1、专题专题 14 不等式选讲不等式选讲 1(2020 云南昆明一中高三(文)已知正数a，b，c满足等式1abc. 证明：(1) 3abc ； (2) 23232333abc . 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 (1)要证不等式等价于 2 3abc，因为 2 2123 222 abbcac abcabcabbcac ， 所以3abc，当且仅当 1 3 abc时取等号. (2)因为 23 232311abc，所以 232323 1 111111 abc ， 又因为 23 0 11 a ， 23 0 11 b ， 23 0 11 c .所以 232323 3 111111 abc ，
2、所以23232333abc，当且仅当 1 3 abc时取等号。 2(2020 四川省眉山市高三二诊(文)已知函数 ( ) |1|21|f xxx (1)解不等式( ) 2f xx； (2)若函数( ) | 2019|2021|g xxxa，若对于任意的 1 xR，都存在 2 xR，使得 12 f xg x 成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)0,1(2) 17 22 a 【解析】 (1) 3 ,1 1 ( )2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x ， 由( )2f xx得 1 32 x xx 或 1 1 2 22 x xx 或 1 2 32 x xx ； 解得01x.故
3、所求解集为0,1. (2)( ) |2019|2021|g xxxa |(2019)(2021)| |2|xxaa， 即( )2 ,g xa . 由(1)知 3 ,1 1 ( )2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x ， 所以 min 13 ( ) 22 f xf ，即 3 ( ), 2 f x . 3 |2| 2 a， 17 22 a. 3(2020 四川省成都市金堂中学校高三模拟(文)设函数 212f xxx (1)解不等式 0f x ； (2)若 0 xR，使得 2 0 24f xmm，求实数 m 的取值范围 【答案】(1) 1 |3 3 或x xx ；(2) 15 2
4、2 m 【解析】 (1)函数 212f xxx 3,2 1 31, 2 2 1 3, 2 xx xx xx ， 令 0f x ，求得 1 3 x ，或3x ， 故不等式 0f x 的解集为 1 | 3 x x ，或3x ； (2)若存在 0 xR，使得 2 0 24f xmm，即 2 0 42f xmm有解， 由(1)可得 f x的最小值为 115 31 222 f ， 故 2 5 42 2 mm， 解得 15 22 m 4(2020 安徽省滁州市定远育才学校高三模拟(文)已知函数( )12f xxx . (1)求不等式2 ( )0f x 的解集A； (2)若 ,m nA ，证明：1 42mn
5、mn. 【答案】(1) 1 1 (, ) 2 2 A (2)见解析 【解析】 ()依题意， 3,2, 12 21, 21, 3,1, x f xxxxx x 由221 0 x ，解得 11 22 x，故 1 1 , 2 2 A ()由()可知， 22 11 , 44 mn； 因为 22 144mnmn 222222 1 8164241410mnm nmmnnmn ， 故 22 144mnmn，故1 42mnmn 5(2020 东北师大附中高三模拟(文)已知函数 |1|f xxxa， |2| 1g xx. (1)当2a时，解不等式 5f x ； (2)若对任意 1 xR，都存在 2 xR，使得
6、21 g xf x成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) , 32, ；(2) , 20, 【解析】(1)当2a时，|1|2| 5xx， 由绝对值的几何意义得3x，或2x， 5f x 的解集为 , 32, ； (2)由题意可知： 1 f x的值域是 2 g x值域的子集， 1 f x的值域是：|1|,)a， 2 g x的值域为：1,)， |1| 1a，解得：0a或2a， 实数a的取值范围是 , 20, 6(2020 福建省华安一中、龙海二中高三联考(文) 已知 a0，b0，且 22 9 2 ab，若abm恒成立， (1)求m的最小值； (2)若21x xab 对任意的, a b恒成立，求实
