1、 专题专题 20 不等式选讲不等式选讲 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)已知函数( ) |3|f xxax. (1)若3a，且不等式 ( )5f x 的解集为 37 | 22 xx ，求a的值； (2)如果对任意xR， ( )4f x ，求a的取值范围. 【答案】(1) 1a；(2) 7a或1a 【解析】 (1)若3a，则 23,3 ( )33,3 23, xax f xxaxa ax xaxa ， 因为不等式( )5f x 的解集为 37 | 22 xx ， 所以当 7 2 x 时，( )2345f xxaa， 解得：1a； (2)当3a时，则 23,3 ( )33,3 23,
2、xax f xxaxa ax xaxa ， 如果对任意xR，( )4f x 即 ( )f x的最小值为34a ， 解得：1a； 当3a 时，( ) |3| 2|3|f xxaxx， 则 ( )f x的最小值为 0，不符合条件，舍去； 当3a 时， 23, ( )33, 3 23,3 xaxa f xxaxaxa xax ， 如果对任意xR，( )4f x 即 ( )f x的最小值为 34a ， 解得：7a， 综上：a的取值范围7a或1a 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)已知函数( ) |2 |f xxaa. (1)当 a=2 时，求不等式( )6f x 的解集； (2)设函数( ) |2
3、 1|g xx.当xR时，( )( )3f xg x ，求a的取值范围. 【答案】(1) | 13xx ；(2)2,) 【解析】 (1)当2a时， ( ) |22| 2f xx. 解不等式|22| 26x ，得13x . 因此，( )6f x 的解集为. (2)当xR时， ( )( ) |2|12 |f xg xxaax |212 |xaxa |1|aa ， 当 1 2 x 时等号成立， 所以当xR时，( )( )3f xg x等价于|1|3aa . 当1a 时，等价于13aa ，无解. 当1a 时，等价于13aa ，解得2a. 所以a的取值范围是2,). 3(2020 届四川省泸州市高三二诊
4、)已知 13f xxx. (1)解不等式 6f x ； (2)若, ,a b c均为正数，且 10f af bc ，求 222 abc的最小值. 【答案】(1)5,1；(2) 4 9 【解析】 (1) 24,1 2, 31 24,3 xx f xx xx ， 由 6f x 得 1 246 x x 或 31 26 x 或 3 246 x x ， 解得5,1x . (2) 242410f af bcabc ， 所以222ab c ， 由柯西不等式 2 222222 1231231 12 23 3 aaabbbaba ba b得： 2 222222 22122abcabc 所以 2 222 9224
5、abcabc， 即 222 4 9 abc (当且仅当 4 2 9 abc时取“=”). 所以 222 abc的最小值为 4 9 . 4(2020 届山西省太原市高三模拟)已知函数( ) |2 |f xxa ，( ) |1|g xx. ()若 ( )2 ( )f xg x 的最小值为 1，求实数a的值； ()若关于x的不等式( ) ( )1f xg x的解集包含 1 ,1 2 ，求实数a的取值范围. 【答案】()1a或3；() 3 , 1 2 【解析】 () 22222222f xg xxaxxaxa 21a，解得：1a或3 ()由 1f xg x得：211xax 当 1 ,1 2 x 时，2
6、1211xaxxax ，即：2xax 2xxax ，即： 3 a xa 1f xg x的解集包含 1 ,1 2 1 32 1 a a ，解得： 3 1 2 a 即a的取值范围为： 3 , 1 2 5(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)已知函数 12 ( ) 21 xx f x x 的最大值为 m. (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c 为正数，且a b cm ，求证：1. bcacab abc 【答案】(1)1m(2)证明见解析 【解析】 (1)( )f x的定义域为 1 2 xR x ， 12(1)(2)21xxxxx 当且仅当 (1)(2)0 1 2 xx x ，即 1 1 2
