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2018年新疆高考数学一模试卷(理科)含答案解析

1、2018 年新疆高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)设集合 Ax| 2 x ,B x|lnx0 ,则 AB(  )A B1,0) C D 1,12 (5 分)已知 b+i(a ,b R) ,其中 i 为虚数单位,则 a2+b2(  )A0 B1 C2 D33 (5 分) “m ”是“方程 x2+x+m0 有实数解”的(   )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 (5 分)设实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2x+y 的最大值为(  )A4 B C1

2、0 D115 (5 分)平面向量 (x,y) , (x 2,y 2) , (1,1) , (2,2) ,若 1,则这样的向量 有(  )A1 个 B2 个 C多于 2 个 D0 个6 (5 分)沈括是我国宋朝著名科学家,宋代制酒业很发达,为了存储方便,酒缸是要一层一层堆起来的,形成了堆垛,怎样用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数,古代称之为堆垛术沈括用了近十年的时间写了著名的梦溪笔谈 ,提出了公式,解决了这个问题下面左图中的是长方垛:每一层都是长方形,底层长方形的长边放置了 a 个酒缸,短边放置了 b 个酒缸,共放置了 n 层某同学根据左图,绘制了计算酒缸总数的程序框图,那么在 和 两个

3、空白框中,可以分别填入(  )第 2 页(共 25 页)Ain?和 SS+a*b Bin?和 SS+a*bCin?和 Sa*b Din?和 Sa*b7 (5 分)已知双曲线 1(0a )的两条渐近线的一个夹角为 ,则双曲线的离心率为(  )A B C D28 (5 分)已知定义在 R 上的函数 的大小关系为(  )Abac Bacb Ccab Dc ba9 (5 分)数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,的项正负交替,且项的绝对值为 1 个 1,2 个 2,3 个 3,n 个 n,则此数列的前 100 项和为(  )A7 B2

4、1 C21 D710 (5 分)在空间中,与边长均为 3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数为(  )A2 B4 C6 D8第 3 页(共 25 页)11 (5 分)不等式 在 t(0,2上恒成立,则 a 的取值范围是(  )A B C D12 (5 分)关于函数 f(x ) +lnx,则下列结论不正确的是(  )A存在正实数 k,使得 f(x)kx 恒成立B函数 yf (x )x 有且只有 1 个零点Cx 2 是 f(x )的极小值点D对任意两个正实数 x1、x 2,且 x2x 1,若 f(x 1)f ( x2) ,则 x1+x24二、填空题

5、(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)13 (5 分)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,等比数列的b n的前 n 项和为 Tn,且a1b 11,a 4b 48,则     14 (5 分)如图是一个几何体的三视图,其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的外接球的体积是     15 (5 分) 展开式中 x2 的系数为     16 (5 分)横坐标和纵坐标均为整数的点叫整点设 a,b 均为大于 1 的正数,且ab+ab100若 a+b 的最小值为 m,则满足 3x2+2y2m 的整点

6、(x ,y)的个数为      个三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)17 (12 分)已知向量 (1,sinx ) , (sinx,1) , (1,cosx) ,x(0,) ()若( + ) ,求 x;()在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B 为()中的x,2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsin C,求 sin(C )的值18 (12 分)中国共产党第十九次全国代表大会(简称十九大)于 2017 年 10 月 18 日10第 4 页(共 25 页)月 24 日在北京胜利召开 “十九大”报告指出:“必须把教育事业放

7、在优先位置,深化教育改革,加快教育现代化,办好人民满意的教育” 要“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育,办好学前教育、特殊教育和网络教育” 某乡镇属于学前教育、特殊教育、网络教育的学校的比例为 3:1:2现有 3 名师范毕业生从 3 类学校中任选一所学校参与应聘,假设每名毕业生被每所学校录取的机会相同()求他们选择的学校所属教育类别相同的概率;()记 为 3 名师范毕业生中选择的教育属于学前教育或网络教育的人数,求 的分布列及数学期望19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ACBD 于点 O,E 为线段PC 上一点,且 ACBE()求证:OE平面 A