7、数x的取值范围 【答案】(1)3；(2) 1 3 x 或 5 3 x 【解析】 (1)因为 22222 ()(11 )()abab，所以3ab，(当且仅当 11 ab ，即 3 2 3 2 a b 时取等号) 又因为abm恒成立，所以3m故m的最小值为3 (2)使21x xab 恒成立，须且只须213xx 0 223 x xx 或 01 223 x xx 或 1 2 23 x xx 1 3 x 或 5 3 x 7(2020 福建省莆田市高三质检(文)已知 f(x)|2x1|+|x+2|. (1)求不等式 f(x)5 的解集； (2)若 x1，+)时，f(x)kx+k，求 k 的取值范围. 【答
8、案】(1) 4 2 3 xx ；(2) 5 , 3 【解析】 (1)由 212f xxx ， 不等式 5f x 等价于2125xx ， 可化为 2 2125 x xx ， 或 1 2 2 2125 x xx 或 1 2 2125 x xx ； 解得 4 2 3 x ， 所以不等式 5f x 的解集是 4 2 3 xx ； (2)当1x时， 140f成立，kR； 当 1 1 2 x 时， 3f xx ，所以+31xk x， 即 34 1 11 x k xx ，所以 5 3 k ； 当 1 2 x 时， 3f xx，所以3 +11xk x， 即 k 312 3 11 x k xx ，所以 5 3
9、k ； 综上知，k的取值范围是 5 , 3 。 8(2020 福建省漳州市高三测试(文)已知函数 231f xxxm (1)当5m时，求不等式 0f x 的解集； (2)若当 1 4 x 时，不等式 16 0 41 f x x 恒成立，求实数 m 的取值范围 【答案】(1)x|1x或1x (2)(，8) 【解析】(1)当 m=5 时，( )0f x 23150 xx， 1 , 3 231 50, x xx 或 1 2, 3 231 50, x xx 或 2, 231 50, x xx 1 , 3 1, x x 或 1 2, 3 1, x x 或 2, 3 , 2 x x 1x或12x或2x 1
10、x或1x ，所以不等式 ( )0f x 的解集为x|1x或1x ； (2)由条件，有当 1 4 x 时，不等式 16 ( )0 |41| f x x ， 即 16 |2|31| |41| mxx x 恒成立， 令 16 ( ) |2|31| |41| g xxx x ， 则因为 16 ( )(2)(31) 41 g xxx x 16 41 41 x x 16 2 |41|8 |41| x x ， 且 3 ()8 4 g ， 所以 min ( )8g x，所以 m8，即实数 m 的取值范围为(，8)。 9(2020 河北省沧州市高三一模(文)已知0a，0b，函数 2f xxaxb的最小值为 1
11、2 . (1)求证：21ab ； (2)若2abtab 恒成立，求实数t的最大值. 【答案】(1)见解析；(2)最大值为9. 【解析】 (1) 3, 2 2, 2 3, a xab x a f xxaxbxabxb xab xb . 当 2 a x 时，函数 yf x单调递减，则 2 a f xf ； 当 2 a xb时，函数 yf x单调递增，则 2 a ffxf b ； 当xb时，函数 yf x单调递增，则 f xf b. 综上所述， 1 222 aa f xfb ，所以21ab； (2)因为2abtab 恒成立，且0a ，0b，所以 2ab t ab 恒成立，即 min 21 t ba
12、. 因为 21212222 25529 baba ab babaabab ，当且仅当 1 3 ab时等号成立， 所以9t ，实数t的最大值为9。 10(2020 河南省安阳市高三一模(文)已知, ,a b cR，xR ，不等式| 1|2|xxabc恒成 立. (1)求证: 222 1 3 abc (2)求证: 222222 2abbcca . 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 (1)| 1|2| |12| 1xxxx ，1abc. 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caac， 222 222222abcabbcac ， 2222222 333222()1abca
