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2017年新疆高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2017 年新疆高考数学二模试卷(理科)一、选择题1 (5 分)若集合 Ax|x| 1,x R,By|yx 2,xR ,则 AB(  )A x| 1x1 Bx|x0 C x|0x1 D2 (5 分)已知复数 z13bi ,z 212i ,若 是纯虚数,则实数 b 的值为(  )A0 B C D3 (5 分)已知向量 (+1,1) , (+2,2) ,若( + )( ) ,则 (  )A4 B3 C2 D14 (5 分)右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 24,39,则输出的 a(  

2、)A2 B3 C4 D245 (5 分)由曲线 yx 2+1、直线 yx+3,x 轴与 y 轴所围成图形的面积为(   )A3 B C D6 (5 分)设 m、n 是不同的直线, 、 是不同的平面,有以下四个命题:若 ,则 若 ,m ,则 m若 m ,m ,则 第 2 页(共 26 页)若 mn,n,则 m其中真命题的序号是(  )A B C D7 (5 分)如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(  )A B27 C27 D8 (5 分)从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中,每次取出两个不同的数,分别记作 a,b,可以得到 lgalgb 的不

3、同值的个数是(   )A28 B26 C24 D229 (5 分)已知 a0,x,y 满足约束条件 ,若 z2x+y 的最小值为 1,则a(  )A1 B C D210 (5 分)以下结论正确的是(  )A一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 6 和 4 的长方形,则这个圆柱的体积一定是等于B命题“x 0R,x 02+x010”的否定是“x R,x 2+x10”C若 0 时, “k + (kZ”是“函数 f(x )sin(x +)是偶函数”的充要条件D已知O: x2+y2r 2,定点 P(x 0,y 0) ,直线 l:x 0x+y0yr 2,若点 P 在O 内,

4、则直线 l 与 O 相交第 3 页(共 26 页)11 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+)1(0, |)的一个零点是 ,函数yf(x )图象的一条对称轴是 x ,则 取得最小值时,函数 f(x)的单调增区间是(  )A3k ,3k ,k Z B3 k ,3k ,kZC2k ,2k ,kZ D2k ,2k ,kZ12 (5 分)已知 F1,F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点且F 1PF2 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )A B C3 D2二、填空题13 (5 分) 的值是     14 (5 分)ABC

5、 中,AB 2,AC 5,cosA ,在ABC 内任意取一点 P,则PAB面积大于 1 且小于等于 2 的概率为     15 (5 分)已知函数 f(x ) ,若存在实数 b,使得函数 g(x)f(x)b 有两个不同的零点,则 a 的取值范围是     16 (5 分)当 x1 且 x0 时,数列nx n1 的前 n 项和 Sn1+2x+3x 2+nxn1 (nN *)可以用数列求和的“错位相减法”求得,也可以由 x+x2+x3+xn(nN *)按等比数列的求和公式,先求得 x+x2+x3+xn ,两边都是关于 x 的函数,两边同时求导,(x+ x2+

6、x3+xn)( ),从而得到:S n1+2x+3x 2+nxn1 ,按照同样的方法,请从二项展开式(1+x) n1+ x+ x2+xn 出发,可以求得, Sn12 +23 +34 +n(n+1) (n4)的和为     (请填写最简结果)三、解答题17 (12 分)已知数列a n满足 a11,a 1+ a2+ a3+ ana n+11(nN) ,数列a n第 4 页(共 26 页)的前 n 项和为 Sn(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn ,T n 是数列 bn的前 n 项和,求使得 Tn 对所有 nN,都成立的最小正整数 m18 (12 分)2016 年 9 月

7、20 日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会,其展览规模为历届之最按照日程安排,22 日至 25 日为公众开放日某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以 50 元购进农产品若干件,以 80 元一件销售;若供大于求,剩余农产品当天以 40 元一件全部退回;若供不应求,则立即从其他地方以 60 元一件调剂(1)若农产品经销商一天购进农产品 5 件,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:件,nN *)的函数解析式;(2)农产品经销商记录了 30 天农产品的日需求量 n(单位:件)整理得表:日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若农产品经销商一天购进 5 件农产品,

