1、解析几何解析几何 平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法为此，我们要关注：将几何问 题代数化， 用代数语言描述几何要素及其关系， 将几何问题转化为代数问题， 处理代数问题， 分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题 在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法要善于 应用初中平面几何、 高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、 圆和圆锥曲线的综合问题 8 81 1 直角坐标系直角坐标系 【知识要点】【知识要点】 1数轴上的基本公式 设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OBx2，OAx1，称x2x1叫做向量AB的 坐标或数量，即数量ABx2x1；数轴上两点
2、A，B的距离公式是 d(A，B)|AB|x2x1| 2平面直角坐标系中的基本公式 设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公 式是.)()(|),.( 2 12 2 12 yyxxABBAd A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是 2 , 2 2121 yy y xx x 3空间直角坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离 公式是 .)()()(|),( 2 12 2 12 2 12 zzyyxxABBAd 【复习要求】【复习要求】 1掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建
3、立平面直角坐标系，用坐标法(也称为 解析法)解决简单的几何问题 2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公 式 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 解下列方程或不等式： (1)x31；(2)|x34；(3)1|x34 略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3， 则x31 表示点A到点B的距离等于 1，如图 811 所示， 图 811 所以，原方程的解为x4 或x2 (2)与(1)类似，如图 812， 图 812 则x34 表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于 4， 所以，原不等式的解集为x1x7 (3)与(2)类似，解不等式 1x3，得解集
4、x|x4，或x2 ， 将此与不等式|x34 的解集x|1x7取交集， 得不等式 1|x34 的解集为x1x2，或 4x7 【评析】【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为 1，那么可以利用 绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式 xa的几何意义： 表示数轴(直线坐标系) 上点A(x)到点B(a)的距离 例例 2 2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA 2PC2PB2PD2 解：解：如图 813，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上 为正方向，建立平面直角坐标系 图 813 设ABa，ADb，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D
5、(0，b)， 设P(x，y)， 则 22222222 )()()(byaxyxPCPA x 2y2(xa)2(yb)2， 22222222 )()(byxyaxPDPB x 2y2(xa)2(yb)2， 所以PA 2PC2PB2PD2 【评析】【评析】 坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要 坐标法中要注意坐标系的建立， 理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标 系可以使解题过程较为简便 例例 3 3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，1)，B(2，0，2) (1)求A，B两点的距离； (2)在x轴上求一点P，使PA|PB|； (3)设M为xOy平
6、面内的一点，若|MAMB，求M点的轨迹方程 解：解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21 (| 222 AB (2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得 222 ) 10()20() 1(a 40)2( 2 a， 即a 22a6a24a8，解得 a1，所以P(1，0，0) (3)设M(x，y，0)，则有,4)0()2() 10()2() 1( 22222 yxyx 整理可得x2y10 所以，M点的轨迹方程为x2y10 【评析】【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用 练习练习 8 81 1 一、选择题一、选择题 1数轴上三点A，B，C的坐标分别为
