1、 专题专题 02 函数性质及其应用函数性质及其应用 1(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)若函数 4 ( )( )2F xf xx是奇函数， 1 ( )( ) 2 x G xf x为偶 函数，则( 1)f ( ) A 5 2 B 5 4 C 5 4 D 5 2 【答案】C 【解析】 函数 F(x)f(x)2x4是奇函数， F(1)+F(1)0，即 f(1)2+f(1)20，则 f(1)+f(1)4， 1 ( ) 2 x G xf x为偶函数， G(1)G(1)，即 1 112 2 ff，则 3 11 2 ff， 由解得， 3 4 5 2 1 24 f ，故选 C。 2(2020 届安徽省
2、合肥市高三第二次质检)已知函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则 ( )(1)f xf x 的解集为 ( ) A( 1, ) B( 1,1) C 1 , 2 D 1 ,1 2 【答案】C 【解析】 函数 2 2 1 11 log xx f x xx ， ， ，则 f(x)f(x+1)， 当 x0 时，则 x+11，则不等式 f(x)f(x+1)，即 x21(x+1)21，求得 1 2 x0 当 01，则不等式 f(x)f(x+1)， 此时 f(x)=x210f(x+1)=log2(x+1)，0x1 成立 当 x1 时，不等式 f(x)f(x+1)，即 log2xl
3、og2(x+1)，求得 x1 综上可得，不等式的解集为( 1 2 ，+)，故选 C。 3(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)函数cos xx yeex 的部分图象大致是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 由cos xx xeey ， 可知函数cos xx yx ee 为奇函数， 由此排除 A， C， 又1x 时， 11 cos1yee，因为1,01 2 e ，则 11 0,cos10ee，即此时cos 0 xx yeex ，排 除 D，故选 B。 4 (2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知lna， 1 2 be ， 1 lg 2 c ， 则a、b、c的大小关系为( )
4、Aab c Bbca Ccba Dcab 【答案】A 【解析】 对数函数lnyx在0,上为增函数， 则lnln1ae； 指数函数 x ye在R上为增函数， 则 1 0 2 01ee ，即01b；对数函数lgyx在0,上为增函数，则 1 lglg10 2 c . 因此，abc，故选 A。 5(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)若函数 2020 2020 log 1010 f xa x 为奇函数(其中a为常数)，则 不等式 0f x 的整数解的个数是( ) A1011 B1010 C2020 D2021 【答案】B 【解析】 20202020 20202020 1010 loglog 1010
5、1010 aax f xa xx Q ， 2020 2020 1010 log 1010 aax fx x ， 由于函数 yf x为奇函数，则 0f xfx，即 2020 10102020 1010 1 10101010 aaxaax xx ， 2 2222 2020 10101010aa xx，则 2 2 2 2020 10101010 1 a a ，解得1a ， 2020 1010 log 1010 x f x x ， 解不等式 1010 0 1010 x x ，即 1010 0 1010 x x ，解得10101010 x， 由 0f x ，可得 1010 1 1010 10101010
6、 x x x ，解得10100 x， 因此，不等式 0f x 的整数解的个数是1010，故选 B。 6(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知函数 2 ln1f xx ，且 0.2 0.2af ， 3 log 4bf， 1 3 log 3cf ，则a、b、c的大小关系为( ) Aab c Bcab Ccba Dbca 【答案】D 【解析】函数 2 ln1f xx 的定义域为R，且 22 1 ln1ln1 2 f xxx， 2 2 11 ln1ln1 22 fxxxf x ，函数 yf x为偶函数， 1 3 log 311cfff ， 由于函数 2 1ux在 0,上为增函数，函数lnyu为增函数
