1、2019 年新疆高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| 0，B x|xt ，若 AB，则实数 t 的取值集合是（ ）A （2，+） B2，+） C （3，+） D3 ，+）2 （5 分）设 xR，则“x 1”是“复数 z（x 21）+ （x+1）i 为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）正项等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a9a 62+150，则 S11（ ）A
2、35 B36 C45 D554 （5 分）函数 f（x ）2lnx 的图象与函数 g（x）x 24x+5 的图象的交点个数为（ ）A3 B2 C1 D05 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A180 B200 C220 D2406 （5 分）将函数 f（x ）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线 ylnx 关于直线yx 对称，则 f（x ）（ ）Aln（x+1） Bln（ x1） Ce x+1 De x17 （5 分）已知 xR，sinx3cos x ，则 tan2x（ ）A B C D第 2 页（共 24 页
3、）8 （5 分）已知点 P（a，b） ，且 a，b 1，0，1，2，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P 的概率为（ ）A B C D9 （5 分）设关于 x，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满足 x02y 02，则 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ，0） C （， ） D （， ）10 （5 分）O 是ABC 的外接圆圆心，且 ，| | |1，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D11 （5 分）椭圆 1（a0，b0）的左右焦点为 F1，F 2，若在椭圆上存在一点P，使得 PF 1F2 的内
4、心 I 与重心 G 满足 IGF 1F2，则椭圆的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）2cosx，当 x（3，2）时，方程f（x）g（x ）的所有实根之和为（ ）A2 B1 C0 D2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）观察下列事实：（1）|x|+|y|1 的不同整数解（x，y）的个数为 4；（2）|x|+|y|2 的不同整数解（x，y）的个数为 8；则|x |+|y|505 的不同整数解（x，y）的个数为 14 （5 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD
5、AC ，sinBAC ，AB3 ，AD3，则 BD 的长为 第 3 页（共 24 页）15 （5 分）f（x ） xf（1） ，则曲线 yf （x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，AB 5，BCCD 3，DB2 ，AC4，ACD60，则该四面体的外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an+11+S n（nN +） ，且 a22a 1（）求数列a n的通项公式；（）若 bna
6、 nlog2an+（1 ） nn，求数列b n的前 n 项和 Hn18 （12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC ，AB AC 2，AA 14，点 D是 BC 的中点（）证明：直线 A1B平面 AC1D；（）求点 A1 到平面 AC1D 的距离19 （12 分）今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：年级 相关人数 抽取人数高一 99 x高二 27 y高三 18 2第 4 页（共 24 页）（）求 x，y 的值；（）若从高二、高三年
7、级抽取的参加文明交通宣传的人中选 3 人，求这 3 人中有 2 人来自高二年级，1 人来自高三年级的概率20 （12 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C： 1 的左右焦点，焦距为 6 椭圆 C 上存在点Q 使得 0，且 F1OF2 的面积为 9（）求 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，直线 l 与 x 轴不重合，P 是 y 轴上一点，且 （ ）0，求点 P 纵坐标的取值集合21 （12 分）设函数 f（x ）xlnx（x0） （）若 af（x ）恒成立，求 a 的敢值范围；（）设 F（x ）ax 2+x+f（x） （aR） ，讨论函数 F（x）的单调性；（
8、）F（x） ax2+x+f（x）与函数 y x 在1 ，+ ）有公共点，求 a 的最小值请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（3， ） ，求 选修 4-5：不等式选讲23函数 f（x） +2 （）求 f（
9、x）的值域；第 5 页（共 24 页）（）若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解，求证：3m+ 7第 6 页（共 24 页）2019 年新疆高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| 0，B x|xt ，若 AB，则实数 t 的取值集合是（ ）A （2，+） B2，+） C （3，+） D3 ，+）【分析】求出集合 A，B，由 AB，能求出实数 t 的取值集合【解答】解：集合 Ax| 0 x|2x3，B x|xt，AB ，t3实数 t 的取值集合为3，