13、bcabbcacabc， 222 1 3 abc. (2) 22 2abab， 22222 22()abaabbab， 即 2 22 () 2 ab ab 两边开平方得 22 22 |() 22 ababab . 同理可得 22 2 () 2 bcbc ， 22 2 () 2 caca . 三式相加，得 222222 2()2abbccaabc 。 11(2020 河南省鹤壁市高级中学高三二模(文)己知0a，函数 f xxa. (1)若2a，解不等式 35f xf x； (2)若函数 2g xf xf xa ，且存在 0 xR使得 2 0 2g xaa成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)
14、| 23xx ；(2)(0,4 【解析】 (1)当2a时， 1 2 ,1 3213, 12 21,2 x x f xf xxxx xx ， 当1x时，由1 25x，解得21x ； 当12x 时，由35，解得12x ； 当2x时，由21 5x ，解得23x. 综上可知，原不等式的解集为| 23xx . (2) 2g xf xf xaxaxa. 存在 0 xR使得 2 0 2g xaa成立，等价于 2 max 2g xaa. 又因为2xaxaxaxaa ，所以 2 22aaa，即 2 40aa . 解得04a，结合0a，所以实数a的取值范围为0,4。 12(2020 河南省开封市高三模拟(理)已知
15、函数 1 ( ) |, 2 f xxM为不等式 12f xf x的解集. (1)求M ； (2)证明：当, a b M 时，1abab . 【答案】(1)| 11xx ；(2)证明见解析 【解析】 (1)令 11 1 22 g xf xf xxx， 1 2 , 2 11 1, 22 1 2 , 2 xx g xx x x 当 1 2 x 时，由 2g x 解得 1 1 2 x 当 11 22 x时， 2g x ； 当 1 2 x 时，由 2g x 解得 1 1 2 x. 所以， 12f xf x的解集| 11Mxx . (2)由(1)知，当, a b M 时，11, 11ab ， 所以，当 2
16、 22 2 2222 111 10abababa bab 时， 所以，1abab 。 13(2020 黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟(文)设函数( ) | 2|3|f xxx. ()求不等式 ( )9f x 的解集； ()若关于x的不等式 ( ) |32|f xm有解，求实数m的取值范围. 【答案】()|5x x 或4x ；() 1m或 7 3 m . 【解析】 () 21,2 ( )5, 23 21,3 xx f xx xx ， 当2x时，219x ，解得4x，所以4x； 当23x 时，59，解得x； 当3x时，219x ，解得5x ，所以5x ， 综上所述，不等式( )9f x 的解集为|5
17、x x 或4x . ()|2| |3| |2(3)| 5xxxx (当且仅当(2)( 3)0 xx即2 3x 时取等) |32| 51mm 或 7 3 m . 14(2020 湖北省随州市高三调研(文)已知函数 212f xxx . (1)解不等式 6f x ； (2)设函数 f x的最小值为m，已知0a ，0b且2aba bm ，求a b的最小值. 【答案】(1)22xx(2)4 【解析】 (1) 3 ,1 2124, 12 3 ,2 x x f xxxxx x x ， 当 1x时，由36x，得21x ； 当12x 时，由46x，得12x ； 当2x时，由36x，得2x. 综上所述，原不等式
18、的解集为22xx. (2) 3 ,1 4, 12 3 ,2 x x f xxx x x ， f x在, 1 递减，在1, 递增. min 13f xf. 3m. 5aba b ，即114ab. 0a，0b，1a . 则 112114ababab， 当且仅当11ab 且114ab，即3a ，1b时，取等号. 3a，1b时 a b有最小值 4。 15(2020 湖北省武汉市高三质检(文)已知函数 f(x)|2xa|+|xa+1| (1)当 a4 时，求解不等式 f(x)8； (2)已知关于 x 的不等式 f(x) 2 2 a 在 R 上恒成立，求参数 a 的取值范围 【答案】(1)5，+)(， 1
19、 3 ；(2)2，1. 【解析】 (1)当 a4 时，f(x)|2x4|+|x3|， (i)当 x3 时，原不等式可化为 3x78，解可得 x5，此时不等式的解集5，+)； (ii)当 2x3 时，原不等式可化为 2x4+3x8，解可得 x9，此时不等式的解集； (iii)当 x2 时，原不等式可化为3x+78，解可得 x 1 3 ，此时不等式的解集(， 1 3 ， 综上可得，不等式的解集5，+)(， 1 3 ， (2)(i)当 a1 1 2 a即 a2 时，f(x)3|x1| 2 2 a 2 显然不恒成立， (ii)当 a1 1 2 a即 a2 时， 1 321 2 1 11 2 3211