8、以 30 天记录的各需求量发生的频率作为概率,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列与数学期望19 (12 分)在直角梯形 ABCD 中,AB2,CDCB1,ABC90,平面 ABCD 外有一点 E,平面 ADE平面 ABCD,AE ED 1(1)求证:AEBE ;(2)求二面角 CBEA 的正弦值20 (12 分)已知 F(1,0) ,直线 l:x1,P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且 (1)求动点 P 的轨迹 G 的方程;(2)点 F 关于原点的对称点为 M,过 F 的直线与 G 交于 A、B 两点,且 AB 不垂直于x 轴,直线 AM 交曲线 G

9、于 C,直线 BM 交曲线 C 于 D证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补;第 5 页(共 26 页)直线 CD 是否经过定点?若经过定点,求出这个定点,否则,说明理由21 (12 分)已知函数 f(x ) (1)试判断函数 f(x )在(0,+)上的单调性,并说明理由;(2)若函数 f(x )在其定义域内恒有 f(x) 成立,试求 a 的所有可能的取值的集合请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)已知 AB 和 CD 是曲线 C: (t 为参数)的两条相交于点 P(2,2)的弦,若 AB CD,且|PA|

10、|PB|PC |PD|(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线;(2)试求直线 AB 的方程选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )x|x +2|x3| m,若 xR, 4f(x)恒成立(1)求 m 的取值范围;(2)求证:log (m+1) (m+2)log (m+2 ) (m+3)第 6 页(共 26 页)2017 年新疆高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1 (5 分)若集合 Ax|x| 1,x R,By|yx 2,xR ,则 AB(  )A x| 1x1 Bx|x0 C x|0x1 D【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算

11、常见的解法为计算出集合A、B 的最简单形式再运算【解答】解:由题得:Ax|1x1,By|y0,ABx|0 x1故选:C【点评】在应试中可采用特值检验完成2 (5 分)已知复数 z13bi ,z 212i ,若 是纯虚数,则实数 b 的值为(  )A0 B C D【分析】把复数 z13bi, z212i 代入 ,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 b 值【解答】解:z 13bi,z 212i , ,由题意,3+2b0,得 b 故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题3 (5 分)已知向量 (+1,1) , (+2,

12、2) ,若( + )( ) ,则 (  )A4 B3 C2 D1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解: , 第 7 页(共 26 页) (2+3,3) , , 0,(2+3 )30,解得 3故选:B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4 (5 分)右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 24,39,则输出的 a(  )A2 B3 C4 D24【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结论【解答】解:由 a2

13、4,b39,不满足 ab,则 b 变为 392415,由 ba,则 a 变为 24159,由 ab,则,b1596,由 ba,则,a963,由 ab,则,b633,由 ab3,则输出的 a 的值为 3故选:B第 8 页(共 26 页)【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题5 (5 分)由曲线 yx 2+1、直线 yx+3,x 轴与 y 轴所围成图形的面积为(   )A3 B C D【分析】求出交点坐标,利用定积分知识,即可求解【解答】解:曲线 yx 2+1、直线 yx+3 联立可得 x2+x20,x 2 或 1,由曲线 yx 2+

14、1、直线 y x+3,x 轴与 y 轴所围成图形的面积为 + +2 ,故选:B【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积,关键是利用定积分表示出面积6 (5 分)设 m、n 是不同的直线, 、 是不同的平面,有以下四个命题:若 ,则 若 ,m ,则 m若 m ,m ,则 若 mn,n,则 m其中真命题的序号是(  )A B C D【分析】对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即可【解答】解:对于 利用平面与平面平行的性质定理可证 ,则 ,正确对于 面 BD 面 D1C,A 1B1面 BD,此时 A1B1面 D1C,不正确对应 m 内有一直线与 m 平行,而 m