10、+） 故选：D【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）设 xR，则“x 1”是“复数 z（x 21）+ （x+1）i 为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由于复数 z（x 21）+（x+1）i 为纯虚数，则其实部为 0，虚部不为 0，故可得到 x 的值，再与“x 1”比较范围大小即可【解答】解：由于复数 z（x 21）+（x+1）i 为纯虚数，则 ，解得 x1，故“x 1”是“复数 z（x 21）+ （x +1）i 为纯虚数”的充要条
11、件故选：C【点评】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以先判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系3 （5 分）正项等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a9a 62+150，则 S11（ ）A35 B36 C45 D55第 7 页（共 24 页）【分析】根据等差中项的性质将 a3+a92a 6 代入即可【解答】解：因为a n为正项等差数列，故 a3+a92a 6，所以 2a 6150，解得，a65 或者 a63（舍） ，所以 S1111a 611555，故选：D【点评】本题考查等差中项的性质，及等
12、差数列的前 n 项和公式属基础题4 （5 分）函数 f（x ）2lnx 的图象与函数 g（x）x 24x+5 的图象的交点个数为（ ）A3 B2 C1 D0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数 f（x）2lnx 的图象与函数g（x）x 24x +5 的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案【解答】解：在同一坐标系下，画出函数 f（x ）2lnx 的图象与函数 g（x）x 24x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有 2 个交点故选：B【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图
13、象后，即可等到答案5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 8 页（共 24 页）A180 B200 C220 D240【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为 10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为 2，8，高为 4；据此可求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为 10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为 2，8，高为 4S 表面积 2 （2+8）4+2510+2 10+810240故选：D【点评】本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键6 （5
14、 分）将函数 f（x ）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线 ylnx 关于直线yx 对称，则 f（x ）（ ）Aln（x+1） Bln（ x1） Ce x+1 De x1【分析】根据题意，f（x 1）和 ylnx 互为反函数，故可得 f（x1）e x，从而求得f（x）得解析式【解答】解：将函数 f（x ）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线 ylnx 关于直线 yx 对称，故有 f（x1）和 ylnx 互为反函数，故 f（x1）e x，故 f（x）e x+1，故选：C第 9 页（共 24 页）【点评】本题主要考查函数的图象的变换，互为反函数的两个函数图相间的关系，属于
15、中档题7 （5 分）已知 xR，sinx3cos x ，则 tan2x（ ）A B C D【分析】把已知与平方关系联立求得 sinx，cos x 的值，进一步求得 tanx，再由倍角公式求解【解答】解：由 ，解得 或 tanx 2 或 当 tanx2 时，则 tan2x ；当 tanx 时，则 tan2x tan2x 故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题8 （5 分）已知点 P（a，b） ，且 a，b 1，0，1，2，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P 的概率为（ ）A B C D【分析
16、】基本事件总数 n4416，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P 满足的条件为 ab1，由此利用举法能求出使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P的概率【解答】解：点 P（a，b） ，且 a，b 1，0，1，2，基本事件总数 n4416，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P 满足的条件为：44ab0，即 ab1，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P（a，b）有：第 10 页（共 24 页）（1，1） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （0，1） ， （0，1） ， （0，1） ， （0，2） ，（1，