7、3，1，5，则ACCB等于( ) A4 B4 C12 D12 2若数轴上有两点A(x)，B(x 2)(其中 xR R)，则向量AB的数量的最小值为( ) A 2 1 B0 C 4 1 D 4 1 3在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于yOz平面的对称点是( ) A(1，2，3) B(1，2，3) C(1，2，3) D(1，2，3) 4已知平面直角坐标内有三点A(2，5)，B(1，4)，P(x，y)，且AP|BP|，则实 数x，y满足的方程为( ) Ax3y20 Bx3y20 Cx3y20 Dx3y20 二、填空题 5方程x23 的解是_；不等式x32 的解为_ 6点A(2，3)关于点B(4
8、，1)的对称点为_ 7方程x2x34 的解为_ 8如图 814，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|DA|3，|DC4，|DD1|2，A1C的中点 为M，则点B1的坐标是_，点M的坐标是_，M关于点B1的对称点为_ 图 814 三、解答题三、解答题 9求证：平行四边形ABCD满足AB 2BC2CD2DA2AC2BD2 10求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角 形 11在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|PB的最小 值 8 82 2 直线的方程直线的方程 【知识要点】【知识要点】 1直线方程的概念 如
9、果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上， 且这条直线上点的坐标都是这个方程 的解，那么这个方程叫做这条直线的方程 ，这条直线叫做这个方程的直线 2直线的倾斜角和斜率 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 并规定，与x轴平行或重 合的直线的倾斜角为零度角因此，倾斜角的取值范围是 0180 我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线 ykxb上任意两点，其中x1x2，则斜率 12 12 xx yy k 倾斜角为 90的直线的斜率不存在，倾斜角为的直线的斜率ktan(90) 3直线方程的几种形式 点斜式：yy1k(xx1)； 斜截式：
10、ykxb； 两点式：);,( 2121 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy 一般式：AxByC0(A 2B20) 4两条直线相交、平行与重合的条件 设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 (1)l1与l2相交A1B2A2B10 或)0( 22 2 1 2 1 BA B B A A (2)l1与l2平行 ).0( ; 0 0, 0 222 2 1 2 1 2 1 2112 21211221 CBA C C B B A A CACA BCCBBABA 或 或而 (3)l1与l2重合 ).0( );0(, 222 2 1 2 1 2 1 2221 11 CBA
11、 C C B B A A CCBBAA 或 当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则 l1与l2相交k1k2； l1l2k1k2，b1b2； l1与l2重合k1k2，b1b2 5两条直线垂直的条件 设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1 B20 当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1l2k1k21 6点到直线的距离 点P(x1，y1)到直线l：AxByC0 的距离d的计算公式 22 11 | BA CByAx d 【复习要求】【复习要求】 1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的
12、计算公式根据确定直 线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截 式与一次函数的关系 2掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断 两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1(1)直线082yx的斜率是_，倾斜角为_； (2)设A(2，3)，B(3，2)，C(1，1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交， 则斜率k的取值范围为_ 略解略解：(1)直线082yx可以化简为， 2 28 2 2 xy 所以此直线的斜率为 2 2 ，倾斜角; 2 2 tanarc (2)如图 82
13、1，设直线AC的倾斜角为， 图 821 因为此直线的斜率为 3 4 12 13 AC k，所以; 3 4 tan 设直线BC的倾斜角为，因为此直线的斜率为, 2 3 13 12 BC k 所以 2 3 tan 因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角满足， 由正切函数图象，得 tantan 或 tantan， 故l斜率k的取值范围为 2 3 , 3 4 k 【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种： 已知直线的倾斜角，当90时，ktan； 已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，k 12 12 xx yy ； 已知直线的方程AxByC0，当B0 时，k B A (
