2020高考数学(文)专项复习《不等式选讲》含答案解析

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1、不等式选讲不等式选讲 不等式选讲是高考的选考内容之一, 考查的重点是不等式的证明、 绝对值不等式的解法 以及数学归纳法在不等式中的应用等, 命题的热点是绝对值不等式的解法, 以及绝对值不等 式与函数的综合问题的求解本部分命题形式单一、稳定,是三道选考题目中最易得分的, 所以可重点突破. 【知识要点】【知识要点】 1含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a; (2)|f(x)|a(a0)af(x)a; (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求

2、解,体现了分类讨论的思想; 2绝对值三角不等式 |a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式 3基本不等式 定理 1:设a,bR R,则a 2b22ab.当且仅当 ab时,等号成立 定理 2:如果a,b为正数,则ab 2 ab,当且仅当ab时,等号成立 定理 3:如果a,b,c为正数,则abc 3 3abc,当且仅当abc时,等号成立 定理 4: (一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、 、an为n个正数, 则a 1a2an n na1a2an,当且仅当a1a2an时,等号成立 4柯西不等式 (1)设a,b,c,d为实数,则(a 2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅

3、当 adbc时等号成立 (2)若ai,bi(iN N * *)为实数, 则( n i1a 2 i)( n i1b 2 i)( n i1aibi) 2, 当且仅当 bi0(i1,2, , n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立 (3)柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|a a|,当 且仅当这两个向量同向或反向时等号成立 【复习要求】【复习要求】 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ;baba ;bccaba (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: cbax cbax abxcx (3)会用不等式和证明一些简

4、单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值 (4)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)设函数f(x)|2x1|x4|. 解不等式f(x)2; 求函数yf(x)的最小值 解 解法一:令 2x10,x40 分别得x1 2,x4. 原不等式可化为: x1 2, x52 或 1 2x4, 3x32 或 x4, x52, 所以原不等式的解集为: x|x7或x5 3 . 解法二: f(x)|2x1|x4| x5,x1 2, 3x3,1 2x4, x5,x4. 画出f(x)的图象 y2 与f(x)图象的交点为(7,2),( 5

5、 3 ,2)由图象知f(x)2 的解集为 x 1 时,f(x) 3x12a,x1 x12a,1a f(x)minf(a)a12a5,解得a 4.答案 4 或6 例例 4 4 已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0. 当a1 时,求不等式f(x)1 的解集; 若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 6,求a的取值范围 解 当a1 时,f(x)1 化为|x1|2|x1|10. 当x1 时,不等式化为x40,无解; 当16,故 a2.所以a的取值范围为(2,) 1解决含参数的绝对值不等式问题,常用以下两种方法 (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决; (2)借助于绝对值的几何意义,先求出

6、f(x)的最值或值域,然后再根据题目要求,求解 参数的取值范围 2 解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a;f(x)0,且ab1 a 1 b.证明: ab2; a 2a0,得ab1. 由基本不等式及ab1, 有ab2ab2,即ab2, 当且仅当ab1 时等号成立 假设a 2acd; (2)abcd是|ab|0,b0,c0,函数f(x)|xa|xb|c的最小值为 4. (1)求abc的值; (2)求1 4a 21 9b 2c2的最小值 6已知f(x)|x|2|xa|(a0) (1)当a1 时,解不等式f(x)4; (2)若f(x)4 恒成立,求实数a的取值范围

7、7已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3. (1)当a2 时,求不等式f(x)1,且当x a 2, 1 2 时,f(x)g(x)恒成立,求a的取值范围 8已知函数f(x)|3x2|. (1)解不等式f(x)0), 若|xa|f(x)1 m 1 n(a0)恒成立, 求实数 a的取值范围 9设函数f(x)x 2x15,且|xa|m 10是否成立?并 证明你的结论 参考答案参考答案 1答案 A 解析 当x1 或x23 或xcd得(ab) 2( cd) 2. 因此abcd. (2)若|ab|cd. 若abcd,则(ab) 2( cd) 2, 即ab2abcd2cd. 因为abcd,所以abc

8、d. 于是(ab) 2(ab)24ab0,所以|ab|ab, 所以f(x)的最小值为abc. 又已知f(x)的最小值为 4,所以abc4. (2)由(1)知abc4,由柯西不等式得 1 4a 21 9b 2c2 (491) a 22 b 33c1 2(abc)216, 即1 4a 21 9b 2c28 7. 当且仅当 1 2a 2 1 3b 3 c 1,即 a8 7,b 18 7 ,c2 7时等号成立 故1 4a 21 9b 2c2的最小值为8 7. 6解 (1)当a1 时,不等式f(x)4 即为|x|2|x1|4, 当x1 时,原不等式可化简为x2(x1)4,得 1x2; 当 0x0. 于是

9、(ab)(ab) 20,即(a3b3)(a2bab2)0, 所以a 3b3a2bab2. (2)因为b 2c22bc,a20,所以 a 2(b2c2)2a2bc. 同理b 2(a2c2)2ab2c. c 2(a2b2)2abc2. 相加得 2(a 2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2ab2, 从而a 2b2b2c2c2a2abc(abc) 由a,b,c都是正数,得abc0,因此a 2b2b2c2c2a2 abc abc.(当且仅当abc时 等号成立) 11解 (1)由绝对值不等式性质知:|x1|x2|x12x|3 对xR R 恒成 立 故|x|x2|m的解集为 R R,只需m3 即可,所以m的取值范围是(,3 (2)由(1)知实数m的最大值为 3, 当m3 时,不等式 6 7 3 10成立证明如下:要使 6 7 3 10成立, 只需( 6 7) 2( 3 10)2,等价于 132 42132 30,等价于 42 30, 等价于 4230,而 4230 显然成立,故所证不等式成立

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