7、， 所以，函数 2 ln1f xx 在0,上为增函数， 0.20 33 00.20.21log 3log 4 ，因此，acb，故选 D。 7(2020 届广东省东莞市高三模拟)己知定义在R上的奇函数 f x，当0 x时， 2 ( )logf xx；且 2f m ，则m( ) A 1 4 B4 C4 或 1 4 D4 或 1 4 【答案】D 【解析】当0m时， 2 ( )log2f mm，解得4m；当0m时， 2 ( )()log ()2f mfmm ， 解得 1 4 m ，所以4m或 1 4 ，故选 D。 8(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)已知函数 sinf xAx0,0A的图象与直
8、线 0yaaA的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 f x的单调递减区间是( ) A6,6 3kk，kZ B63,6kk，kZ C6 ,6 3kk ，kZ D63,6kk，kZ 【答案】D 【解析】由题设可知该函数的最小正周期826T ，结合函数的图象可知单调递减区间是 2448 6 ,6 () 22 kk kZ ，即36 ,66 ()kk kZ，等价于63,6kk，应选 D。 9(2020 届广东省湛江市模拟)已知 1 3 6a ， 2 log 2 2b ， 2 1.2c ，则a，b，c的大小关系是( ) Abca Bacb Cabc Dbac 【答案】C 【解析】 3 2 22 3
9、 log 2 2log 2 2 b ， 2 1.21.44c ， 1 3 6a ， 3 3 1 3 66a 3 327 6 28 ， abc故选 C。 10(2020 届广东省湛江市模拟)已知函数 ln ,1 ( ) 2 ,1 x ax x f x x ，若 ( )f x在R上为增函数，则实数a的取 值范围是( ) A2, ) B0,2 C(2,) D(,2 【答案】A 【解析】当1x时， 1 ( )222 x f x，当1x 时， ( )lnf xaxa ， 当2a时， ( )f x在R上为增函数， 2,)a，故选 A。 11(2020 届广东省湛江市模拟)函数(1)yf x为奇函数，且在R
10、上为减函数，若 (2)1f ，则满足 1(1)1f x 的x的取值范围是( ) A 1,1 B1,3 C0,2 D2,4 【答案】B 【解析】 函数(1)yf x为奇函数，且在R上为减函数， 函数( )yf x的图象关于点(1,0)对称，且在R上为减函数 ( )(2)0f xfx (0)(2)1ff 由1(1)1f x ，可得(2)(1)(0)ff xf 又函数( )yf x在R上为减函数， 012x 13x，故选 B。 12 (2020 届广西柳州市高三第一次模拟)若定义在R上的偶函数 f x满足 2f xf x， 且0 ,1x 时， f xx，则函数 5 logh xf xx的零点个数是(
11、 ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【答案】D 【解析】( )f x是定义在R上的偶函数，且0,1x时， f xx， 当 1,0 x 时，0,1,(),( )xfxxf xx ， 又 f x满足 2f xf x， 所以 f x是周期为 2 的偶函数，且( )0,1f x ， 令( )0h x ， 5 log0,1, 5, 11,5f xxx ， 设 5 ( )logg xx，则( )g x为偶函数， 所以( )h x的零点的个数为 ( )f x与( )g x在1,5上交点个数的两倍， 画出( ), ( )f x g x在1,5图象， 可得 ( )f x与( )g x在1,5上交点个数
12、为 4 个， 所以( )h x零点为 8 个. 故选 D。 13 (2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)设函数 2 9yx 的定义域为A， 函数 ln(3)yx 的定 义域为B，则AB ( ) A( ,3) B( 8, 3) C3 D 3,3) 【答案】D 【解析】由题意，对于函数 2 9yx ， 2 90 x ，解得33x ，即3,3A ；对于函数 ln(3)yx ，30 x，解得3x，即 ,3B ，所以AB 3,3)，故选 D。 14(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)函数 2 | | ( ) 24 x x f x 的图象大致为( ) A B C D 【答案】D 【解析】