14、2)已知直线的斜率k求倾斜角时，要注意当k0 时，arctank；当k0 时， arctan|k| 例例 2 2 根据下列条件求直线方程： (1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等； (2)过点P(2，1)，且点Q(1，2)到直线的距离为 1 解：(1)设所求直线方程为y3k(x2)，或x2(舍)， 令y0，得x2 k 3 (k0)；令x0，得y32k， 由题意，得 2 k 3 32k，解得k 2 3 或k1， 所以，所求直线方程为 3x2y0 或xy50； (2)设所求直线方程为y1k(x2)或x2， 当直线为y1k(x2)，即kxy(2k1)0 时， 由点Q(1，2)到直线的距离为
15、1，得 1 | 122| 2 k kk 1，解得 3 4 k， 所以，直线0 3 5 3 4 yx，即 4x3y50 符合题意； 当直线为x2 时，检验知其符合题意 所以，所求直线方程为 4x3y50 或x2 【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适 应条件特别地，在解题过程中要注意“无斜率” ， “零截距”的情况 例例 3 3 已知直线l1：(m2)x(m2)y10，l2：(m 24)xmy30， (1)若l1l2，求实数m的值； (2)若l1l2，求实数m的值 解法一：解法一：(1)因为l1l2，所以(m2)(m)(m2)(m 24)， 解得m2 或m1
16、 或m4， 验证知两直线不重合， 所以m2 或m1 或m4 时，l1l2； (2)因为l1l2，所以(m2)(m 24)(m)(m2)0， 解得m2 或m1 或m4 解法二：解法二：当l1斜率不存在，即m2 时，代入直线方程，知l1l2； 当l2斜率不存在，即m0 时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直； 当l1，l2斜率存在，即m0，m2 时， 可求l1，l2， 如的斜率分别为k1 2 2 m m ，k2 m m4 2 ， 截距b1 2 1 m ，b2 m 3 ， 若l1l2，由k1k2，b1b2，解得m2 或m1 或m4， 若l1l2，由k1k21，解得m1 或m4 综上，(1)当
17、m2 或m1 或m4 时，l1l2； (2)当m2 或m1 或m4 时，l1l2 【评析】【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊简洁的(如解法一)相互 之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注 意正确使用 例例 4 4 已知直线l过两直线l1：3xy10 与l2：xy30 的交点，且点A(3，3) 和B(5，2)到l的距离相等，求直线l的方程 【分析】【分析】所求直线l有两种情况：一是l与AB平行；二是点A，B在l的两侧，此时l 过线段AB的中点 解：解：解方程组 03 013 yx yx 得交点(1，2)， 由题意，当l与AB平行；或
18、l过A，B的中点时 可以使得点A，B到l的距离相等 当lAB时，因为 2 1 53 23 AB k，此时) 1( 2 1 2:xyl，即x2y50； 当l过AB的中点时，因为AB的中点坐标为), 2 5 , 4(M所以, 14 1 2 2 5 2 : xy l 即l：x6y110 综上，所求的直线l的方程为x2y50 或l：x6y110 例例 5 5 已知直线l1：ykx2k与l2：xy5 的交点在第一象限，求实数k的取值范 围 解法一：解法一：解方程组 5 2 yx kkxy ，得交点), 1 25 5 , 1 25 ( k k k k 由题意，得 0 1 25 5 0 1 25 k k k
19、 k ，解得 2 5 0k 解法二：解法二：如图 822，由l1：yk(x2)，知l1过定点P(2，0)， 图 822 由l2：xy5，知l2坐标轴相交于点A(0，5)，B(5，0)， 因为, 0, 2 5 20 05 BPAP kk 由题意，得 2 5 0k 【评析】【评析】在例 4，例 5 中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与 方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想 例例 6 6 如图 823， 过点P(4， 4)的直线l与直线l1：y4x相交于点A(在第一象限)， 与x轴正半轴相交于点B，求ABO面积的最小值 图 823 解：解：设B
20、(a，0)，则),4( 4 04 4: x a yl 将y4x代入直线l的方程， 得点A的坐标为),3)( 3 4 , 3 ( a a a a a 则ABO的面积, 12 1 ) 6 11 (3 2 3 4 2 1 2 a a a aS 所以当a6 时，ABO的面积S取到最小值 24 练习练习 8 82 2 一、选择题一、选择题 1若直线l的倾斜角的正弦为 5 3 ，则l的斜率k是( ) A 4 3 B 4 3 C 4 3 或 4 3 D 3 4 或 3 4 2点P(ab，ab)在第二象限内，则bxayab0 直线不经过的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 “ 2
21、 1 m”是“直线(m2)x3my10 与直线(m2)x(m2)y30 相互垂直”的 ( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 4 若直线3: kxyl与直线 2x3y60 的交点位于第一象限， 则l的倾角的取值范 围( ) A) 3 , 6 B) 2 , 3 ( C) 2 , 6 ( D 2 , 6 二、填空题二、填空题 5已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1l2，则a_ 6已知点A(3，0)，B(0，4)，则过点B且与A的距离为 3 的直线方程为_ 7若点P(3，4)，Q(a，b)关于直线xy10 对称，则a2b_ 8若三
