1、不等式选讲【2019 年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想【重点、难点剖析】1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0)a0，b0)，在不等式的证明和求最值中经常用到11a 1b aba b2a2 b227证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法另外还有拆项法、添项法 、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结
2、合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【 例 1】 （2018 年全国卷）设函数 （1 ）当 时，求不等式 的解集；（2 ）若 ， 求 的取值范围 【变式探究】设函数 f(x)|2xa| 5x ，其中 a0.(1)当 a 3 时，求不等式 f(x)5x 1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x| x1 ，求 a 的值【变式探究 】 【2017 课标 3，文 23】已知函数 ()fx=x+1x2.（1 ）求不等式 ()f1 的解集；（2 ）若不等式 xx2x +m 的解集非空 ，求实数 m 的取值范围.【变式探究】已知函数 123fx.（I）在答题卡第（ 24）题图中画出 y
3、f的图像；（II）求不等式 fx的解集【变式探究】解不等式 x|2x3|2.【变式探究】若函数 f(x)|x1| 2|xa |的最小值为 5，则实数 a_.【变式探究】设函数 f(x) | xa|(a0)|x 1a|(1)证明：f (x)2；(2)若 f(3)0.(1)当 a 1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围题型二 不等式的证明【例 2】已知函数 f(x)|x1| .|x 3|(1)解不等式 f(x)x 1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a，b 满足 a0，b0，ab c ，求证： 1.a2a 1
4、 b2b 1【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与 0 比较； 结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放” “缩”是常用的推证技巧【变式探究】已知函数 f(x)|3x1| |3x1| ，M 为不等式 f(x)|ab|. 来源: 来源:Zxxk.Com【变式探究】 【2017 课标 II】已知 。证明：30,2b（1 ） ；5()4（2 ） 。ab【变式探究】已知函数 1()|2fxx， M为不等式 ()2fx的解集（）求 M；（）证明：当 ,ab时， |1|ab【变式探究】设 a、b 、c、d 均为正数，且 abcd，证明
5、：(1)若 abcd，则 ；a b c d(2) 是|ab | |cd| 的充要条件a b c d【变式探究】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数设集合 M0 ，1，2，q 1，集合 Ax|xx 1x 2qx nqn1 ，x iM，i 1，2 ， n(1) 当 q2 ，n3 时，用列举法表示集合 A；(2)设 s，tA， sa 1a 2qa nqn1 ，t b 1b 2qb nqn1 ，其中ai， bi M，i1，2，n.证明：若 an0)(1)当 a 2 时，求不等式 f(x)8 的解集；(2)若x R，使得 f(x) 成立，求实数 a 的取值范围32【方法技巧】 绝对值不等式的成
6、立问题的求解策略(1 )分离参数：根据不等式将参数分离化为 af(x) 或 af(x)的形式(2)转化最值：f (x)a 恒成立f(x) mina；f (x)a 有解 f(x)maxa；f (x)a 无解f(x )maxa ；f (x)4；(2)若不等式 f(a) 对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围|b 1|题型四 不等式的综合应用例 4、 （2018 年全国卷） 选修 45：不等式选讲设函数 （1 ）画出 的图像；（2 ）当 ， ，求 的最小值【举一反三】 （2018 年江苏卷）选修 45：不等式选讲若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值【变式探究】已知函数
7、f（x）=x 2+ax+4，g(x )=x+1+x1.来源:（1 ）当 a=1 时，求不等式 f（x）g （x）的解集；（2 ）若不等式 f（x） g（x）的解集包含1 ，1 ，求 a 的取值范围.来源:【变式探究】已知 a，b 都是实数，a0，f(x) |x1| |x2|.(1)若 f(x)2，求实数 x 的取值范围(2)若|a b| |ab|a |f(x)对满足条件的所有 a，b 都成立，求实数 x 的取值范围【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，及带绝对值符号的最值问题【感悟提升】不等式 f(a)g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立如果对于aR 恒成立，则 f(a)的最小值大
8、于等于 g(x)，再解关于 x 的不等式求 x 的取值范围；如果对于xR 不等式恒成立，则 g(x)的最大值小于等于 f(a)，再解关于 a 的不等式求 a 的取值范围【举一反三】已知函数 f(x)|xa |2x 1|( aR )(1)当 a 1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)2x 的解集包含 ，求 a 的取值范围12， 1【变式探究】已知 f(x)|ax1|(aR)，不等式 f(x)3 的解集为x|2x1(1)求 a 的值；(2)若Error! k 恒成立，求 k 的取值范围【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而