15、 ,根据面面垂直的判定定理可知 ,故正确对应 m 有可能在平面 内,故不正确,故选:D第 9 页(共 26 页)【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题7 (5 分)如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(  )A B27 C27 D【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球,从而求得答案【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其底面是边长为 3 的正方形,且高为 3,其外接球等同于棱

16、长为 3 的正方体的外接球,所以外接球半径 R 满足:2R ,所以外接球的表面积为 S4R 227故选:B【点评】本题考查了由三视图求几何体表面积的应用问题,根据已知三视图,判断几何第 10 页(共 26 页)体的形状是解题的关键8 (5 分)从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中,每次取出两个不同的数,分别记作 a,b,可以得到 lgalgb 的不同值的个数是(   )A28 B26 C24 D22【分析】从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中任取 2 个数排列后(两数在分子和分母不同) ,减去相同的数字即可得到答案【解答】解:1,2,3,4,5,6 这 6 个数中任取两个

17、不同的数排列,共有 A6230 种排法,因为 lgalgblg ,而 , , , , , 共可得到 lgalgb 的不同值的个数是:30822故选:D【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,解答的关键是想到把相等的数字去掉,属基础题9 (5 分)已知 a0,x,y 满足约束条件 ,若 z2x+y 的最小值为 1,则a(  )A1 B C D2【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值判断最优解,利用直线方程求解即可【解答】解:a0,x,y 满足约束条件 的可行域如图:且目标函数 z2x+y 的最小值为 1,可知目标函数经过可行域的 A 时,取得最小值,由 解得 A(1,1

18、) ,A 在直线 ya(x 3)上,可得1a(13) ,解得 a ,故选:C第 11 页(共 26 页)【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最值与可行域的关系是解题的关键,考查计算能力10 (5 分)以下结论正确的是(  )A一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 6 和 4 的长方形,则这个圆柱的体积一定是等于B命题“x 0R,x 02+x010”的否定是“x R,x 2+x10”C若 0 时, “k + (kZ”是“函数 f(x )sin(x +)是偶函数”的充要条件D已知O: x2+y2r 2,定点 P(x 0,y 0) ,直线 l:x 0x+y0yr 2,若点 P

19、在O 内,则直线 l 与 O 相交【分析】求出母线长为 6,底面周长为 4 时的圆柱体积判断 A;写出命题的否定判断B;由充分必要条件的判定方法判断 C;由已知求出原点到直线的距离,比较与半径的关系判断 D【解答】解:当母线长为 6 时,圆柱的底面周长为 2r 4,r ,则圆柱的体积 V,故 A 错误;命题“ x0R,x 02+x010”的否定是“ xR,x 2+x10” ,故 B 错误;0,由 k + ,得 f(x)sin ( x+)sin(x+k + )cos( x+k)cos x,f(x)为偶函数,反之,若函数 f(x )sin(x+)是偶函数,则 f(x)f(x)0,即sin(x+)s

20、in(x+ )0,第 12 页(共 26 页)2cossinx 0,则 k+ (k Z) ,故若 0 时, “k + (kZ”是“函数 f(x)sin( x+)是偶函数”的充要条件;由点 P 在 O 内,得 ,而原点 O 到直线 l:x 0x+y0yr 2 的距离 d,直线 l 与 O 相离,故 D 错误故选:C【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查学生对基础知识的综合运用与掌握,属中档题11 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+)1(0, |)的一个零点是 ,函数yf(x )图象的一条对称轴是 x ,则 取得最小值时,函数 f(x)的单调增区间是(  )A3k ,3k