17、1） ， （1，0） ， （1，1） ， （2，1） ， （2，0） ，共 13 个，使关于 x 的方程 ax2+2x+b0 有实数解的点 P 的概率 P 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 （5 分）设关于 x，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满足 x02y 02，则 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ，0） C （， ） D （， ）【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点 P（x 0，y 0）满足x02y 02，则平面区域内必存在一个点在
18、直线 x2y2 的下方，由图象可得 m 的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点 C 的坐标为（m，m） ，直线 x2y2 的斜率为 ，斜截式方程为 y x1，要使平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满足 x02y 02，则点 C（m，m）必在直线 x2y2 的下方，即 m m1，解得 m ，m 的取值范围是（， ） ，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性第 11 页（共 24 页）较强，属中高档题10 （5 分）O 是ABC 的外接圆圆心，且 ，| | |1，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D【分析】根据题意
19、画出图形，结合图形判断四边形 ABOC 为菱形，且一内角为 120，由此求出 在 方向上的投影【解答】解：因为 ，所以 + ，即 + ，取 BC 的中点 D，则 + 2 ，如图所示；所以 cosBOD ，即BOD60，所以BOC2BOD120 ，且 ABACOAOBOC1，所以四边形 ABOC 为菱形；所以 在 方向上的投影为| |cos（180 60）1（ ） 故选：B【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，是中档题11 （5 分）椭圆 1（a0，b0）的左右焦点为 F1，F 2，若在椭圆上存在一点P，使得 PF 1F2 的内心 I 与重心 G 满足 IGF 1F2，则椭圆的离
20、心率为（ ）A B C D【分析】根据PF 1F2 的面积的不同计算方法列方程得出 a，c 的关系，从而可求出椭圆的离心率【解答】解：设PF 1F2 的内切圆半径为 r，则 yGy Ir ，y P3y G3r，S |F1F2|yP 2c3r3cr ，又 S （|PF 1|+|PF2|+|F1F2|）r （2a+2c）r（a+c）r，3cr（a+ c） r，即 3ca+c，第 12 页（共 24 页）a2c，故 e 故选：D【点评】本题考查了椭圆的性质，三角形的内切圆的性质，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）2cosx，当 x（3，2）时，方程f（x）g（x
21、）的所有实根之和为（ ）A2 B1 C0 D2【分析】分别判断两个函数都关于点（ ，0）对称，作出两个函数的图象，得到两个图象有四个交点，结合点的对称性进行求解即可【解答】解：函数 f（x ）的图象关于点（ ，0）对称，当 x 时，g（ ）2cos（ ）0，即点（ ，0）也是 g（x ）的对称中心，作出两个函数的图象，由图象知两个函数有四个交点，两两关于点（ ，0）对称，设四个交点的横坐标从小到大为 a，b，c，d则 ， ，即 a+d1，b+ c1，即 a+b+c+d 112，即方程 f（x） g（x）的所有实根之和为2，故选：A第 13 页（共 24 页）【点评】本题主要考查函数
22、与方程的应用，根据条件判断函数关于点（ ，0）对称，以及利用数形结合确定交点个数是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）观察下列事实：（1）|x|+|y|1 的不同整数解（x，y）的个数为 4；（2）|x|+|y|2 的不同整数解（x，y）的个数为 8；则|x |+|y|505 的不同整数解（x，y）的个数为 2020 【分析】转化成平面直角坐标系内的点来考虑，即可【解答】解：将平面直角坐标系分成 4 等份，其中 x 轴正半轴和第一象限为一份，则满足|x |+|y|1 的不同整数解（x，y）的个数为 1 个，故所有能满足）|x|+|y|1 的不同整数解（
23、x，y）的个数为 414 个，如图，在第一份中能满足|x |+|y|2 的不同整数解（x，y）的个数为 2，故共有 428个则在第一份中能满足|x |+|y|505 的不同整数解（x，y）的个数为 505 个，故共有45052020 个故填：2020第 14 页（共 24 页）【点评】本题考查了归纳推理，借助图象，更有利于推理，本题属基础题14 （5 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC ，sinBAC ，AB3 ，AD3，则 BD 的长为 【分析】由BACBAD+DAC，DAC90，得到BACBAD+90，代入并利用诱导公式化简 sinBAC
24、，求出 cosBAD 的值，在三角形 ABD 中，由 AB，AD及 cosBAD 的值，利用余弦定理即可求出 BD 的长【解答】解：ADAC，DAC90，BACBAD+ DACBAD+90，sinBACsin（BAD +90）cosBAD ，在ABD 中，AB 3 ，AD3，根据余弦定理得：BD 2AB 2+AD22ABADcosBAD18+9243，则 BD 故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15 （5 分）f（x ） xf（1） ，则曲线 yf （x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 x2y 20 【分析】求出 f（x ） ，由