8、BCD;()若 BCAD,BC ,AD 2 ,PA3,且 ABCD,求二面角 CPDA的余弦值20 (12 分)一动圆 M 与圆 O1:x 2+(y1) 21 外切,与圆 O2:x 2+(y+1) 29 内切()求动圆圆心 M 的轨迹方程;()设过圆心 O1 的直线 l:ykx+1 与轨迹 C 相交于 A,B 两点,请问ABO 2 的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程;若不存在,请说明理由21 (12 分)已知函数 f(x )xlnxx ax2()当 a2 时,求曲线 yf (x)在点 P(1,f (1) )处的切线方程;()若 f(x)有两个极值点 x

9、1,x 2 且 x1x 2,求证:x 1x2e 2选修 4-4:坐标系与参数方程第 5 页(共 25 页)22 (10 分)在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 的参数方程是: ( 为参数,02) ,以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为: ,其中 02()求曲线 C1、C 2 的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;()若 P 是曲线 C1 上任意一点, Q 为曲线 C2 上的任意一点,求| PQ|取最小值时 P 点的坐标选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x +1|2 x4|,g(x )9+2 xx 2()解不等式 f(x )

10、1;()证明:|8x 16|g(x)2f (x) 第 6 页(共 25 页)2018 年新疆高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)设集合 Ax| 2 x ,B x|lnx0 ,则 AB(  )A B1,0) C D 1,1【分析】化简集合 A、B,根据交集的定义写出 AB【解答】解:集合 Ax| 2 x x| 1x B x|lnx0x|0 x 1,则 ABx|0x (0, ) 故选:A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2 (5 分)已知 b+i(a ,b R) ,其中 i 为虚数单位,则 a2

11、+b2(  )A0 B1 C2 D3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,结合复数相等的条件求出 a,b 的值,则答案可求【解答】解:由 b+i,得 a1,b1a 2+b22故选:C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题3 (5 分) “m ”是“方程 x2+x+m0 有实数解”的(   )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义,先证明充分性,再证明必要性【解答】解:先证明充分性:第 7 页(共 25 页)m ,14m0,方程 x2+x+m0 有实数解

12、,是充分条件;再证明必要性:方程 x2+x+m0 有实数解,14m0,m ,不是必要条件,故选:A【点评】本题考查了充分必要条件,考查了一元二次方程根的判别式,是一道基础题4 (5 分)设实数 x,y 满足约束条件 ,则 z2x+y 的最大值为(  )A4 B C10 D11【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,利用数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求得结果【解答】解:画出约束条件 表示的平面区域,如图所示;联立 ,解得 A(4,2) ,化目标函数 z2x+y 为 y2x +z,由图可知当直线 y2x +z 过点 A 时,直线在 y 轴

13、上的截距最大, z 有最大值为24+210故选:C【点评】本题考查了简单的线性规划问题,也考查了数形结合的解题思想方法,是基础第 8 页(共 25 页)题5 (5 分)平面向量 (x,y) , (x 2,y 2) , (1,1) , (2,2) ,若 1,则这样的向量 有(  )A1 个 B2 个 C多于 2 个 D0 个【分析】根据平面向量的数量积运算法则,列方程组求得 x、y 的值即可【解答】解:平面向量 (x,y) , (x 2,y 2) , (1,1) , (2,2) ,若 1,则 ,解得 ,向量 ( , ) ,只有 1 个故选:A【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题,

14、也考查了直线与圆的位置关系应用问题,是基础题6 (5 分)沈括是我国宋朝著名科学家,宋代制酒业很发达,为了存储方便,酒缸是要一层一层堆起来的,形成了堆垛,怎样用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数,古代称之为堆垛术沈括用了近十年的时间写了著名的梦溪笔谈 ,提出了公式,解决了这个问题下面左图中的是长方垛:每一层都是长方形,底层长方形的长边放置了 a 个酒缸,短边放置了 b 个酒缸,共放置了 n 层某同学根据左图,绘制了计算酒缸总数的程序框图,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入(  )第 9 页(共 25 页)Ain?和 SS+a*b Bin?和 SS+a*bCin?和 Sa*b Din?