22、点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab0)共线，则 ba 11 的值等于_ 三、解答题三、解答题 9已知点P在直线 2x3y20 上，点A(1，3)，B(1，5) (1)求PA的最小值； (2)若|PA|PB|，求点P坐标 10 若直线l夹在两条直线l1：x3y100 与l2： 2xy80 之间的线段恰好被点P(0， 1)平分，求直线l的方程 11 已知点P到两个定点M(1， 0)、N(1， 0)距离的比为2， 点N到直线PM的距离为 1 求 直线PN的方程 8 83 3 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 【知识要点】【知识要点】 1二元一次不等式(组)所表示的平面区域 (1)
23、一般地，二元一次不等式AxByC0 在平面区域中表示直线AxByC0 某一 侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式AxByC0 所表示的平 面区域包括边界线(闭半平面) (2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面 区域的公共部分 (3)可在直线AxByC0 的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0 C的正(或负)来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域当C0 时，常把原 点(0，0)作为特殊点 (4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧： ykxb表示直线上方的半平面区域；ykxb表示直线下方的半平面区域 当
24、B0 时，AxByC0 表示直线上方区域，AxByC0 表示直线下方区域 2简单线性规划 (1)基本概念 目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如zxy，zx 2y2等 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数 线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式) 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解 可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域 (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 分析并将已
25、知数据列出表格； 确定线性约束条件； 确定线性目标函数； 画出可行域； 利用线性目标函数，求出最优解； 实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解 【复习要求】【复习要求】 1了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 2能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 (1)若点(3，1)在直线 3x2ya0 的上方，则实数a的取值范围是_； (2)若点(3， 1)和(4， 6)在直线 3x2ya0 的两侧， 则实数a的取值范围是_ 解：解：(1)将直线化为, 22 3a xy 由题意，得 2 3 2 3 1 a ，解得
26、a7 (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反， 则(332a)3(4)12a0，即(a7)(a24)0， 所以，实数a的取值范围是(7，24) 例例 2 2 (1)如图 831，写出能表示图中阴影部分的不等式组； 图 831 (2)如果函数yax 2bxa 的图象与x轴有两个交点， 试在aOb坐标平面内画出点(a， b)表示的平面区域 略解：略解：(1)， 022 1 0 yx y x (2)由题意，得b 24a20，即(2ab)(2ab)0， 所以 02 02 ba ba 或 02 02 ba ba ，点(a，b)表示的平面区域如图 832 图 832 【评析】【评析】 除了掌握
27、二元一次不等式表示平面区域外， 还应关注给定平面区域如何用不等 式表示这个逆问题 例例 3 3 已知x，y满足 . 033 , 042 , 022 yx yx yx 求： (1)z1xy的最大值； (2)z2xy的最大值； (3)z3x 2y2的最小值； (4) 1 4 x y z的取值范围(x1) 略解：略解：如图 833，作出已知不等式组表示的平面区域 图 833 易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2) (1)作直线xy0，通过平移，知在M点，z1有最大值 5； (2)作直线xy0，通过平移，知在A点，z2有最大值 1； (3)作圆x 2y2r2，显然当圆与直线 2xy20 相切时
28、，r 2有最小值 2 ) 5 2 (，即z3 有最小值; 5 4 (4) 1x y 可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(，2 3，) 【评析】【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义z的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等 例例 4 4 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须 满足约束条件 .112 , 932 ,22115 x yx yx 则z10x10y的最大值是( ) (A)80 (B)85 (C)90 (D)95 略解：由题意，根据已知不等式组及 0 0 y x 可得到点(x，y)的可行域 如图