25、题意可知曲线在点（1，f（1） ）处的切线方程的斜率等于f（1） ，所以把 x1 代入到 f（x）中即可求出 f（1 ）的值，得到切线的斜率，然第 15 页（共 24 页）后把 x1 和 f （1）的值代入到 f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可【解答】解：f（x ） f（1） ，f （1）1f（1） ，f（1） ，由题意可知，曲线在（1，f（ 1） ）处切线方程的斜率 kf（1） ，则 f（x） x，解得 f（1） ，所以切点（1， ）所以切线方程为：y+ （x1） ，化简得 x2y20，故答案为：x2y 20【点评】此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线方程的
26、斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题16 （5 分）在四面体 ABCD 中，AB 5，BCCD 3，DB2 ，AC4，ACD60，则该四面体的外接球的表面积为 25 【分析】取 AB 的中点 O，通过余弦定理得 AD213，根据勾股定理可得 ADB90，ACB90，可得 O 为球心，AB 为直径【解答】解：如图：取 AB 的中点 O，在ACD 中，由余弦定理得：AD2AC 2+CD22ACCDcos6013，在ABD 中，AB 2BD 2+AD2，ADB 90，OAOBOD，在ABC 中，AB 2BC 2+AC2，ACB 90，OAOB OC，OAOB OCOD，O 为四面体 A
27、BCD 的外接球的球心，其半径 R AB ，S 球 4R 24（ ） 225故答案为：25第 16 页（共 24 页）【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an+11+S n（nN +） ，且 a22a 1（）求数列a n的通项公式；（）若 bna nlog2an+（1 ） nn，求数列b n的前 n 项和 Hn【分析】 （）设等比数列的公比为 q，可令 n1，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（）b na nlog2an+（1） nn（n1）2 n1 +（1） nn，
28、由数列的错位相减法和分类讨论思想方法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（）设等比数列的公比为 q，an+11+S n（nN +） ，且 a22a 1，可得 a21+S 11+ a1，解得 a11，q2，则 an2 n1 ；（）b na nlog2an+（1） nn（n1）2 n1 +（1） nn，设 Tn02 0+12+222+（ n1）2 n1 ，2Tn02+12 2+223+（n 1）2 n，相减可得T n2+2 2+2n1 （n1）2 n （n1）2 n，可得 Tn2+（n2）2 n，当 n 为偶数时，前 n 项和 Hn2+ （n2）2 n1+2+ n2+ +（n2）2
29、 n；当 n 为奇数时，前 n 项和 Hn2+ n+（n2）2 n（n2）2 n 第 17 页（共 24 页）则 Hn 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC ，AB AC 2，AA 14，点 D是 BC 的中点（）证明：直线 A1B平面 AC1D；（）求点 A1 到平面 AC1D 的距离【分析】 （I）连接 A1C 交 AC1 于 E，由中位线定理可得 DEA 1B，故而 A1B平面AC1D；（II）根据等体积法计算点 A1 到平
30、面 AC1D 的距离【解答】 （I）证明：连接 A1C 交 AC1 于 E，连接 DE，则 E 是 A1C 的中点，又 D 是 BC 的中点，DE A1B，又 DE平面 AC1D，DE 平面 AC1D，A 1B平面 AC1D（II）解：ABAC2，AA 14，ABAC，ADCD ，AC 1 2 ，DC 1 3 ，V ，D 是 BC 的中点，V V AD 2+DC12 AC12，ADDC 1，S 3第 18 页（共 24 页）设 A1 到平面 AC1D 的距离为 h，则 V h，又 V V ，h A 1 到平面 AC1D 的距离为 【点评】本题考查了线面平行的判定，空间距离与棱锥的体积计算，属于
31、中档题19 （12 分）今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：年级 相关人数 抽取人数高一 99 x高二 27 y高三 18 2（）求 x，y 的值；（）若从高二、高三年级抽取的参加文明交通宣传的人中选 3 人，求这 3 人中有 2 人来自高二年级，1 人来自高三年级的概率【分析】 （）由题意列方程求出 x、y 的值；（）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）由题意知， ，解得 x11，y3；（）记从高二年级抽取的 3 人为 a、b
32、、c，从高三年级抽取的 2 人为 D、E，从这 5 人中选 3 人，所有基本事件有 10 个，分别是abc、abD、abE、acD 、acE、aDE、bcD 、bcE 、bDE 、cDE ，这 3 人中有 2 人来自高二年级，1 人来自高三年级的基本事件为有 6 个，第 19 页（共 24 页）分别为 abD、abE、acD 、acE、bcD 、bcE ，故所求的概率为 P 【点评】本题考查了分层抽样方法应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题20 （12 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C： 1 的左右焦点，焦距为 6 椭圆 C 上存在点Q 使得 0，且 F1OF2 的面积
33、为 9（）求 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，直线 l 与 x 轴不重合，P 是 y 轴上一点，且 （ ）0，求点 P 纵坐标的取值集合【分析】 （）根据椭圆的性质，以及向量的运算即可求出，（）设点 P 的坐标为（0，m ） ，MN 的中点为 Q，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x +3） ，将 yk（x+3）代入并整理，得（2k 2+1）x 2+12k2x+18k2180，求出点 Q 的坐标，表示出直线 PQ 的斜率，即可求出【解答】解：（） 0，F 1QF 2Q，|F 1Q|2+|F2Q|24c 236，|F 1Q|+|F2Q|