21、,k Z B3 k ,3k ,kZC2k ,2k ,kZ D2k ,2k ,kZ【分析】根据函数 f(x )的一个零点是 x ,得出 f( )0,再根据直线 x是函数 f(x )图象的一条对称轴,得出 +k,kZ;由此求出 的最小值与对应 的值,写出 f(x) ,求出它的单调增区间即可【解答】解:函数 f(x )2sin(x+)1 的一个零点是 x ,f( )2sin( +)10,sin( +) , + +2k或 + +2k,kZ;又直线 x 是函数 f(x)图象的一条对称轴, + +k,k Z;又 0 ,| | , 的最小值是 , ,第 13 页(共 26 页)f(x)2sin( x+ )1

22、;令 +2k x+ +2k,k Z, +3kx +3k,k Z;f(x)的单调增区间是 +3k, +3k,kZ 故选:B【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题,是综合性题目12 (5 分)已知 F1,F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点且F 1PF2 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )A B C3 D2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论【解答】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1, (aa 1) ,半焦距为 c,由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF 1| r1,|PF 2|r 2,|F 1F2

23、|2c ,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e 2F 1PF2 ,由余弦定理可得 4c2(r 1) 2+(r 2) 22r 1r2cos ,在椭圆中,化简为即 4c24a 23r 1r2,即 ,在双曲线中,化简为即 4c24a 12+r1r2,即 ,联立得, 4,由柯西不等式得(1+ ) ( )(1 + ) 2,第 14 页(共 26 页)即( ) 即 ,d 当且仅当 时取等号,法 2:设椭圆的长半轴为 a1,双曲线的实半轴为 a2, (a 1a 2) ,半焦距为 c,由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF 1| r1,|PF 2|r 2,|F 1F2|2c ,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e

24、 2F 1PF2 ,由余弦定理可得 4c2(r 1) 2+(r 2) 22r 1r2cos (r 1) 2+(r 2) 2r 1r2,由 ,得 , ,令 m ,当 时, , ,即 的最大值为 ,法 3:设|PF 1|m,| PF2|n,则 ,则 a1+a2m,则 ,由正弦定理得 ,即 sin(120 ) 第 15 页(共 26 页)故选:A【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大二、填空题13 (5 分) 的值是 2 【分析】根据同角三角函数关系式和辅助角公式化简后,可得答案【解答】解:由 ,故答案为:2【点评】本题主要考察了同角三角函数关

25、系式和和辅助角公式的应用,属于基本知识的考查14 (5 分)ABC 中,AB 2,AC 5,cosA ,在ABC 内任意取一点 P,则PAB面积大于 1 且小于等于 2 的概率为    【分析】求出三角形的面积,利用面积比,即可求出概率【解答】解:由题意,sinA ,S ABC 3,PAB 面积大于 1 且小于等于 2 的概率为 ,故答案为: 【点评】本题考查几何概型,考查三角形面积的计算,属于中档题15 (5 分)已知函数 f(x ) ,若存在实数 b,使得函数 g(x)f(x)b 有两个不同的零点,则 a 的取值范围是 2a4 【分析】由 g(x)f(x)b 有两个零点

26、可得 f(x )b 有两个零点,即 yf(x)与yb 的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求 a 的范围【解答】解:g(x)f(x)b 有两个零点,f(x)b 有两个零点,即 yf(x )与 yb 的图象有两个交点,第 16 页(共 26 页)由于 yx 2 在0,a)递增,y2 x 在a,+ )递增,要使函数 f(x)在 0,+ )不单调,即有 a22 a,由 g(a)a 22 a,g(2)g(4)0,可得 2a4故答案为:2a4【点评】本题考查函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合的数学思想,属于中档题16 (5 分)当 x1 且 x0 时,数列nx n1 的

27、前 n 项和 Sn1+2x+3x 2+nxn1 (nN *)可以用数列求和的“错位相减法”求得,也可以由 x+x2+x3+xn(nN *)按等比数列的求和公式,先求得 x+x2+x3+xn ,两边都是关于 x 的函数,两边同时求导,(x+ x2+x3+xn)( ),从而得到:S n1+2x+3x 2+nxn1 ,按照同样的方法,请从二项展开式(1+x) n1+ x+ x2+xn 出发,可以求得, Sn12 +23 +34 +n(n+1) (n4)的和为 n(n+3)2 n2  (请填写最简结果)【分析】根据类比推理的思想,由二项式的展开式的两边同乘以 x,再分别求两次导,再令 x1

