b 变为 392415，由 ba，则 a 变为 24159，由 ab，则，b1596，由 ba，则，a963，由 ab，则，b633，由 ab3，则输出的 a 的值为 3故选：B第 8 页（共 26 页）【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题5 （5 分）由曲线 yx 2+1、直线 yx+3，x 轴与 y 轴所围成图形的面积为（ ）A3 B C D【分析】求出交点坐标，利用定积分知识，即可求解【解答】解：曲线 yx 2+1、直线 yx+3 联立可得 x2+x20，x 2 或 1，由曲线 yx 2+
14、1、直线 y x+3，x 轴与 y 轴所围成图形的面积为 + +2 ，故选：B【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是利用定积分表示出面积6 （5 分）设 m、n 是不同的直线， 、 是不同的平面，有以下四个命题：若 ，则 若 ，m ，则 m若 m ，m ，则 若 mn，n，则 m其中真命题的序号是（ ）A B C D【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可【解答】解：对于 利用平面与平面平行的性质定理可证 ，则 ，正确对于 面 BD 面 D1C，A 1B1面 BD，此时 A1B1面 D1C，不正确对应 m 内有一直线与 m 平行，而 m
15、 ，根据面面垂直的判定定理可知 ，故正确对应 m 有可能在平面 内，故不正确，故选：D第 9 页（共 26 页）【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B27 C27 D【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球，从而求得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3，其外接球等同于棱
16、长为 3 的正方体的外接球，所以外接球半径 R 满足：2R ，所以外接球的表面积为 S4R 227故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题，根据已知三视图，判断几何第 10 页（共 26 页）体的形状是解题的关键8 （5 分）从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中，每次取出两个不同的数，分别记作 a，b，可以得到 lgalgb 的不同值的个数是（ ）A28 B26 C24 D22【分析】从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中任取 2 个数排列后（两数在分子和分母不同） ，减去相同的数字即可得到答案【解答】解：1，2，3，4，5，6 这 6 个数中任取两个
17、不同的数排列，共有 A6230 种排法，因为 lgalgblg ，而 ， ， ， ， ， 共可得到 lgalgb 的不同值的个数是：30822故选：D【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题9 （5 分）已知 a0，x，y 满足约束条件 ，若 z2x+y 的最小值为 1，则a（ ）A1 B C D2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值判断最优解，利用直线方程求解即可【解答】解：a0，x，y 满足约束条件 的可行域如图：且目标函数 z2x+y 的最小值为 1，可知目标函数经过可行域的 A 时，取得最小值，由 解得 A（1，1
18、） ，A 在直线 ya（x 3）上，可得1a（13） ，解得 a ，故选：C第 11 页（共 26 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值与可行域的关系是解题的关键，考查计算能力10 （5 分）以下结论正确的是（ ）A一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 6 和 4 的长方形，则这个圆柱的体积一定是等于B命题“x 0R，x 02+x010”的否定是“x R，x 2+x10”C若 0 时， “k + （kZ”是“函数 f（x ）sin（x +）是偶函数”的充要条件D已知O： x2+y2r 2，定点 P（x 0，y 0） ，直线 l：x 0x+y0yr 2，若点 P
19、在O 内，则直线 l 与 O 相交【分析】求出母线长为 6，底面周长为 4 时的圆柱体积判断 A；写出命题的否定判断B；由充分必要条件的判定方法判断 C；由已知求出原点到直线的距离，比较与半径的关系判断 D【解答】解：当母线长为 6 时，圆柱的底面周长为 2r 4，r ，则圆柱的体积 V，故 A 错误；命题“ x0R，x 02+x010”的否定是“ xR，x 2+x10” ，故 B 错误；0，由 k + ，得 f（x）sin （ x+）sin（x+k + ）cos（ x+k）cos x，f（x）为偶函数，反之，若函数 f（x ）sin（x+）是偶函数，则 f（x）f（x）0，即sin（x+）s