15、和 Sa*b【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,可得答案;【解答】解:由已知中要计算 n 层酒缸总数的和故循环次数要 n 次,由循环变量的初值为 1,步长为 1,故终值为 n,故 处应填:in?由于每次累加的值为每层酒缸的总数,为 a*b,故 处应填:SS+a*b,故选:B【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基础题7 (5 分)已知双曲线 1(0a )的两条渐近线的一个夹角为 ,则双曲线的离心率为(  )第 10 页(共 25 页)A B C D2【分析】根

16、据题意,由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程,结合题意以及 a 的范围可得 ,解可得 a ,由双曲线的性质可得 c 的值,由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解:根据题意,双曲线 1 的焦点在 x 轴上,且 0a ,则其渐近线方程为 y x,又由双曲线的两条渐近线的一个夹角为 ,且 0a ,则有 ,解可得 a ,则 c ,则双曲线的离心率 e 2;故选:D【点评】本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的标准方程,注意求出 a 的值8 (5 分)已知定义在 R 上的函数 的大小关系为(  )Abac Bacb Ccab Dc ba【分析】由 0.90.9(0,1) , ln(lg

17、9)0, 1,及其函数 f(x) 在 R上单调递减,即可得出【解答】解:0.9 0.9(0, 1) ,ln (lg9)0, 1,函数 f(x) 在 R 上单调递减,cab故选:C【点评】本题考查了对数函数与指数函数及其三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题9 (5 分)数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,的项正负交替,且项的绝对值为 1 个 1,2 个 2,3 个 3,n 个 n,则此数列的前 100 项和第 11 页(共 25 页)为(  )A7 B21 C21 D7【分析】根据题意,将数列按绝对值分组,分析各组和的关系;进而分析可得第

18、 100 个数为第 14 组的第 9 个数,将其相加即可得答案【解答】解:根据题意,将该数列分组,第 1 组,为 1,有 1 个 1,其和为 1,第 2 组,为2、2,其绝对值为 2,两项和为 0,第 3 组,为3,3,3;其绝对值为 3,其和为3,第 4 组,为 4,4,4,4;其绝对值为 4,其和为 0,第 5 组,为 5,5,5,5,5;其绝对值为 5,其和为 5,;前 13 组共有 1+2+3+1391 个数,则第 100 个数为第 14 组的第 9 个数,则此数列的前 100 项和为 13+57+911+13 147;故选:D【点评】本题考查合情推理的应用,关键是分析数列各项的规律1

19、0 (5 分)在空间中,与边长均为 3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数为(  )A2 B4 C6 D8【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置,由此能求出与边长均为3cm 的ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的个数【解答】解:若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为 1cm 的平面的平面有两个因为正三角形的边长为 3,所以三角形的高为 2,所以当平面经过中位线 EF 时,根据线面平行的性质可知此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为 1cm同理过两外两个边的中位线的平面也各有 2 个所以满足条件的平面共有 8 个故选:D第

20、12 页(共 25 页)【点评】本题考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题11 (5 分)不等式 在 t(0,2上恒成立,则 a 的取值范围是(  )A B C D【分析】令 f(t) ,g(t) ,由不等式 在 t(0, 2上恒成立即 f(t )maxag(t) min,利用函数的单调性可求【解答】解:令 f(t) ,则可得 f(t )在 t(0,2 单调递增,则有f(t) max令 g(t) 在(0,2单调递减,则有g(t) ming(2)1不等式 在 t(0,2上恒成立f(t)

21、maxag(t) min故选:B【点评】本题主要考查了利用函数 yx+ 的单调性求解函数的最值,及不等式恒成立与函数最值之间的转化第 13 页(共 25 页)12 (5 分)关于函数 f(x ) +lnx,则下列结论不正确的是(  )A存在正实数 k,使得 f(x)kx 恒成立B函数 yf (x )x 有且只有 1 个零点Cx 2 是 f(x )的极小值点D对任意两个正实数 x1、x 2,且 x2x 1,若 f(x 1)f ( x2) ,则 x1+x24【分析】求出原函数的导函数,得到单调性与极值,作出图象,数形结合可得 A 错误,C 正确;再利用导数证明 B 正确;构造函数,利用导