9、求出所求参数的值【变式探究】 已知非负实数 x，y，z 满足 x2y 2z 2x2y3z ，求 xyz 的最大134值【2019 年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想【重点、难点剖析】1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0)a0，b0)，在不等式的证明和求最值中经常用到11a 1b aba b2a2 b227证
10、明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例 1】 （2018 年全国卷）设函数 （1 ）当 时，求不等式 的解集；（2 ）若 ，求 的取值范围【答案】 （1） ,(2)【变式探究】设函数 f(x)|2xa| 5x ，其中 a0.(1)当 a 3 时，求不等式 f(x)5x 1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x| x1 ，求 a 的值解 (1)当 a3 时，不等式 f(x)5x 1 即为|2x3|5x 5x1， 1，|2x 3|解得 x2 或 x1.不等式的解集为x|
11、x 1 或 x2 (2)由 f(x)0 ，得 5x 0，|2x a|解得Error! 或Error!又 a0，不等式的解集为Error!，由题意得 1，a3解得 a 3.【变式探究】 【2017 课标 3，文 23】已知函数 ()fx=x+1x2.（1 ）求不等式 ()fx1 的解集；（2 ）若不等式 x2x +m 的解集非空，求实数 m 的取值范围.【答案】 （1） ,)；（2） 5(,4【解析】（1 ） 3,122 ,xfx，当 时， 1f无解；当 12x时，由 x得， 21x，解得 2x；当 时，由 f解得 . 所以 1fx的解集为 1x.（2 ）由 2m得 2xx，而223511-4x
12、x，且当 3时， 254x.故 m 的取值范围为 5-4， .【变式探究】 已知函数 123fxx.（I）在答题卡第（ 24）题图中画出 yf的图像；（II）求不等式 fx的解集【答案】 （I）见解析（ II） 135， ， ，【解析】如图所示： 41332xfx， ， 1fx,当 , 41x,解得 5x或 3, 1x 当 32, ,解得 或 11x或 x当 32 , 41,解得 5或 3x, 32x 或 5综上, x或 3x或 , 1f ,解集为 135， ， ，【变式探究】解不等式 x|2x3|2.【变式探究】若函数 f(x)|x1| 2|xa |的最小值为 5，则实数 a_.解析 由绝对
13、值的性质知 f(x)的最小值在 x1 或 xa 时取得，若 f(1)2|1a| 5，a 或 a ，经检验均不合适；若 f(a)5 ，则|x1|5，a4 或32 72a6，经检验合题意，因此 a4 或 a6.答案 4 或6【变式探究】设函数 f(x) | xa|(a0)|x 1a|(1)证明：f (x)2；(2)若 f(3)0，有 f(x) |x a| a2.|x 1a| |x 1a x a| 1a所以 f(x)2.(2)f(3) |3a|.|3 1a|当 a3 时，f(3)a ，1a由 f(3)0.(1)当 a 1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角
14、形面积大于 6，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f (x)1 化为|x1| 2|x1| 10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当10，解得 0，解得 1x1 的解集为.x|23a. )所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ，B(2a1，0)，(2a 13 ， 0)C(a，a 1)，ABC 的面积为 (a1) 2.23由题设得 (a1) 26，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，)题型二 不等式的证明【例 2】已知函数 f(x)|x1| .|x 3|(1)解不等式 f(x)x 1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a，b 满足 a0
15、，b0，ab c ，求证： 1.a2a 1 b2b 1【解析】(1)解 f (x)x 1，即|x 1| x1.|x 3|当 x3 时，不等式可化为 2x4x1 ，解得 x5.又x3，3|ab|.(1)解 f (x)|3x 1|3x 1|1， 1 时，f (x)3x1 3x1 6x，13由 6x0， |ab|.|ab 1|【变式探究】 【2017 课标 II】已知 。证明：30,2ab（1 ） ；5()4（2 ） 。ab【答案】(1)证明略； (2)证明略。【解析】 （1）（2 ）因为所以 ，因此 a+b2.【变式探究】已知函数 1()|2fxx， M为不等式 ()2fx的解集（）求 M；（）证
16、明：当 ,ab时， |1|ab【答案】 （） |x；（）详见解析.【解析】 （I）2,1(),2,.fxx当 12x时，由 ()fx得 ,解得 1x；当 时， ()2f；当 12x时，由 ()fx得 ,解得 1x.所以 ()f的解集 |M.（II）由（I）知，当 ,ab时， 1,1ab，从而 22222()(1)()0a，因此 |.【变式探究】设 a、b 、c、d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则 ；a b c d(2) 是|ab | |cd| 的充要条件a b c d证明 (1)因为 ( )2ab2 ，( )2cd2 ，a b ab c d cd由题设 a b c d ，