20、in（x+ ）0，第 12 页（共 26 页）2cossinx 0，则 k+ （k Z） ，故若 0 时， “k + （kZ”是“函数 f（x）sin（ x+）是偶函数”的充要条件；由点 P 在 O 内，得 ，而原点 O 到直线 l：x 0x+y0yr 2 的距离 d，直线 l 与 O 相离，故 D 错误故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查学生对基础知识的综合运用与掌握，属中档题11 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+）1（0， |）的一个零点是 ，函数yf（x ）图象的一条对称轴是 x ，则 取得最小值时，函数 f（x）的单调增区间是（ ）A3k ，3k
21、，k Z B3 k ，3k ，kZC2k ，2k ，kZ D2k ，2k ，kZ【分析】根据函数 f（x ）的一个零点是 x ，得出 f（ ）0，再根据直线 x是函数 f（x ）图象的一条对称轴，得出 +k，kZ；由此求出 的最小值与对应 的值，写出 f（x） ，求出它的单调增区间即可【解答】解：函数 f（x ）2sin（x+）1 的一个零点是 x ，f（ ）2sin（ +）10，sin（ +） ， + +2k或 + +2k，kZ；又直线 x 是函数 f（x）图象的一条对称轴， + +k，k Z；又 0 ，| | ， 的最小值是 ， ，第 13 页（共 26 页）f（x）2sin（ x+ ）1
22、；令 +2k x+ +2k，k Z， +3kx +3k，k Z；f（x）的单调增区间是 +3k， +3k，kZ 故选：B【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目12 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F 1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C3 D2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa 1） ，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF 1| r1，|PF 2|r 2，|F 1F2
23、|2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e 2F 1PF2 ，由余弦定理可得 4c2（r 1） 2+（r 2） 22r 1r2cos ，在椭圆中，化简为即 4c24a 23r 1r2，即 ，在双曲线中，化简为即 4c24a 12+r1r2，即 ，联立得， 4，由柯西不等式得（1+ ） （ ）（1 + ） 2，第 14 页（共 26 页）即（ ） 即 ，d 当且仅当 时取等号，法 2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2， （a 1a 2） ，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF 1| r1，|PF 2|r 2，|F 1F2|2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e
24、 2F 1PF2 ，由余弦定理可得 4c2（r 1） 2+（r 2） 22r 1r2cos （r 1） 2+（r 2） 2r 1r2，由 ，得 ， ，令 m ，当 时， ， ，即 的最大值为 ，法 3：设|PF 1|m，| PF2|n，则 ，则 a1+a2m，则 ，由正弦定理得 ，即 sin（120 ） 第 15 页（共 26 页）故选：A【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大二、填空题13 （5 分） 的值是 2 【分析】根据同角三角函数关系式和辅助角公式化简后，可得答案【解答】解：由 ，故答案为：2【点评】本题主要考察了同角三角函数关
25、系式和和辅助角公式的应用，属于基本知识的考查14 （5 分）ABC 中，AB 2，AC 5，cosA ，在ABC 内任意取一点 P，则PAB面积大于 1 且小于等于 2 的概率为 【分析】求出三角形的面积，利用面积比，即可求出概率【解答】解：由题意，sinA ，S ABC 3，PAB 面积大于 1 且小于等于 2 的概率为 ，故答案为： 【点评】本题考查几何概型，考查三角形面积的计算，属于中档题15 （5 分）已知函数 f（x ） ，若存在实数 b，使得函数 g（x）f（x）b 有两个不同的零点，则 a 的取值范围是 2a4 【分析】由 g（x）f（x）b 有两个零点