22、数证明 D 正确【解答】解:由 f(x ) +lnx,得 f(x) (x0) ,当 x(0,2 )时,f(x ) 0,当 x(2,+)时,f(x)0,f(x)在(0 ,2)上为减函数,在(2,+)上为增函数,则 f(x)有最小值为 f(2)ln 2+1作出函数 f(x)的图象如图:由图可知,不存在正实数 k,使得 f(x)kx 恒成立,故 A 错误;当 x(0,2)时,函数 yf(x )x 有 1 个零点,令 g(x)f(x)x +lnxx,g(x) 0 对任意 x2,+ )恒成立,g(x)在2 ,+ )上单调递减,则 g(x)g(2)ln210,即当 x2 时,函数 yf(x)x 无零点,则

23、函数 yf(x)x 有且只有 1 个零点,故 B 正确;x2 是 f(x)的极小值点,故 C 正确;第 14 页(共 25 页)令 t(0,2) ,则 2t(0,2) ,2+t2,令 g(t)f(2+t)f(2t) ,则 g(t) g(t)在(0,2)上为减函数,则 g(t )g(0)0,令 x12t,由 f(x 1)f(x 2) ,得 x22+t ,则 x1+x22t +2+t4,当 x24 时 x1+x24 显然成立对任意两个正实数 x1、x 2,且 x2x 1,若 f(x 1)f(x 2) ,则 x1+x24 正确,故 D 正确不正确的结论是 A故选:A【点评】本题考查导数知识的运用,考

24、查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于难题二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)13 (5 分)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,等比数列的b n的前 n 项和为 Tn,且a1b 11,a 4b 48,则   【分析】设公差为 d,公比为 q,求出公差和公比,再根据求和公式计算即可【解答】解:设公差为 d,公比为 q,a 1b 11,a 4b 48,d3,q2,S 551+ 25,T5 11, ,故答案为:【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等比数列的求和公式,属于基础题第 15 页(共 25 页)14 (5 分)如图是一个几何体的三视图,其正视图

25、与侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的外接球的体积是    【分析】易得此几何体为正四棱锥,设 ACDBH ,则 PH面 ABCD,此几何体的外接球的球心在 PH 上,设球 半径为 R,PH2 sin603,R 2(PHR) 2+BH2,解得 R 即可求球的体积【解答】解:可得此几何体为正四棱锥,如图设 ACDBH,则 PH面 ABCD,此几何体的外接球的球心在 PH 上,设球 半径为 R,PH2 sin603,R2(PHR) 2+BH2,解得 R 则此几何体的外接球的体积是 故答案为: 【点评】本题考查了正四棱锥的三视图、球的体积计算公式,考

26、查了推理能力与计算能力,属于基础题15 (5 分) 展开式中 x2 的系数为 30 第 16 页(共 25 页)【分析】分析展开式中 x2 的项的两种可能的来由,结合二项式定理求系数【解答】解:当(1+ )选择 1 时, (1+x) 6 展开式选择 x2 的项为 ;当(1+ )选择 时, (1+ x) 6 展开式选择为 ,所以(1+ ) (1+ x) 6 展开式 30;故答案为:30【点评】本题考查了二项式定理的运用;关键是明确展开式得到 x2 的两种情况16 (5 分)横坐标和纵坐标均为整数的点叫整点设 a,b 均为大于 1 的正数,且ab+ab100若 a+b 的最小值为 m,则满足 3x

27、2+2y2m 的整点(x ,y)的个数为 9 个【分析】根据题意,对 ab+ab100 变形整理可得 a、b 间的关系,进而可得 a+b 的最小值,即 m 的值;满足 3x2+2y2m 的点可以看成是椭圆 + 1 的上及其内部的点,结合椭圆的几何性质,分析可得答案【解答】解:根据题意,ab+ab100,则 a 1+ ,则 a+bb+1+ 2 6,即 a+b 的最小值为 6,则 m6,3x2+2y2m 即 3x2+2y26,满足 3x2+2y2 m 的点可以看成是椭圆 + 1 的上及其内部的点,分析可得其整点共有 9 个,分别为(0,0) , (0,1) , (0,1) , (1,0) , (1