13、由题意，函数 2 | | ( ) 24 x x f x 的定义域为,2x xx R，又 2 2 | | () 2424 xx xx fx ，即 ()( )fxf x ， 所以 ( )f x是偶函数， 可排除 A、 B 选项； 当 0,2x时， 2 ( )0 24 x x f x ； 当2,x 时， 2 ( )0 24 x x f x ，显然只有选项 D 符合题意，故选 D。 15(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知函数 ( ) 2 f x x ，( )cossing xxxx，当 4,4x ，且 0 x时，方程 ( )( )f xg x 根的个数是( ) A5 B6 C7 D8
14、【答案】D 【解析】由题意，函数 ( ) 2 f x x ，在 4,00,4上是奇函数，且是反比例函数， 又 ()cossincossingxxxxxxxg x， 所以( )g x在 4,00,4上是奇函数. 又( )sing xxx ， 所以 0,x 时，( )0g x ；,2x时，( )0g x ；2,3x时，( )0g x ； 3,4x时，( )0g x 。 所以( )g x在0,上单调递减； 在,2上单调递增； 在2,3单调递减； 在3,4上单调递增，作出( ), ( )f x g x的图象，如下图所示。 00g， g ， 1 2 f ， fg，则( )f x与( )g x的图象在0,
15、x上有 1 个交点； 22g， 1 2 4 f ，22gf，则( )f x与( )g x的图象在,2x上有 1 个交点； 33g ， 1 3 6 f ，33fg，则( )f x与( )g x的图象在2,3x上有 1 个交点； 44g， 1 4 8 f ，44gf，则( )f x与( )g x的图象在3,4x上有 1 个交点. 故 ( )f x与( )g x的图象在 0,4上有 4 个交点，根据对称性可知，二者图象在4,0上 4 个交点，故当 4,4x ，且 0 x时，方程 ( )( )f xg x 根的个数是 8，故选 D。 16(2020 届湖北省高三模拟)已知 x20.1，ylog52，z
16、log0.52，则( ) Ayxz Byzx Czxy Dzyx 【答案】D 【解析】 20.1201，x1， log51log52log55，0y1， log0.52log0.510，z0， zyx，故选 D。 17(2020 届湖北省高三模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结 合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解 析式来琢磨函数的图象特征如函数 2 21 2 2 ycos xcosxx ， 的图象大致为( ) A B C D 【答案】B 【解析】根据题意，设 f(x) 2 21 2 2 cos xco
17、sxx ，有 f(x)f(x)，即函数 f(x)为偶函数， 排除 A、D；设 tcosx，则 y2t2+t+1，在区间0， 2 上，tcosx 为减函数，且 0t1， y2t2+t+1，其对称轴为 t 1 4 ，开口向下，在区间(, 1 4 )上为增函数，( 1 4 ,+)上为减函数， 在区间(0,arccos 1 4 )上，tcosx 为减函数，此时 1 4 t1，函数 y2t2+t+1 为减函数， 故函数 yf(x)为增函数，排除 C；故选 B。 18 (2020 届湖北省高三模拟)已知函数 f(x) 2 1 371 xaxx axx ， ， ， 若存在 x1， x2R 且 x1x2， 使
18、得 f(x1)f(x2) 成立，则实数 a 的取值范围是( ) A3，+) B(3，+) C(，3) D(，3 【答案】C 【解析】函数 f(x) 2 1 371 xaxx axx ， ， ， 存在 x1，x2R 且 x1x2，使得 f(x1)f(x2)成立， 当 2 a 1，即 a2 时，由二次函数的图象和性质，可知： 存在 x1，x2(,1且 x1x2，使得 f(x1)f(x2)成立， 当 2 a 1，即 a2 时， 若存在 x1，x2R 且 x1x2，使得 f(x1)f(x2)成立， 则1+a3a7， 解得 a3， 2a3， 综上所述：实数 a 的取值范围是(,3)，故选 C。 19(2
19、020 届湖北省宜昌市高三调研)设 1 3 1 2 x ， 5 1 log 6 y ， 1 4 log 3z ，则( ) Ax yz By zx Cz xy Dz yx 【答案】B 【解析】 1 3 1 0( ) 2 1， 55 1 loglog 61 6 ， 14 4 log 3log 3( 1,0) ，x zy ，故选 B。 20(2020 届湖北省宜昌市高三调研)对于函数 2 1 x fx e 的图象，下列说法正确的是 ( ) A关于直线1x 对称 B关于直线y x 对称 C关于点1,0对称 D关于点0,1对称 【答案】D 【解析】 21 1 11 11 x xx e f x ee ，令