26、可得 f（x ）b 有两个零点，即 yf（x）与yb 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围【解答】解：g（x）f（x）b 有两个零点，f（x）b 有两个零点，即 yf（x ）与 yb 的图象有两个交点，第 16 页（共 26 页）由于 yx 2 在0，a）递增，y2 x 在a，+ ）递增，要使函数 f（x）在 0，+ ）不单调，即有 a22 a，由 g（a）a 22 a，g（2）g（4）0，可得 2a4故答案为：2a4【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题16 （5 分）当 x1 且 x0 时，数列nx n1 的
27、前 n 项和 Sn1+2x+3x 2+nxn1 （nN *）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由 x+x2+x3+xn（nN *）按等比数列的求和公式，先求得 x+x2+x3+xn ，两边都是关于 x 的函数，两边同时求导，（x+ x2+x3+xn）（ ），从而得到：S n1+2x+3x 2+nxn1 ，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x） n1+ x+ x2+xn 出发，可以求得， Sn12 +23 +34 +n（n+1） （n4）的和为 n（n+3）2 n2 （请填写最简结果）【分析】根据类比推理的思想，由二项式的展开式的两边同乘以 x，再分别求两次导，再令 x1
28、时，即可求出答案第 17 页（共 26 页）【解答】解：（1+x） n1+ x+ x2+ xn，x（1+x） n x+ x2+ x3+ xn+1，两边求导可得（1+x） n+nx（1+x） n1 1+2 x+ x2+4n3x3+（n+1 ） xn，两边继续求导可得 n（1+x） n1 +n（1+x） n1 +n（n1）x（1+x） n212 +2 x+34n3x2+n（n+1） xn1 ，令 x1，可得 n2n1 +n2n1 +n（n1）2n2 12 +2 +34n3+n（n+1） S n，S nn（n+3）2 n2 故答案为：n（n+3）2 n2 【点评】本题考查了类比推理的问题，掌握求导的
29、法则，关键是两边同乘以 x，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题三、解答题17 （12 分）已知数列a n满足 a11，a 1+ a2+ a3+ ana n+11（nN） ，数列a n的前 n 项和为 Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，T n 是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN，都成立的最小正整数 m【分析】 （1）通过 a1+ a2+ a3+ an1 + ana n+11 与a1+ a2+ a3+ an1 a n1 作差，进而计算可知 （n N） ，利用累乘法计算可知数列a n的通项公式；（2）通过（1） ，利用等差数列的求和公式裂项可知 bn2（
30、 ） ，进而利用并项相消法可知 Tn ，从而问题转化为数列 Tn的最大值，计算即得结论【解答】解：（1）a 1+ a2+ a3+ an1 + ana n+11（nN） ，第 18 页（共 26 页）当 n2 时，a 1+ a2+ a3+ an1 a n1，两式相减得： ana n+1a n，即 ，又 满足上式， （nN） ，当 n2 时，a n a1 21n，又a 11 满足上式，数列a n的通项公式 ann；（2）由（1）可知 bn 2（ ） ，T n2（1 + + ）2（1 ） ， 随着 n 的增大而增大，不等式 Tn 对所有 nN 都成立求数列T n的最大值，又 2， 2，即 m20，故
31、满足题意的最小正整数 m 20【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查累乘法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题18 （12 分）2016 年 9 月 20 日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会，其展览规模为历届之最按照日程安排，22 日至 25 日为公众开放日某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以 50 元购进农产品若干件，以 80 元一件销售；若供大于求，剩余农产品当天以 40 元一件全部退回；若供不应求，则立即从其他地方以 60 元一件调剂（1）若农产品经销商一天购进农产品 5 件，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求第 19 页（共 26 页）量 n（单位