20、xaxa f xxaxa xaxa ， ， ， ， 结合函数的单调性可知，当 x 1 2 a时，函数取得最小值 f( 1 2 a) 1 1 2 a， 若 f(x) 2 2 a 在 R 上恒成立，则 2 11 1 22 aa ，此时 a 不存在， (iii)当 a1 1 2 a即 a2 时，f(x) 3211 1 11 2 1 321 2 xaxa xaxa xaxa ， ， ， 若 f(x) 2 2 a 在 R 上恒成立，则 1 2 11 22 aa， 解得2a1， 此时 a 的范围2，1， 综上可得，a 的范围围2，1 16(2020 湖南长郡中学高三(理)已知函数( ) |3 1|2|f
21、xxx. (1)求不等式( ) 3f x 的解集； (2)若 1,1mn ，对xR ，不等式 22 5 3loglog ( ) mn f x 恒成立，求mn的最小值. 【答案】(1) |0 x x 或1x.(2)4 【解析】 (1)原不等式可化为|3 1|2| 3xx ， 当 1 3 x 时，原不等式可化为31 23xx ，解得0 x， 0 x ； 当 1 2 3 x时，原不等式可化为31 23xx ，解得1x ， 12x； 当2x时，原不等式可化为31 23xx ，解得 3 2 x ， 2x ； 综上，不等式的解集为 |0 x x 或1x. (2) 1 43, 3 1 ( )21,2 3 4
22、3,2 xx f xxx xx ， min 15 ( )( ) 33 f xf. 由 22 5 3loglog ( ) mn f x 恒成立可知， 不等式 22 loglog1mn恒成立. 2222 loglog2 loglog2mnmn， 2 log ()2m n， 4m n ，当且仅当2mn时等号成立. 故mn的最小值 4. 17(2020 吉林省实验中学高三第一次检测(文)已知函数 |1|f xxxa. (1)若1a，求不等式 1f x的解集； (2)若“xR ， |21|f xa”为假命题，求a的取值范围. 【答案】(1) 1 , 2 (2)2,0 【解析】(1)当1a时， 2,1,
23、112 , 11, 2,1. x f xxxxx x 由 1f x，得 1 2 x -. 故不等式 1f x的解集为 1 , 2 . (2)因为“xR ， 21f xa”为假命题， 所以“xR ， 21f xa ”为真命题， 所以 max|21|f xa. 因为 |1|(1)()| |1|f xxxaxxaa， 所以 max|1|f xa，则|1|21|aa，所以 22 121aa， 即 2 20aa，解得2 0a 剟，即a的取值范围为2,0。 18(2020 江西省名师联盟高三调研(文)已知函数( ) |21| |()f xxxmmR. (1)当1m时，解不等式 ( )2f x ； (2)若
24、关于x的不等式 ( ) |3|f xx的解集包含3,4，求m的取值范围. 【答案】(1) 2 (, 4 ,) 3 (2) 4,10 【解析】(I)当 1 2 x 时， 2112f xxxx ， 由 2f x 解得4x，综合得4x； 当 1 1 2 x时， 2113f xxxx， 由 2f x 解得 2 3 x ，综合得 2 1 3 x； 当1x时， 2112f xxxx， 由 2f x 解得0 x，综合得1x. 所以 2f x 的解集是 2 , 4, 3 . (II) 213f xxxmx 的解集包含3,4， 当3,4x时，213xxmx 恒成立 原式可变为213xxmx ，即4xmx， 44
25、xxmx 即424mx 在3,4x上恒成立， 显然当3x 时，24x取得最小值 10，即m的取值范围是4,10。 19(2020 江西省名师联盟高三一模(文)设函数 40f xxaxa (1)当1a 时，求不等式 f xx的解集； (2)若 4 1f x a 恒成立，求a的取值范围 【答案】(1)3,5；(2),01, 【解析】 (1)当1a 时， 52 ,1 143,14 25,4 x x f xxxx xx ， 当1x时， f xx， 无解； 当14x时， f xx可得34x； 当4x 时， f xx可得45x； 故不等式 f xx的解集为3,5 (2) 444f xxaxxaxa， 44 41 a a aa 当0a 或4a时，不等式显然成立； 当04a时， 1 1 a ，则14a 故a的取值范围为,01,