20、 1 1 x x e g xxR e ，则 11 11 xx xx ee gxg x ee ， g x为奇函数，其图象关于原点对称， 将 g x图象向上平移 1 个单位长度可得 f x图象， 所以 f x图象关于0,1对称，故选 D。 21(2020 届湖北省宜昌市高三调研)若函数 2 ( )1 x f xexax在区间1,2内有且仅有一个零点，则实 数a的取值范围是 A 2 5 ,) 2 e B( ,2e C 2 5 (,2) 2 e e D 2 5 ,2 2 e e 【答案】D 【解析】令( )0f x ，即 2 10 x exax ，分离参数可得 1 x e ax xx ，令 1 ( )
21、 x e g xx xx ，则 2 (1)(1) ( ) x xex g x x ，令( )1 x h xxe ，则( )1 x h xe ，当0 x时 ( )0h x ，所以当0 x时 ( )(0)0h xh ，所以当12x时)(0g x ，所以函数( )g x在(1,2)上单调递减，所以当 1,2x 时， (2)( )(1)gg xg ，即 2 5 ( )2 2 e g xe ，又函数 ( )f x在区间1,2内有且仅有一个零点，所以 2 5 2 2 e ae ，故实数a的取值范围是 2 5 ,2 2 e e ，故选 D。 22(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知函数 2 1 ln10
22、 210 xx f x xxx ，函数 g xf xxm在 定义域内恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A 513 , 11, 44 B 13 1, 4 C 13 1, 4 D 5 13 , 44 【答案】A 【解析】函数 g xf xxm在定义域内恰有三个不同的零点，则函数 f x的图象与yxm的 图象恰有三个不同的交点. 由 2 21xxxm 得： 2 10 xxm , 相切时有： 14(1)0m 得 5 4 m ; 由 2 21xxmx 得 2 310 xxm , 相切时有： 94(1)0m 得 13 4 m . 1 0,1 ln1 ,( ) 1 xf xxfx x 在(0,
23、1)处切线斜率为(0)1f . 如图所示，函数 13 4 yx 的图象与函数 f x的图象相切，函数|1|yx的图象过点0,1，函数 1yx的图象过点0,1， 函数 5 4 yx 的图象与函数 f x的图象相切， 从而结合图象可知实数m的 取值范围为 513 , 11, 44 ， 故选 A。 23(2020 届山西省太原市高三模拟)函数 2 1x fx x 的图象大致为() A B C D 【答案】D 【解析】由题意，函数 2 1x fx x ，可得 22 ()11xx fxf x xx ， 即()( )fxf x，所以函数 f x为偶函数，图象关于y对称，排除 B、C； 当0 x时， 2 1
24、1x f xx xx ，则 2 1 ( )1fx x 0， 所以函数在0（ ， ）上递增，排除 A，故选 D。 24(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知奇函数 3(0) ( ) ( )(0) x a x f x h x x ，则( 2) h 的值为( ) A 10 9 B 10 9 C8 D8 【答案】D 【解析】因为 ( )f x为奇函数，所以()( )fxf x ， 令0 x，得(0)0f， 又 0 (0)3fa，所以10a，即1a， 所以 2 ( 2)( 2)(2)(31)8hff ，故选 D。 25(2020 届陕西省汉中市高三质检)设 2,(10) ( ) (6),(10) xx f x f f xx ,则 (5)f( ) A10 B11 C12 D13 【答案】B 【解析】 f(x) 210 610 xx ff xx ， f(5)ff(11)f(9)ff(15)f(13)11故选 B。 26(2020 届陕西省汉中市高三质检)函数 y=2xsin2x 的图象可能是 A B C D 【答案】D 【解析】令( )2 sin2 x f xx， 因为,()2sin2()2 sin2( ) xx xR fxxxf x ， 所以( )2 sin2 x f xx为奇函数， 排除选项 A,B; 因为 (,) 2 x时，( )0f x ，所以排除选项 C，故选 D。