32、：件，nN *）的函数解析式；（2）农产品经销商记录了 30 天农产品的日需求量 n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若农产品经销商一天购进 5 件农产品，以 30 天记录的各需求量发生的频率作为概率，X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列与数学期望【分析】 （1）当 1n5 时，y30n+（5n）（10） ，当 n5 时，y305+（n5）20化简整理即可得出（2）由已知可得：日需求量为 3，频数为 2 天，利润为 70日需求量为 4，频数为 3 天，利润为 110日需求量为 5，频数为 15 天，利润为 150日需求量为 6，频数为 6
33、 天，利润为 170日需求量为 7，频数为 4 天，利润为 190X 的取值为 70，110，150，170，190即可得出分布列与数学期望【解答】解：（1）当 1n5 时，y30n+（5n）（10）40n50当 n5 时，y305+（n5）2050+20n函数解析式为 y （2）由已知可得：日需求量为 3，频数为 2 天，利润为 70日需求量为 4，频数为 3 天，利润为 110日需求量为 5，频数为 15 天，利润为 150日需求量为 6，频数为 6 天，利润为 170日需求量为 7，频数为 4 天，利润为 190X 的取值为 70，110，150，170，190P（X70） ，P（X11
34、0） ，P（X 150） ，P（X170） ，P（X 190） 可得 X 的分布列：X 70 110 150 170 190P EX70 +110 +150 +170 +190 150【点评】本题考查了分段函数、频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考第 20 页（共 26 页）查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）在直角梯形 ABCD 中，AB2，CDCB1，ABC90，平面 ABCD 外有一点 E，平面 ADE平面 ABCD，AE ED 1（1）求证：AEBE ；（2）
35、求二面角 CBEA 的正弦值【分析】 （1）求出 BD，利用勾股定理得得 ADBD由平面 ADE平面 ABCD，得DBAEAE平面 BDE，即可证明 AEBE （2）如图，由（1）得 CB CD，所以以 C 为原点，CB，DC 分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则 A（1，2，0） ，B（1，0，0） ，C （0，0，0） ，E（ ， ， ） ，D）（0，1，0） 求出法向量即可求解【解答】解：（1）因为ABC90，所以在 RtBCD 中，BD 又AD ， AEED AB 2AD 2+BD2，AD DB ，平面 ADE平面 ABCD，平面 ADE平面 ABCDAD，ADDB，DB平面
36、ADE，AE 平面 ADE，DBAEAEBD ，AEED，DBEDD ，AE 平面 BDE，BE平面BDE，AEBE（2）如图，由（1）得 CB CD，所以以 C 为原点，CB，DC 分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则 A（1，2，0） ，B（1，0，0） ，C （0，0，0） ，E（ ， ， ） ，D）（0，1，0） ， .第 21 页（共 26 页）设面 CBE 的法向量为 ，则 ，可取设面 ABE 的法向量为 ，可取 ，二面角 CBEA 的正弦值为【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求面面角，属于中档题20 （12 分）已知 F（1，0） ，直线 l：x1，P 为平面上
37、的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 （1）求动点 P 的轨迹 G 的方程；（2）点 F 关于原点的对称点为 M，过 F 的直线与 G 交于 A、B 两点，且 AB 不垂直于x 轴，直线 AM 交曲线 G 于 C，直线 BM 交曲线 C 于 D证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补；直线 CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由【分析】 （1）利用直接法，求动点 P 的轨迹 G 的方程；（2） 证明 kCD+kAB0，即可证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补； 求出直线CD 的方程，即可得出结论【解答】 （1）解：设 P（x ，y ） ，则 Q（1，
38、y） ，F（1，0） ，且 ，第 22 页（共 26 页）（x+1，0）（2，y ）（x 1，y）（2，y） ，化简得 y24x；（2） 证明： F 关于原点的对称点为 M（1，0） ，设直线 AB 的方程为 xny +1，代入抛物线方程，可得 y24ny40，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1y24过 M 的直线 AM 的方程为 xmy1，联立抛物线方程，可得 y24my+40，设 C（x 3，y 3） ，则 y1y34k AB ，k CDk CD+kAB0直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补解：直线 CD 的方程为 y （x ）+ ，令 y0，得 x 1，直线