29、 834 图 834 作直线xy0，通过平移，知在M点，z10x10y有最大值，易得), 2 9 , 2 11 (M 又由题意，知x，yN，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值， 所以，zmax10510490，选 C 【评析】【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解 例例 5 5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000 元，运 费 500 元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克今预算每日原料总成本不得超过 6000 元，运费不得超过 2000 元，问此工厂每日 采用甲、乙两种原料各多
30、少千克，才能使产品的日产量最大? 解：解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z90x100y(千克) 由题意，得 . 0, 0 ,2045 ,1232 . 0, 0 ，2000400500 ，600015001000 yx yx yx yx yx yx 上述不等式组表示的平面区域如图 835 所示，阴影部分(含边界)即为可行域 图 835 作直线l：90x100y0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直 线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值这里M点是直 线 2x3y12 和 5x4y20 的交点，容易解得M) 7 20 , 7 1
31、2 (，此时z取到最大值 7 12 90 .440 7 20 100 答：当每天提供甲原料 7 12 吨，乙原料 7 20 吨时，每日最多可生产 440 千克产品 例例 6 6 设函数f(x)ax 2bx，且 1f(1)2，2f(1)4 (1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f(2)的取值范围 解：解：(1)f(1)ab，f(1)ab， . 42 , 21 ba ba 即 . 4 , 2 , 2 , 1 ba ba ba ba 如图 836， 在平面直角坐标系aOb中， 作出满足上述不等式组的区域， 阴影部分(含 边界)即为可行域 图
32、836 (2)目标函数f(2)4a2b 在平面直角坐标系aOb中，作直线l：4a2b0，并作平行于直线l的一组直线与可 行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达 到最大值 这里B点是直线ab2 和ab4 的交点，容易解得B(3，1)， 此时f(2)取到最大值 432110 同理，其中有一条直线经过可行域上的C点，此时目标函数达到最小值这里C点是直 线ab1 和ab2 的交点，容易解得), 2 1 , 2 3 (C 此时f(2)取到最小值. 5 2 1 2 2 3 4 所以 5f(2)10 【评析】【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(
33、或范围)问题”的常见 方法之一 练习练习 8 83 3 一、选择题一、选择题 1原点(0，0)和点(1，1)在直线xya0 的两侧，则a的取值范围是 ( ) Aa0 或a2 Ba0 或a2 C0a2 D0a2 2若x0，y0，且xy1，则zxy的最大值是( ) A1 B1 C2 D2 3已知x和y是正整数，且满足约束条件 . 72 , 2 ,10 x yx yx 则z2x3y的最小值是( ) A24 B14 C13 D11.5 4根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北) 2 0( 方向行走段时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不 定如图 837假
34、定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能 落点区域为S，则S可以用不等式组表示为( ) 图 837 A 200 200 y x B 20 400 22 yx yx C 0 0 400 22 y x yx D 20 20 20 y x yx 二、填空题二、填空题 5在平面直角坐标系中，不等式组 2 02 02 x yx yx 表示的平面区域的面积是_ 6若实数x、y满足 2 0 01 x x yx ，则 x y 的取值范围是_ 7点P(x，y)在直线 4x3y0 上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值 范围是_ 8若当实数x，y满足 ax yx yx 0 05
35、 时，zx3y的最小值为6，则实数a等于_ 三、解答题三、解答题 9如果点P在平面区域 01 02 022 yx yx yx 内，点Q(2，2)，求|PQ|的最小值 10制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人 打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和 50 (%100 投资额 盈利额 盈利率)，可能的最大亏损率分别为 30和 10( 投资额 亏损额 亏损率 %100)，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大? 11设a，bR
