1、不等式选讲不等式选讲 不等式选讲是高考的选考内容之一， 考查的重点是不等式的证明、 绝对值不等式的解法 以及数学归纳法在不等式中的应用等， 命题的热点是绝对值不等式的解法， 以及绝对值不等 式与函数的综合问题的求解本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的， 所以可重点突破. 【知识要点】【知识要点】 1含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a； (2)|f(x)|a(a0)af(x)a； (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求
2、解，体现了分类讨论的思想； 2绝对值三角不等式 |a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式 3基本不等式 定理 1：设a，bR R，则a 2b22ab.当且仅当 ab时，等号成立 定理 2：如果a，b为正数，则ab 2 ab，当且仅当ab时，等号成立 定理 3：如果a，b，c为正数，则abc 3 3abc，当且仅当abc时，等号成立 定理 4： (一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、 、an为n个正数， 则a 1a2an n na1a2an，当且仅当a1a2an时，等号成立 4柯西不等式 (1)设a，b，c，d为实数，则(a 2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅
3、当 adbc时等号成立 (2)若ai，bi(iN N * *)为实数， 则( n i1a 2 i)( n i1b 2 i)( n i1aibi) 2， 当且仅当 bi0(i1,2， ， n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立 (3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|a a|，当 且仅当这两个向量同向或反向时等号成立 【复习要求】【复习要求】 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ;baba ;bccaba （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： cbax cbax abxcx （3）会用不等式和证明一些简
4、单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值 （4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)设函数f(x)|2x1|x4|. 解不等式f(x)2； 求函数yf(x)的最小值 解 解法一：令 2x10，x40 分别得x1 2，x4. 原不等式可化为： x1 2， x52 或 1 2x4， 3x32 或 x4， x52， 所以原不等式的解集为： x|x7或x5 3 . 解法二： f(x)|2x1|x4| x5，x1 2， 3x3，1 2x4， x5，x4. 画出f(x)的图象 y2 与f(x)图象的交点为(7,2)，( 5
5、 3 ，2)由图象知f(x)2 的解集为 x 1 时，f(x) 3x12a，x1 x12a，1a f(x)minf(a)a12a5，解得a 4.答案 4 或6 例例 4 4 已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. 当a1 时，求不等式f(x)1 的解集； 若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围 解 当a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10. 当x1 时，不等式化为x40，无解； 当16，故 a2.所以a的取值范围为(2，) 1解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决； (2)借助于绝对值的几何意义，先求出
6、f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解 参数的取值范围 2 解答此类问题应熟记以下转化：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a；f(x)0，且ab1 a 1 b.证明： ab2； a 2a0，得ab1. 由基本不等式及ab1， 有ab2ab2，即ab2， 当且仅当ab1 时等号成立 假设a 2acd； (2)abcd是|ab|0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为 4. (1)求abc的值； (2)求1 4a 21 9b 2c2的最小值 6已知f(x)|x|2|xa|(a0) (1)当a1 时，解不等式f(x)4； (2)若f(x)4 恒成立，求实数a的取值范围
7、7已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当a2 时，求不等式f(x)1，且当x a 2， 1 2 时，f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围 8已知函数f(x)|3x2|. (1)解不等式f(x)0)， 若|xa|f(x)1 m 1 n(a0)恒成立， 求实数 a的取值范围 9设函数f(x)x 2x15，且|xa|m 10是否成立？并 证明你的结论 参考答案参考答案 1答案 A 解析 当x1 或x23 或xcd得(ab) 2( cd) 2. 因此abcd. (2)若|ab|cd. 若abcd，则(ab) 2( cd) 2， 即ab2abcd2cd. 因为abcd，所以abc
8、d. 于是(ab) 2(ab)24ab0，所以|ab|ab， 所以f(x)的最小值为abc. 又已知f(x)的最小值为 4，所以abc4. (2)由(1)知abc4，由柯西不等式得 1 4a 21 9b 2c2 (491) a 22 b 33c1 2(abc)216， 即1 4a 21 9b 2c28 7. 当且仅当 1 2a 2 1 3b 3 c 1，即 a8 7，b 18 7 ，c2 7时等号成立 故1 4a 21 9b 2c2的最小值为8 7. 6解 (1)当a1 时，不等式f(x)4 即为|x|2|x1|4， 当x1 时，原不等式可化简为x2(x1)4，得 1x2； 当 0x0. 于是
9、(ab)(ab) 20，即(a3b3)(a2bab2)0， 所以a 3b3a2bab2. (2)因为b 2c22bc，a20，所以 a 2(b2c2)2a2bc. 同理b 2(a2c2)2ab2c. c 2(a2b2)2abc2. 相加得 2(a 2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2ab2， 从而a 2b2b2c2c2a2abc(abc) 由a，b，c都是正数，得abc0，因此a 2b2b2c2c2a2 abc abc.(当且仅当abc时 等号成立) 11解 (1)由绝对值不等式性质知：|x1|x2|x12x|3 对xR R 恒成 立 故|x|x2|m的解集为 R R，只需m3 即可，所以m的取值范围是(，3 (2)由(1)知实数m的最大值为 3， 当m3 时，不等式 6 7 3 10成立证明如下：要使 6 7 3 10成立， 只需( 6 7) 2( 3 10)2，等价于 132 42132 30，等价于 42 30， 等价于 4230，而 4230 显然成立，故所证不等式成立