39、CD 过定点（1，0） 【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、斜率计算公式、直线的方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） （1）试判断函数 f（x ）在（0，+）上的单调性，并说明理由；（2）若函数 f（x ）在其定义域内恒有 f（x） 成立，试求 a 的所有可能的取值的集合【分析】 （1）已知 f（x ） ，构造新的函数 g（x） ，利用导数求函数单调的方法步骤；（2）由 f（x） 得 0，令 h（x）（1+x）ln（1+x）x+ax 2，显然 h（0）0，求出函数的导数，令 g（x ） ln（1+x）+2ax，通过讨
40、论 a的范围判断即可【解答】解：（1）f（x ） ， （x0）第 23 页（共 26 页）f（x） ，设 g（x） ln（1+x） ， （x0） g（x） 0，yg（x）在0，+）上为减函数g（x） ln（1+x）g（0）0，f（x）0 ，函数 f（x）在（ 0，+）上为减函数（2）f（x）的定义域是（ 1，0）（0，+） ，由 f（x） 得 0，令 h（x）（1+x ）ln（1+ x）x+ax 2，显然 h（0）0，则 h（x）ln（1+x）+2 ax，令 g（x）ln（1+ x）+2 ax，g（x） +2a，h（0）0，2a 1 时，即 a ，令 g（x）0，有 h（x ）在（1 ，0）递
41、减，h（x）h（0）0，故 h（x）在（1 ，0）递增，故 h（x）h（0）0， 0，此时 f（x） 不合题意；2a 1 即 a 时，g（x） ，令 g（x）0，故 h（x）在（1，0）递增，h（x）h（0）0，h（x）在（1，0）递减，故 h（x）h（0）0，即 0；令 g（x）0，即 h（x ）在（0，+）递减，h（x）h（0）0，故 h（x）在（0，+）递减，故 h（x）h（0）0，即 0，第 24 页（共 26 页）故对于 x（ 1，0）（0，+）有 0 成立，即 f（x） ，1 2a0 即 a0 时，令 g（x）0，故任意 x（0， 1 ） ，g（x）0，h（x）在（0，1 ）递增，
42、h（x）h（0）0，故 h（x）在（0，1 ）是增函数，故 h（x）h（0）0，即 0，此时 f（x） ，不合题意；a0 时，令 g（x）0，得 h（x）在（0，+）递增，h（x）h（0）0，故 h（x）在（0，+）递增，故 h（x）h（0）0，即 0，此时 f（x） ，不合题意，综上，a 时，对于任意 x（1，0）（0，+）时，f（x） 【点评】本题综合性较强，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中但对以上问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10
43、分）已知 AB 和 CD 是曲线 C： （t 为参数）的两条相交于点 P（2，2）的弦，若 AB CD，且|PA| |PB|PC |PD|（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）试求直线 AB 的方程【分析】 （1）直接消去参数 t，可得曲线 C 的普通方程，说明曲线特征即可（2）直线 AB 和 CD 的倾斜角为 、 ，求出直线 AB 和 CD 的参数方程，与 y24x 联立，由 t 的几何意义以及韦达定理，通过由 |PA|PB| PC|PD|ABCD 求出直线 AB的倾斜角，得到直线 AB 的方程【解答】解：（1）曲线 C： （t 为参数）消去 t 可得 y24
44、x，轨迹是顶点在原点对称轴为 x 轴，焦点为（1，0）的抛物线第 25 页（共 26 页）（2）设直线 AB 和 CD 的倾斜角为 、 ，则直线 AB 和 CD 的参数方程分别为： 和 ，把代入 y24x 中的：t 2sin2+（4sin 4cos）t 40，依题意可知 sin0 且方程 的16（sin cos） 2+16sin20方程 有两个不相等的实数根 t1，t 2则 t1t2 ，由 t 的几何意义可知|PA| t1|，| PB| t2|，|PA|PB|t 1t2| ，同理，|PC| |PD| ，由|PA| |PB|PC| PD|可知： 即 sin2sin 2，0， ，ABCD +90或 +90 直线 AB 的倾斜角为 或 k AB1 或1，故直线 AB 的方程为：yx 或 x+y40【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程的几何意义是解题的关键，体现参数方程的优越性选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）x|x +2|x3| m，若 xR， 4f（x）恒成立（1）求 m 的取值范围；