7、 x 或 1 2 2 x时取等号 21 ( )1 21 x f x x ，1m (2)由(1)知1abc 22 bcacbc ac c abab ，22 bcabbc ab b acac ，22 acabac ab a bcbc 相加得22() bcacab abc abc ，当且仅当 1 3 abc时取等号. 1 bcacab abc 6(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知函数( )|6|f xxxm的定义域为R. (1)求实数m的取值范围； (2)设t为m的最大值，实数 , ,a b c满足 222 abct ，试证明 222 111 1 111abc . 【答案】(1)6m(2)证明
8、见解析 【解析】 (1)由题意知，|6| |xxm恒成立， 又|6| |(6)| 6xxxx， 所以实数m的取值范围是6m. (2)由(1)可知， 222 6abc，所以 222 1119abc 从而 222 222222 1111111 111 1119111 abc abcabc 222222 222222 11111111 3(36)1 91111119 bacacb abacbc ， 当且仅当 222 1113abc ，即 222 2abc 时等号成立，证毕. 7(2020 届湖南省常德市高三模拟)设函数 214f xxx . (1)解不等式 0f x ； (2)若 342f xxm对
9、一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) 解集为1x x或5x;(2) m的取值范围为7,11. 【解析】 (1)当4x时， 2145f xxxx ，原不等式即为50 x ， 解得5xx，4x； 当 1 4 2 x时， 21433f xxxx ，原不等式即为330 x ， 解得1x ，14x； 当 1 2 x 时， 2145f xxxx ，原不等式即为50 x ， 解得5x，5x； 综上，原不等式的解集为1x x或5x. (2) 34212421289f xxxxxx . 当 1 4 2 x时，等号成立. 34f xx的最小值为9，要使 342f xxm成立， 29m，解得711
10、m ，m的取值范围为7,11. 8(2020 届湖北省高三模拟)已知实数 a、b 满足 a2+b2-ab3 (1)求 a-b 的取值范围； (2)若 ab0，求证： 22 1134 4abab 【答案】(1)2ab2；(2)证明见解析 【解析】 (1)因为 a2+b2ab3，所以 a2+b23+ab2|ab| 当 ab0 时，3+ab2ab，解得 ab3，即 0ab3； 当 ab0 时，3+ab2ab，解得 ab1，即1ab0， 所以1ab3，则 03ab4， 而(ab)2a2+b22ab3+ab2ab3ab， 所以 0(ab)24，即2ab2； (2)由(1)知 0ab3， 因为 22 22
11、22 113443 44 ab ababa bab 2 222222 34333311111 33()0 4442 ab a baba baba babab 当且仅当 ab2 时取等号， 所以 22 1134 4abab 9 (2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测) 已知函数( )11f xxa x (1)当2a 时，解不等式 ( )5f x ； (2)若( ) 3f xa x，求a的最小值 【答案】(1) 4 (,)(2,) 3 . (2) 1 2 . 【解析】 (1)当2a 时， 1 3 ,1 3, 11 31,1 x x f xxx xx 5f x 的解集为： 4 ,2, 3 (2
12、)由 3f xa x得： 1 13 x a xx 由1321xxx ，得： 11 132 x xx 得 1 2 a (当且仅当1x或3x时等号成立)， 故a的最小值为 1 2 . 10(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知函数 212f xxx ，不等式 2f x 的解集为M. (1)求M ； (2)记集合M的最大元素为m，若a、b、c都是正实数，且 111 23 m abc .求证：239abc. 【答案】(1)51xx ；(2)证明见解析. 【解析】 (1) 2122f xxx . 当 2 1 x 时， 21232f xxxx ，解得5x，此时 1 5 2 x ； 当 1 2 2 x
13、时， 212312f xxxx ，解得1x，此时 1 1 2 x； 当2x 时， 21232f xxxx ，解得1x，此时x. 故不等式 2f x 的解集为51xx ，因此，集合51Mxx ； (2)由(1)可知1m， 111 1 23abc ， 由柯西不等式得 111 2323 23 abcabc abc 2 111 239 23 abc abc ， 即239abc，当且仅当23abc时，即当3a ， 3 2 b ，1c时取等号. 11(2020 届广东省湛江市模拟)已知函数( ) | |3|f xxax (1)若1a ，解不等式 ( )3f xx； (2)若对任意, a x R ，求证：(