28、时,即可求出答案第 17 页(共 26 页)【解答】解:(1+x) n1+ x+ x2+ xn,x(1+x) n x+ x2+ x3+ xn+1,两边求导可得(1+x) n+nx(1+x) n1 1+2 x+ x2+4n3x3+(n+1 ) xn,两边继续求导可得 n(1+x) n1 +n(1+x) n1 +n(n1)x(1+x) n212 +2 x+34n3x2+n(n+1) xn1 ,令 x1,可得 n2n1 +n2n1 +n(n1)2n2 12 +2 +34n3+n(n+1) S n,S nn(n+3)2 n2 故答案为:n(n+3)2 n2 【点评】本题考查了类比推理的问题,掌握求导的

29、法则,关键是两边同乘以 x,考查了学生的转化能力和运算能力,属于中档题三、解答题17 (12 分)已知数列a n满足 a11,a 1+ a2+ a3+ ana n+11(nN) ,数列a n的前 n 项和为 Sn(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn ,T n 是数列 bn的前 n 项和,求使得 Tn 对所有 nN,都成立的最小正整数 m【分析】 (1)通过 a1+ a2+ a3+ an1 + ana n+11 与a1+ a2+ a3+ an1 a n1 作差,进而计算可知 (n N) ,利用累乘法计算可知数列a n的通项公式;(2)通过(1) ,利用等差数列的求和公式裂项可知 bn2(

30、 ) ,进而利用并项相消法可知 Tn ,从而问题转化为数列 Tn的最大值,计算即得结论【解答】解:(1)a 1+ a2+ a3+ an1 + ana n+11(nN) ,第 18 页(共 26 页)当 n2 时,a 1+ a2+ a3+ an1 a n1,两式相减得: ana n+1a n,即 ,又 满足上式, (nN) ,当 n2 时,a n a1 21n,又a 11 满足上式,数列a n的通项公式 ann;(2)由(1)可知 bn 2( ) ,T n2(1 + + )2(1 ) , 随着 n 的增大而增大,不等式 Tn 对所有 nN 都成立求数列T n的最大值,又 2, 2,即 m20,故

31、满足题意的最小正整数 m 20【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查累乘法,考查裂项相消法,注意解题方法的积累,属于中档题18 (12 分)2016 年 9 月 20 日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会,其展览规模为历届之最按照日程安排,22 日至 25 日为公众开放日某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以 50 元购进农产品若干件,以 80 元一件销售;若供大于求,剩余农产品当天以 40 元一件全部退回;若供不应求,则立即从其他地方以 60 元一件调剂(1)若农产品经销商一天购进农产品 5 件,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求第 19 页(共 26 页)量 n(单位

32、:件,nN *)的函数解析式;(2)农产品经销商记录了 30 天农产品的日需求量 n(单位:件)整理得表:日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若农产品经销商一天购进 5 件农产品,以 30 天记录的各需求量发生的频率作为概率,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列与数学期望【分析】 (1)当 1n5 时,y30n+(5n)(10) ,当 n5 时,y305+(n5)20化简整理即可得出(2)由已知可得:日需求量为 3,频数为 2 天,利润为 70日需求量为 4,频数为 3 天,利润为 110日需求量为 5,频数为 15 天,利润为 150日需求量为 6,频数为 6

33、 天,利润为 170日需求量为 7,频数为 4 天,利润为 190X 的取值为 70,110,150,170,190即可得出分布列与数学期望【解答】解:(1)当 1n5 时,y30n+(5n)(10)40n50当 n5 时,y305+(n5)2050+20n函数解析式为 y (2)由已知可得:日需求量为 3,频数为 2 天,利润为 70日需求量为 4,频数为 3 天,利润为 110日需求量为 5,频数为 15 天,利润为 150日需求量为 6,频数为 6 天,利润为 170日需求量为 7,频数为 4 天,利润为 190X 的取值为 70,110,150,170,190P(X70) ,P(X11