28、,0) ,(1,1) , (1,1) , (1,1) , (1,1) ,故答案为:9【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用,涉及椭圆的简单几何性质,关键是求出m 的值三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)17 (12 分)已知向量 (1,sinx ) , (sinx,1) , (1,cosx) ,x(0,) ()若( + ) ,求 x;()在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B 为()中的第 17 页(共 25 页)x,2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsin C,求 sin(C )的值【分析】 ()由已知结合向量的坐标加法求得( + ) ,再由(

29、 + ) 列式求 x;()由已知等式结合正弦定理及余弦定理求得 cosA,进一步得到 sinA,由 sin(C )sin( ) sin( ) ,展开两角差的正弦求解【解答】解:() (1,sinx ) , (sinx,1) , (1,cosx) , ,( + ) ,(1+sinx)cosx sin x1,则 sinxcosxsin xcosx1,令 sinx cosxt,得 t ,x(0,) , ,即 sinxcosx ,t(1, ,则 t2+2t30,解得 t1sinx cosx1,于是 ,sin (x ) 可得 x ;()2sin 2B+2sin2C2sin 2AsinBsinC ,2b

30、2+2c22a 2bc , ,即 cosA ,得 sinA 又 B ,sin(C )sin ( )sin ( )sin 【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示,考查三角形的解法,是中档题18 (12 分)中国共产党第十九次全国代表大会(简称十九大)于 2017 年 10 月 18 日10月 24 日在北京胜利召开 “十九大”报告指出:“必须把教育事业放在优先位置,深化教育改革,加快教育现代化,办好人民满意的教育” 要“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育,办好学前教育、特殊教育和网络教育” 某乡镇属于学前教育、特殊教育、网络教育的学校的比例为 3:1:2现有 3 名师范毕业生从 3

31、 类学校第 18 页(共 25 页)中任选一所学校参与应聘,假设每名毕业生被每所学校录取的机会相同()求他们选择的学校所属教育类别相同的概率;()记 为 3 名师范毕业生中选择的教育属于学前教育或网络教育的人数,求 的分布列及数学期望【分析】 ()记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育、特殊教育和网络教育分别为事件 Ai、B i、 i,i1, 2,3,由题意知 A1,A 2,A 3 相互独立,B 1,B 2,B 3 相互独立,C 1,C 2,C 3 相互独立,A i,B j, k(i ,j,k 1,2,3,且 i,j ,k 互不相同)相互独立,且 P(A i) ,P (B i) ,P(

32、i) ,由此能求出他们选择的学校所属教育类别相同的概率()记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育或网络教育分别为事件Di,i1,2,3,由已知 D1,D 2,D 3 相互独立,且 P(D i)P(A i+i)P(A i)+P( i) ,B(3, ) ,由此能求出 的分布和 E() 【解答】解:()记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育、特殊教育和网络教育分别为事件 Ai、B i、 i,i 1,2,3,由题意知 A1,A 2,A 3 相互独立,B 1,B 2,B 3 相互独立,C 1,C 2,C 3 相互独立,Ai, Bj, k(i,j,k 1,2,3,且 i,j ,k 互不相同)相

33、互独立,且 P(A i) ,P (B i) , P( i) ,他们选择的学校所属教育类别相同的概率为:PP(A 1A2A3)+P(B 1B2B3)+ P(C 1C2C3)( ) 3+( ) 3+( ) 3 ()记第 i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育或网络教育分别为事件Di,i1,2,3,由已知 D1,D 2,D 3 相互独立,且 P(D i)P(A i+i)P(A i)+P( i) ,B(3, ) ,P(k ) ,k 0,1,2,3, 的分布为:  0  1 2  3P     第 19 页(共 25 页)E() 【点评】本题考查概率的求