14、 )2 |1|f xa 【答案】(1)(,2(2)证明见详解. 【解析】 (1)解：1a ， 22,3 ( )134, 31 22,1 xx f xxxx xx 3 223 x xx 或 31 43 x x 或 1 223 x xx ， 解得3x或31x 或12x 不等式( )3f xx的解集为(,2 (2)证明：( ) | |3| |3|f xxaxa ， 又|3|1| 2aa， |3| 2 |1|aa ( )2 |1|f xa 成立 12(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)设函数 f xxa (1)当2a 时，求不等式 11 43 fx的解集； (2)若0， 3 fx ，2 3 f
15、ba ，证明24ab 【答案】(1) 57 34 xx 或 97 43 x (2)见解析 【解析】 (1)当2a 时， 2f xx，则 1111 2 4343 f xx 111 22 333 111 222 444 xx xxx 或 解得 57 33 79 44 x xx 或 ，即 57 34 x或 97 43 x 则所求不等式的解集为 57 34 xx 或 97 43 x ( (2)由已知，0，11 3 fa ， 22 3 f bab 则 2 24222212 33 ababab 所以24ab 得证 13(2020 届广东省东莞市高三模拟)设函数( )313,f xxxa xR (1)当1a
16、 时，求不等式 ( )9f x 的解集； (2)对任意xR，恒有 ( )21f xa，求实数a的取值范围 【答案】(1) 33 | 22 xx (2)(,0 【解析】 (1)当1a 时， 1 6 , 3 11 ( )2, 33 1 6 , 3 xx f xx xx ， 当 1 3 x 时，69x，解得 3 2 x ，所以 31 23 x ； 当 11 33 x时，29恒成立，所以 11 33 x； 当 1 3 x 时，69x，解得 3 2 x ，所以 13 32 x； 所以( )9f x 的解集为 33 | 22 xx (2)由绝对值不等式性质得( ) |31|3 | |31 (3)| |1|
17、f xxxaxxaa ， 由( )21f xa恒成立，有|1| 21aa恒成立， 当1a时，121aa ，解得0a ，所以10a ； 当1a 时，121aa ，解得 2 3 a ，所以1a 综上所述，a的取值范围是(,0 14(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知函数 f(x)|x1|+|2x+2|，g(x)|x+2|x2a|+a. (1)求不等式 f(x)4 的解集； (2)对x1R，x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求 a 的取值范围. 【答案】(1) 5 1 3 ，(2)4，0 【解析】 (1)因为 311 311 311 xx f xxx xx ， ， ， ， 所以 f(x)4
18、 即为 1 31 4 x x 或 11 3 4 x x 或 1 31 4 x x ， 解得 5 3 x或 x1， 所以不等式的解集为 5 1 3 ， ； (2)由(1)知，当 x1 时，f(x)min2，g(x)|x+2|+|x2a|+a|(x+2)(x2a)|+a|2a+2|+a， 由题意，对x1R，x2R，使得 f(x1)g(x2)成立， 故 f(x)ming(x)min， 即 2|2a+2|+a， 所以2222aaa 解得4a0， 所以实数 a 的取值范围为4，0. 15(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知0a，0b，1ab. (1)求11ab 的最大值； (2)若不等式 1
19、1 1xmx ab 对任意xR及条件中的任意, a b恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 6；(2) 3,5. 【解析】 (1) 2 1111 21111116ababababab ， 当且仅当11ab，即 1 2 ab时取等号， 11ab 的最大值为 6. (2) 1111 24 ba ab ababab ，当且仅当 ba ab ，即a b时取等号， 11 ab 的最小值为 4.又11xmxm， 14m ，解得35m ， 即m的取值范围为3,5. 16(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)已知不等式135xxm 的解集为 3 , 2 n (1)求n的值； (2)若三个正实数a