34、0) ,P(X 150) ,P(X170) ,P(X 190) 可得 X 的分布列:X  70  110  150  170  190P      EX70 +110 +150 +170 +190 150【点评】本题考查了分段函数、频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望,考第 20 页(共 26 页)查了推理能力与计算能力,属于中档题19 (12 分)在直角梯形 ABCD 中,AB2,CDCB1,ABC90,平面 ABCD 外有一点 E,平面 ADE平面 ABCD,AE ED 1(1)求证:AEBE ;(2)

35、求二面角 CBEA 的正弦值【分析】 (1)求出 BD,利用勾股定理得得 ADBD由平面 ADE平面 ABCD,得DBAEAE平面 BDE,即可证明 AEBE (2)如图,由(1)得 CB CD,所以以 C 为原点,CB,DC 分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,2,0) ,B(1,0,0) ,C (0,0,0) ,E( , , ) ,D)(0,1,0) 求出法向量即可求解【解答】解:(1)因为ABC90,所以在 RtBCD 中,BD 又AD , AEED AB 2AD 2+BD2,AD DB ,平面 ADE平面 ABCD,平面 ADE平面 ABCDAD,ADDB,DB平面

36、ADE,AE 平面 ADE,DBAEAEBD ,AEED,DBEDD ,AE 平面 BDE,BE平面BDE,AEBE(2)如图,由(1)得 CB CD,所以以 C 为原点,CB,DC 分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,2,0) ,B(1,0,0) ,C (0,0,0) ,E( , , ) ,D)(0,1,0) , .第 21 页(共 26 页)设面 CBE 的法向量为 ,则 ,可取设面 ABE 的法向量为 ,可取 ,二面角 CBEA 的正弦值为【点评】本题考查了空间线线垂直的判定,向量法求面面角,属于中档题20 (12 分)已知 F(1,0) ,直线 l:x1,P 为平面上

37、的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且 (1)求动点 P 的轨迹 G 的方程;(2)点 F 关于原点的对称点为 M,过 F 的直线与 G 交于 A、B 两点,且 AB 不垂直于x 轴,直线 AM 交曲线 G 于 C,直线 BM 交曲线 C 于 D证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补;直线 CD 是否经过定点?若经过定点,求出这个定点,否则,说明理由【分析】 (1)利用直接法,求动点 P 的轨迹 G 的方程;(2) 证明 kCD+kAB0,即可证明直线 AB 与曲线 CD 的倾斜角互补; 求出直线CD 的方程,即可得出结论【解答】 (1)解:设 P(x ,y ) ,则 Q(1,

38、y) ,F(1,0) ,且 ,第 22 页(共 26 页)(x+1,0)(2,y )(x 1,y)(2,y) ,化简得 y24x;(2) 证明: F 关于原点的对称点为 M(1,0) ,设直线 AB 的方程为 xny +1,代入抛物线方程,可得 y24ny40,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 y1y24过 M 的直线 AM 的方程为 xmy1,联立抛物线方程,可得 y24my+40,设 C(x 3,y 3) ,则 y1y34k AB ,k CDk CD+kAB0直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补解:直线 CD 的方程为 y (x )+ ,令 y0,得 x 1,直线

39、CD 过定点(1,0) 【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、斜率计算公式、直线的方程等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题21 (12 分)已知函数 f(x ) (1)试判断函数 f(x )在(0,+)上的单调性,并说明理由;(2)若函数 f(x )在其定义域内恒有 f(x) 成立,试求 a 的所有可能的取值的集合【分析】 (1)已知 f(x ) ,构造新的函数 g(x) ,利用导数求函数单调的方法步骤;(2)由 f(x) 得 0,令 h(x)(1+x)ln(1+x)x+ax 2,显然 h(0)0,求出函数的导数,令 g(x ) ln(1+x)+2ax,通过讨

