1、第3讲 柯西不等式与排序不等式1设a，bR且ab1，求证：.证明：因为(1212)25.所以.2设a、b、c是正实数，且abc9，求的最小值解：因为(abc)()2()2()218.所以2.当且仅当abc时取等号，所以的最小值为2.3已知x，y，z均为实数若xyz1，求证：3.证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号4已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43，
2、6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时，取“”)所以abc，即3.5已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解：(1)因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明：由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x
3、1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.1设a1，a2，an是1，2，n(n2，nN*)的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2，且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.故原不等式成立2已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解：(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b
4、0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(23c1)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.3(2019成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)4|x|x3|.(1)求不等式f0的解集；(2)若p，q，r为正实数，且4，求3p2qr的最小值解：(1)由f40，得4.当x时，xx4，解得x2，所以2x时，xx4，解得x2，所以x2.综上，4，即f0的解集为2，2(2)令a1，a2，a3.由柯西不定式，得(aaa)9，即(3p2qr)9.因为4，所以3p2qr，当且仅当，即p，q，r时，取等号所以3p2qr的最小值为.4