34、 2a，|F 1Q|2+|F2Q|2+2|F1Q|F2Q|4a 2，又F 1QF2 的面积为 9， |F1Q|F2Q|a 299，a 218，又 c3，b 29，第 20 页（共 24 页）椭圆方程为 + 1，（）设点 P 的坐标为（0，m ） ，MN 的中点为 Q，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x +3） ，将 yk（x+3）代入并整理，得（ 2k2+1）x 2+12k2x+18k2 180，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由题意可得 PQMN，x 1+x2 ，x Q ，y 0k（3 ） ，k PQ ，m ，当 k0 时， +2k2 ， m 0，当
35、 k0 时， +2k2 ，0m ，当直线 l 的斜率不存在时，此时 m0，综上所述点 P 纵坐标的取值集合为 ， 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、直线方程、椭圆性质的合理运用21 （12 分）设函数 f（x ）xlnx（x0） （）若 af（x ）恒成立，求 a 的敢值范围；（）设 F（x ）ax 2+x+f（x） （aR） ，讨论函数 F（x）的单调性；（）F（x） ax2+x+f（x）与函数 y x 在1 ，+ ）有公共点，求 a 的最小值【分析】 （I）函数的定义域为（ 0，+ ） ，f
36、（x）1+lnx，令 f（x）0，可得 x第 21 页（共 24 页），即可对称单调性极值，可得 a 的取值范围（II）F（x）ax 2+x+f（x）ax 2+x+1+lnx（x0） ，F （x ）2ax+1+ （x0） 对 a 分类讨论，即可得出单调性（III）F（x） ax2+x+f（ x）与函数 y x 在1，+ ）有公共点lnxax 2 x10 在1 ，+）有解令 h（x ）ax 2 x1，u（x）lnx，x1，+） 对 a 分类讨论利用单调性即可得出结论【解答】解：（I）函数的定义域为（ 0，+ ） ，f（x）1+lnx，令 f（x）1+lnx0，可得 x0x 时，f（x）0，x 时
37、，f （x）0函数 f（x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ，+）单调递增，x 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（ ） a a 的敢值范围是（， ） （II）F（x）ax 2+x+f（x）ax 2+x+1+lnx（x0） ，F（x）2 ax+1+ （x0） 当 a0 时，F（x ）0 恒成立，F（x ）在（0，+ ）上为增函数当 a0 时，令 F（x ）0，得 x 函数 F（x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减综上可得：当 a0 时，F（x）在（0，+）上为增函数当 a0 时，函数 F（x ）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减（III）F（x） ax2+x+
38、f（ x）与函数 y x 在1，+ ）有公共点第 22 页（共 24 页）lnxax 2 x10 在1 ，+）有解令 h（x）ax 2 x1， u（x）lnx，x 1，+） a0 时，u（ x）在 x1，+）单调递增h（x ）在 x1，+）单调递减要使方程有解，必需 h（1）u（1）0，无解，舍去a0 时，u（ x）在 x1，+）单调递增h（x ） x1 在 x1，+）单调递减要使方程有解，必需 h（1） u（1）0，无解，舍去a0 时，u（ x）在 x1，+）单调递增h（x ） ax 2 x1，开口向上，对称轴为 x 0，要使方程有解，必需 h（1）a u（1）0，解得 0a a 的最小值为
39、 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及其与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（3， ） ，求 【分析】 （
40、I）由 2 sin可得 22 sin，再根据极坐标与直角坐标的对应关系化简即可；（II）把直线 l 的参数方程代入圆的直接坐标方程，根据根与系数的关系和参数的几何意义得出答案【解答】解：（I）由 2 sin得 22 sin，即 x2+y22 y，第 23 页（共 24 页）圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22 y0（II）把 代入圆的直角坐标方程可得 t23 t+40，181620，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t23 ，t 1t24，故 t10，t 20 | + | | 【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于中档题选修 4-5：不等式选讲2
41、3函数 f（x） +2 （）求 f（x）的值域；（）若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解，求证：3m+ 7【分析】 （I）由 f（x ） +2 |x 1|+2|x2|，分类讨论取绝对值，然后根据分段函数的性质可求值域（II）若关于 x 的不等式 f（x）m 0 有解，故只需 mf（x）的最小值，可求 m 的范围，然后结合基本不等式即可证【解答】解：f（x ） +2 |x1|+2|x2|（I）当 x2 时，f（x ）3x51；当 1x2 时，f（x）3x，1f （x）2，当 x1 时，f（ x）53x2综上可得，函数的值域为1， +）（II）证明：若关于 x 的不等式 f（x ）m 0 有解，f（x）m 有解，故只需 mf（x）的最小值，即 m13m+ 3 （m1）+ +3【点评】本题主要考查了分段函数的函数值域的求解，及不等式的存在性问题，及基本不等式在最值求解中的应用