17、ab cd 得( )2( )2.a b c d因此 .a b c d(2)若|a b| |cd|，则(ab )2( cd) 2，即(ab )24ab(c d )24cd.因为 a bcd，所以 abcd.由(1)得 .a b c d若 ，则( )2( )2，即 ab2 cd2 .a b c d a b c d ab cd因为 a bcd，所以 abcd，于是(ab) 2( ab) 24ab( cd) 24cd( cd) 2.因此|ab |c d|.综上， 是|ab |cd| 的充要条件a b c d【变式探究】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数设集合 M0 ，1，2，q 1，集合
18、Ax|xx 1x 2qx nqn1 ，x iM，i 1，2 ， n(1)当 q 2，n3 时，用列举法表示集合 A；(2)设 s，tA， sa 1a 2qa nqn1 ，t b 1b 2qb nqn1 ，其中ai， bi M，i1，2，n.证明：若 an0)(1)当 a 2 时，求不等式 f(x)8 的解集；(2)若x R，使得 f(x) 成立，求实数 a 的取值范围32解 (1)当 a2 时，由 f(x)8，得|2x 1|x2|8，即Error! 或Error!或Error!得 x3 或 x或 x3 或 x0，所以实数 a 的取值范围是 .(0， 1【方法技巧】 绝对值不等式的成立问题的求解
19、策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 af (x)或 af (x)的形式(2)转化最值：f (x)a 恒成立f(x) mina；f (x)a 有解 f(x)maxa；f (x)a 无解f(x )maxa ；f (x)4；(2)若不等式 f(a) 对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围|b 1|解 (1)当 b1 时，f (x)|2x1|2x 1|4，即Error! x1 或Error!x| b1| ，所以(2b) 2(b1) 2，即(3b1)( b1)0，所以 b 的取值范围为 (1，)( ， 13)题型四 不等式的综合应用例 4、 （2018 年全国卷） 选修 45：不等式选讲
20、设函数 （1 ）画出 的图像；（2 ）当 ， ，求 的最小值来源:ZXXK【答案】 （1）见解析（2 ） 5【解析】 （1） 的图像如图所示（2 ）由（1 ）知， 的图像与 轴交点的纵坐标 为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 5。【举一反三】 （2018 年江苏卷）选修 45：不等式选讲若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得 因为 ，所以 ，当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，所以 的最小值为 4【变式探究】已知函数 f（x）=x 2+ax+4，g(x )=x+1+x1.（1 ）
21、当 a=1 时，求不等式 f（x）g （x）的解集；（2 ）若不等式 f（x） g（x）的解集包含1 ，1 ，求 a 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .17| x1,【解析】（1 ）当 时，不等式 等价于 .afxg2140xx当 时，式化为 ，无解；x2340当 时，式化为 ，从而 ；1x1x当 时，式化为 ，从而 .x24072所以 的解集为 .fgx1| x（2 ）当 时， .1,2所以 的解集包含 ，等价于当 时 .fxg1,1,x2fx又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得,ff 1f.1a所以 的取值范围为 .1,【变式探究】已知 a，b 都是实数，a0，f(x)
22、|x1| |x2|.(1)若 f(x)2，求实数 x 的取值范围；(2)若| ab| | ab|a |f(x)对满足条件的所有 a，b 都成立，求实数 x 的取值范围【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，及带绝对值符号的最值问题【解析】(1)f (x)Error!由 f(x)2，得Error!或Error!解得 x .12 52所求实数 x 的取值范围为 .( ， 12) (52， )(2)由| ab| | ab|a |f(x)且 a0，得f(x)|a b| |a b|a|又 2 ，|a b| |a b|a| |a b a b|a|f(x)2.f(x)2 的解为 x .12 52f(x)
23、2 的解为 x .12 52所求实数 x 的取值范围为 .12， 52【感悟提升】不等式 f(a)g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立如果对于aR 恒成立，则 f(a)的最小值大于等于 g(x)，再解关于 x 的不等式求 x 的取值范围；如果对于xR 不等式恒成立 ，则 g(x)的最大值小于等于 f(a)，再解关于 a 的不等式求 a 的取值范围【举一反三】已知函数 f(x)|xa |2x 1|( aR )(1)当 a 1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)2x 的解集包含 ，求 a 的取值范围12， 1【解析】(1)当 a1 时，不等式 f(x)2 可化为|x1| |2x1|2，当 x 时，不等式为 3x2，解得 x ，故 x ；12 23 23当1x 时，不等式为 2x2，解得 x0，12故1 x0；当 x0 时， x ，得 a2.4a 2a(2)记 h(x)f(x)2f ，(x2)则 h(x) Error!所以|h(x)|1，因此 k1.【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值【变式探究】 已知非负实数 x，y，z 满足 x2y 2z 2x2y3z ，求 xyz 的最大134值