34、法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查二项分布等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ACBD 于点 O,E 为线段PC 上一点,且 ACBE()求证:OE平面 ABCD;()若 BCAD,BC ,AD 2 ,PA3,且 ABCD,求二面角 CPDA的余弦值【分析】 ()由 ACBD,ACBE,可得 AC平面 BDE,得到 ACOE ,又 PA平面 ABCD,得 ACPA ,进一步得到 OEPA ,则 OE平面 ABCD;()由 BCAD,BC ,AD 2 ,且 ABCD,可得ABCDCB,得

35、ACBDBC,进一步求解三角形可得 OAOD2由( )知,OE平面ABCD,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OE 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,然后分别求出平面 PCD 与平面 PAD 的一个法向量由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角 CPDA 的余弦值【解答】 ()证明:AC BD,ACBE,BD BE B ,AC平面 BDE,OE平面 BDE,ACOE,又 PA平面 ABCD,AC平面 ABCD,ACPA,又 OE、PA 都是都是平面 PAC 中的直线,OEPA,又 PA平面 ABCD,第 20 页(共 25 页)OE平面 ABCD;()解:BCAD,

36、BC ,AD 2 ,且 ABCD,ABCDCB,则ACBDBC,又 ACBD,在OBC 中,OBOC1,同理 OAOD 2由()知,OE平面 ABCD,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OE 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz,则 B(1,0,0) ,C(0,1, 0) ,D(2,0,0) ,P(0,2,3) ,则 , ,设平面 PCD 的一个法向量为 ,由 ,取 x1,得 取棱 BC 的中点 M,连接 OM,可得 OM平面 PAD,平面 PAD 的一个法向量 由图可知,二面角 CPDA 的平面角为锐角,设为 ,则 cos|cos | | | 二面角 CPDA 的余弦值

37、为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解二面角的平面角,是中档题第 21 页(共 25 页)20 (12 分)一动圆 M 与圆 O1:x 2+(y1) 21 外切,与圆 O2:x 2+(y+1) 29 内切()求动圆圆心 M 的轨迹方程;()设过圆心 O1 的直线 l:ykx+1 与轨迹 C 相交于 A,B 两点,请问ABO 2 的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程;若不存在,请说明理由【分析】 ()设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,动圆与圆 O1:x 2+(y1) 21 外切,与圆 O2:x

38、2+(y+1 ) 2 9 内切,得|MO 1|r+1,|MO 2|3r,|MO 1|+|MO2|4,由椭圆定义知 M 在以 O1,O 2 为焦点的椭圆上,从而可得动圆圆心 M 的轨迹的方程;()当ABO 2 的面积最大时,R 也最大,ABO 2 内切圆的面积也最大,表示出三角形的面积,利用换元法,结合二次函数的性质,求得最值,即可求得结论【解答】解:()设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,由题意,动圆与圆 O1:x 2+( y1) 21 外切,与圆 O2:x 2+(y+1 ) 29 内切,|MO 1|r+1,|MO 2|3r ,|MO 1|+|MO2|4|O 1O2|2,由椭圆定义知 M

39、 在以 O1,O 2 为焦点的椭圆上,且 a2,c1,b 2a 2c 2413动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 + 1;()如图,设ABO 2 内切圆 N 的半径为 R,与直线 l 的切点为 C,则三角形ABO 2 的面积 (| AB|+|AO2|+|BO2|)R (|AO 1|+|O1B|+|AO2|+|BO2|)R 4aR4R,当 最大时,R 也最大,ABO 2 内切圆的面积也最大,设 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) (x 10,x 20) ,则 |O1O2|x1|+ |O1O2|x2|x 1x 2,由 ,得(3k 2+4)x 2+6kx90,x1+x2 ,x 1x2 ,第

40、 22 页(共 25 页)(x 1x 2) 2(x 1+x2) 24x 1x2( ) 2+ ,令 t4+3k 2(t4) ,可得 4 4 ,由 0 ,可得 t4 即 k0 时, 的面积取得最大值 3,即有 4R 的最大值为 3,可得 R 的最大值为 ,ABO 2 的内切圆 N 的面积存在最大值,且为 【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是正确运用椭圆的定义,确定ABO 2 的面积最大时,R 也最大,ABO 2 内切圆的面积也最大21 (12 分)已知函数 f(x )xlnxx ax2()当 a2 时,求曲线 yf (x)在点 P(1,f (1)