40、论 a的范围判断即可【解答】解:(1)f(x ) , (x0)第 23 页(共 26 页)f(x) ,设 g(x) ln(1+x) , (x0) g(x) 0,yg(x)在0,+)上为减函数g(x) ln(1+x)g(0)0,f(x)0 ,函数 f(x)在( 0,+)上为减函数(2)f(x)的定义域是( 1,0)(0,+) ,由 f(x) 得 0,令 h(x)(1+x )ln(1+ x)x+ax 2,显然 h(0)0,则 h(x)ln(1+x)+2 ax,令 g(x)ln(1+ x)+2 ax,g(x) +2a,h(0)0,2a 1 时,即 a ,令 g(x)0,有 h(x )在(1 ,0)递

41、减,h(x)h(0)0,故 h(x)在(1 ,0)递增,故 h(x)h(0)0, 0,此时 f(x) 不合题意;2a 1 即 a 时,g(x) ,令 g(x)0,故 h(x)在(1,0)递增,h(x)h(0)0,h(x)在(1,0)递减,故 h(x)h(0)0,即 0;令 g(x)0,即 h(x )在(0,+)递减,h(x)h(0)0,故 h(x)在(0,+)递减,故 h(x)h(0)0,即 0,第 24 页(共 26 页)故对于 x( 1,0)(0,+)有 0 成立,即 f(x) ,1 2a0 即 a0 时,令 g(x)0,故任意 x(0, 1 ) ,g(x)0,h(x)在(0,1 )递增,

42、h(x)h(0)0,故 h(x)在(0,1 )是增函数,故 h(x)h(0)0,即 0,此时 f(x) ,不合题意;a0 时,令 g(x)0,得 h(x)在(0,+)递增,h(x)h(0)0,故 h(x)在(0,+)递增,故 h(x)h(0)0,即 0,此时 f(x) ,不合题意,综上,a 时,对于任意 x(1,0)(0,+)时,f(x) 【点评】本题综合性较强,主要考查利用导数研究函数的单调性,以此为主线,贯穿其中但对以上问题的解答,关键是构造函数,这是函数这一章节的重点和难点请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10

43、分)已知 AB 和 CD 是曲线 C: (t 为参数)的两条相交于点 P(2,2)的弦,若 AB CD,且|PA| |PB|PC |PD|(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线;(2)试求直线 AB 的方程【分析】 (1)直接消去参数 t,可得曲线 C 的普通方程,说明曲线特征即可(2)直线 AB 和 CD 的倾斜角为 、 ,求出直线 AB 和 CD 的参数方程,与 y24x 联立,由 t 的几何意义以及韦达定理,通过由 |PA|PB| PC|PD|ABCD 求出直线 AB的倾斜角,得到直线 AB 的方程【解答】解:(1)曲线 C: (t 为参数)消去 t 可得 y24

44、x,轨迹是顶点在原点对称轴为 x 轴,焦点为(1,0)的抛物线第 25 页(共 26 页)(2)设直线 AB 和 CD 的倾斜角为 、 ,则直线 AB 和 CD 的参数方程分别为: 和 ,把代入 y24x 中的:t 2sin2+(4sin 4cos)t 40,依题意可知 sin0 且方程 的16(sin cos) 2+16sin20方程 有两个不相等的实数根 t1,t 2则 t1t2 ,由 t 的几何意义可知|PA| t1|,| PB| t2|,|PA|PB|t 1t2| ,同理,|PC| |PD| ,由|PA| |PB|PC| PD|可知: 即 sin2sin 2,0, ,ABCD +90或 +90 直线 AB 的倾斜角为 或 k AB1 或1,故直线 AB 的方程为:yx 或 x+y40【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化,参数方程的几何意义是解题的关键,体现参数方程的优越性选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )x|x +2|x3| m,若 xR, 4f(x)恒成立(1)求 m 的取值范围;