36、 R，且b(ab1)0，b(ab1)0 (1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a的取值范围 8 84 4 圆的方程圆的方程 【知识要点】【知识要点】 1圆的方程 (1)标准方程：(xa) 2(yb)2r2(r0)，其中点(a，b)为圆心，r 为半径 (2)一般方程：x 2y2DxEyF0(D2E24F0)，其中圆心为 ) 2 , 2 ( ED ，半径 为 2 1 .4 22 FED 2点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆的圆心距离为d，则 dr点在圆外； dr点在圆上； dr点在圆内 3直线与圆的位置关系 (1)代数法：联立直线与
37、圆的方程，解方程组，消去字母y，得关于x的一元二次方程， 则 0方程组有两解直线和圆相交； 0方程组有一解直线和圆相切； 0方程组无解直线和圆相离 (2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d，设圆的半径为r，则 dr直线和圆相交； dr直线和圆相切； dr直线和圆相离 4圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R，r(Rr)，两圆的圆心距为d(d0)，则 dRr两圆相离； dRr两圆外切； RrdRr两圆相交； dRr两圆内切； dRr两圆内含 【复习要求】【复习要求】 1掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程 2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简
38、单问 题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A(3，2)，B(4，1)； (2)经过两点A(1，1)和B(1，1)，且圆心在直线xy20 上； (3)经过两点A(4，2)和B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 【分析】【分析】求圆的方程，可以用待定系数法若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标 准方程，如第(2)问若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问 解：解：(1)由题意圆心为AB的中点M) 2 12 , 2 43 ( ，即) 2 3 , 2 1 (M， 因为,50) 12()43(| 22 AB 所以
39、圆的半径 2 50 | 2 1 ABr 所以，所求圆的方程为 2 25 ) 2 3 () 2 1 ( 22 yx (2)方法一：设圆的方程为(xa) 2(yb)2r2(r0)，则 222 222 )1 ()1( )1()1 ( 02 rba rba ba ，解得 2 ,1 1 r b a 所以，所求圆的方程为(x1) 2(y1)24 方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB的垂直平分线上易得AB的垂直平分 线为yx 由题意，解方程组 02yx xy ，得圆心C为(1，1)， 于是，半径rAC|2， 所以，所求圆的方程为(x1) 2(y1)24 (3)设所求圆的方程为x 2y2DxEyF0，
40、 因为圆过点A，B，所以 4D2EF200， D3EF100， 在圆的方程中，令y0，得x 2DxF0， 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1x2D 在圆的方程中，令x0，得y 2EyF0， 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1y2E 由题意，得D(E)2， 解，得D2，E0，F12， 所以，所求圆的方程为x 2y22x120 【评析】【评析】 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(y y2)0求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；待定系数法求 圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算
41、量 例例 2 2 (1)点P(a，b)在圆C：x 2y2r2(r0)上，求过点 P的圆的切线方程； (2)若点P(a，b)在圆C：x 2y2r2(r0)内，判断直线 axbyr 2与圆 C的位置关系 解：解：(1)方法一：因为切线l与半径OP垂直，又可求出直线OP的斜率，所以可得切线 l的斜率，再由点斜式得到切线方程但要注意斜率是否存在(详细过程略) 方法二：设Q(x，y)为所求切线上任一点，则0OPPQ，即(xa，yb)(a，b) 0 整理得axbya 2b2， 又因为P在圆上，所以a 2b2r2， 故所求的切线方程为axbyr 2 (2)由已知，得a 2b2r2， 则圆心O(0，0)到直线
42、axbyr 2的距离 . | 2 2 22 2 r r r ba r d 所以此直线与圆C相离 【评析】【评析】随着点P(a，b)与圆C：x 2y2r2的位置关系的变化，直线 l：axbyr 2与 圆C的位置关系也在变化 当点P在圆C上时， 直线l与圆C相切； 当点P在圆C内时， 直线l与圆C相离；当点P在圆外时，直线l与圆C相交 例例 3 3 已知点A(a，3)，圆C：(x1) 2(y2)24 (1)设a3，求过点A且与圆C相切的直线方程； (2)设a4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为 23，求直线l的方程； (3)设a2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程 解：解：(1)如图 841，此时A(3，3)， 图 841 设切线为y3k(x3)或x3， 验证知x3 符合题意； 当切线为y3k(x3)，即kxy3k30 时， 圆心(1，2)到切线的距离, 2 1 |332| 2 k kk