20、，b，c满足a b cm 证明： 222222 2 bccaab abc 【答案】(1) 7 4 n (2)见解析 【解析】 (1)由题意知， 3 2 为方程135xxm 的根， 39 15 22 m ，解得1m 由1351xx 1x时，15 31xx ， 5 4 x ，x， 5 1 3 x时，1 5 31xx ， 3 2 x ， 35 23 x， 5 3 x 时，1 35 1xx ， 7 4 x ， 57 34 x， 综上不等式解为 37 24 x， 7 4 n (2)由(1)知1abc ， 222222 222bccaabbcacab abcabc 222222 2 a bb cc a a
21、bc 222222222222 1 a bb cb cc ac aa b abc ， 222 12 2222 abc ab cbc aca babc abcabc ， 222222 2 bccaab abc 成立 17(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知函数 1f xx，不等式 15f xf x的解集为 x mxn. (1)求实数m，n的值； (2)若0 x， 0y ，0nxym，求证：9xyxy. 【答案】(1)1m，4n.(2)见解析 【解析】 (1)不等式 1 5f xf x可化为125xx . 即有 1 325 x x 或12x或 2 235 x x . 解得，11x 或12x
22、或24x. 所以不等式的解集为14xx ，故1m，4n. (2)由(1)知， 0nxym ，即4 1xy ， 由0 x，0y 得， 11114 45549 xy xy xyxyyx ， 当且仅当 4xy yx ，即 1 6 x ， 1 3 y 时等号成立.故 11 9 xy ，即9xyxy. 18(2020 届湖南省郴州市高三第二次质监)设函数( )2sin|3|1|f xxaa. (1)若 6 2 f ，求实数a的取值范围； (2)证明：xR ， 1 ( ) |3|1f xa a 恒成立. 【答案】(1) ,04,(2)证明见解析 【解析】 (1) 6 2 f ，2 |3|1| 6aa，即|
23、3|1| 4aa 当3a时，不等式化为 314 3 aa a ，4a 当13a时，不等式化为 (3)(1)4 13 aa a ，此时a无解 当1a 时，不等式化为 (3)(1)4 1 aa a ，0a 综上，原不等式的解集为 ,04, (2)要证xR ， 1 ( ) |3|1f xa a 恒成立 即证xR ， 1 2sin|1|1xa a 恒成立 2sinx的最小值为2，只需证 1 2|1|1a a ，即证 1 |1|12a a 又 11 |1|111aa aa 111 |2 |2aaa aaa 1 |1|12a a 成立，原题得证 19(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)已知函数 (
24、) |1|f xx . (1)求不等式( ) |2|f xxx的解集； (2)设函数( ) (3)yf xf x的最小值为m，已知 222 abcm ，求abbc的最大值. 【答案】(1) 1 , 3 (2) 3 2 2 【解析】 (1)由已知不等式( )| 2|f xxx，得|2|1|xxx ， 当2x时，不等式为21xxx ，解得3x，所以2x； 当12x 时，不等式为21xxx ，解得 1 3 x ，所以 1 2 3 x； 当1x时，不等式为21xxx ，解得3x ，此时无解. 综上，原不等式的解集为 1 , 3 . (2)因为( ) (3) |1|2|12| 3f xf xxxxx ，
25、 所以 222 3abc， 又 22 22222 22 22 bb abcacabbc， 则 3 2 2 abbc ，所以abbc的最大值为 3 2 2 . 20已知函数 f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m0) ()当 m=1 时，求不等式 f(x)1 的解集； ()若xR，tR，使得 f(x)+|t-1|t+1|，求实数 m 的取值范围 【答案】()-2，- 2 3 ；()0m1 【解析】 ()当 m=1 时，|x-1|-|2x+2|1 x1 x31 或 1 x 1 3x11 或 x 1 x31 ， 解得-2x- 2 3 ，所以原不等式的解集为-2，- 2 3 ()f(x)+|t-1|t+1|f(x)|t+1|-|t-1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 f(x)= x3mxm 3xmmxm x3mxm ， ， ， ， 根据分段函数的单调性可知：x=-m 时，f(x)取得最大值 f(-m)=2m， |t+1|-|t-1|(t+1)-(t-1)|=2， -2|t+1|-|t-1|2，即|t+1|-|t-1|的最大值为 2 所以问题转化为 2m2，解得 0m1。