41、 )处的切线方程;()若 f(x)有两个极值点 x1,x 2 且 x1x 2,求证:x 1x2e 2【分析】 ()求出函数的导数,计算 f(1) ,f (1) ,求出切线方程即可;()求出 a ,得到 lnx1+lnx2 ,设 0x 1x 2,0t1,问题转化为证明: 2,根据函数的单调性证明即可【解答】解:()a2 时,f(x )xlnxx+x 2,f(1)0,f(x)lnx +2x,故 f(1)2,故 P 处的切线方程是 y2(x 1) ,即 2xy20;()证明:若若 f(x )有两个极值点 x1,x 2,则导函数有 2 个零点 x1,x 2,第 23 页(共 25 页)要证 x1x2e

42、 2lnx1+lnx22,由 f(x)lnxax,可得 ,故 a ,故 lnx1+lnx2 ,设 0x 1x 2,0t 1,则 lnx1+lnx2 ,下面只需证明: 2,lnt 对于 0t1 恒成立,设 g(t)lnt ,则 g(t) 0,故 g(t)在(0,1)递增,故 g(t)g(1)0,故 lnt 在 0t1 恒成立,即 lnx1+lnx22,即 x1x2e 2【点评】本题考查了求切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道综合题选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 的参数方程是: ( 为参数,02) ,

43、以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,第 24 页(共 25 页)曲线 C2 的极坐标方程为: ,其中 02()求曲线 C1、C 2 的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;()若 P 是曲线 C1 上任意一点, Q 为曲线 C2 上的任意一点,求| PQ|取最小值时 P 点的坐标【分析】 ()曲线 C1 的参数方程消去参数 ,能求出曲线 C1 的普通方程及表示的曲线;由曲线 C2 的极坐标方程能求出曲线 C2 的普通方程及表示的曲线()由圆心 C1(4,3) ,设 P(4+2cos ,3+2sin) ,PC 1 与直线 xy4 垂直时,|PQ|取得最小值,此时 1,

44、 1 ,由此能求出当|PQ|取最小值是时,点 P 坐标【解答】解:()曲线 C1 的参数方程是: ( 为参数,02 ) ,曲线 C1 的普通方程为(x +4) 2+(y3) 24,曲线 C2 的极坐标方程为: ,其中 02曲线 C2 的普通方程为 xy4曲线 C1 是圆心为(4,3) ,半径为 2 的圆,曲线 C2 是斜率为 1,在 y 轴上截距为4 的直线()由圆心 C1(4,3) ,设 P(4+2cos ,3+2sin) ,由题意知 PC1 与直线 xy4 垂直时,|PQ|取得最小值,此时 1,1,02 , 或 ,当 时,P(4 ,3+ ) ,当 时,P(4+ ,3 ) ,当|PQ|取最小

45、值是时,点 P 坐标为(4+ ,3 ) 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查线段长的求法,考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题选修 4-5:不等式选讲第 25 页(共 25 页)23设函数 f(x )|2x +1|2 x4|,g(x )9+2 xx 2()解不等式 f(x )1;()证明:|8x 16|g(x)2f (x) 【分析】 ()通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式,解出即可;()根据绝对值不等式的性质求出 2f(x )+|8x16|的最小值是 10,从而求出 g(x)的最大值,从而证明结论【解答】解:()当 x2 时,f (x)2x+1(2x4)51,得 xR故 x2,当 x2 时,f(x)2x+1(42x)4x31,得 x1,故 1x2,当 x 时,f(x)2x1(42x)51 不成立,综上,原不等式的解集是(1,+) ;()证明|8x16|g(x)2f (x)|8x16|+2f(x )g(x) ,2f(x)+|8 x16|4x+2|+|4x8| (4x+2)(4x8)|10,当且仅当 x2 时“”成立,故 2f(x)+|8 x16|的最小值是 10,又 g(x)(x 1) 2+1010