1、 不等式选讲跟踪知识梳理考纲解读：1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明 以下不等式：|a b| |a|b|；|a b| ac |c b|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|a xb|c ；|x a| |xb |c.3会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极) 值4了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等考点梳理：1绝对值的概念和几何意义代数：|a| a（ a0） ， a（ a 0） .)几何意义：|a|表示数轴上坐标为a 的点 A 到原点的 距离来源:学.科.2绝对值不等
2、式性质|a|b| ab|a|b|.(1)|ab|a |b|，当且仅当 ab0 时取等号；(2)|ab|a |b|，当且仅当 ab0 时取等号3绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解基本型：a 0 ，|x| a -aa (1)c0， |axb |c ，|axb |c 或 caxbcaxbc(2)c0， |xa|xb|c ， |xa| |xb |c.三种解法：图解法(数形结合 )、零点分区法(定义) 、绝对值的几何意义( 数轴)4比较法证明不等式(1)作差比较法：知道 abab0，a b，只要证明即可，这种方法称为作差比较法(2)作商比较法：由 ab0 1 且 a0，b0 ，因此当
3、a0，b0 时要证明 ab，只要证明 即可，ab 1a这种方法称为作商比较法5综合法证明不等式来源:ZXXK从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果” 的方法这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法6分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的结论出发， 逐步寻求使它 成立的充分条件，直至所需条件为已 知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、 性质、或已证明的定理等) ，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执 果索因的思考和证明方法7反证法证明不等式先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定
4、理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确 ，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法8放缩法证明不等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小， 简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法核心能力必练解答题1已知 且 292ba，若 mba恒成立，0,a（1 ）求 m的最小值 ；（2 ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.x,x2已知函数 ()|2|fa（1 ）当 时，求不等式 的解集；a()6fx3设函数 .1fx（1 ）解不等式 ；2fx（2 ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围
5、 .8fxaRa4已知 使不等式 成立12xt（1 ）求满足条件的实数 的集合 ；tT（2 ）若 ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值,mn3loglmntmn5已 知函数 .|2|)(xaxf（1 ）若 ，求不等式 的解集；4a6)(f（2 ）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围 .|3|)(xf 1,0a6已知函数 |（1 ）解不等式 ；()4)8fx（2 ）若 ， ，且 ，求证： |a|1b0a()|()bfaf7设 ()|fx（1 ）若 的解集为 ，求实数 的值26,2（2 ）当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数axR(21)()73fxfm的取值范围m8设函数 （ ） ， ()
6、|2|1|fxa0a()g（1 ）当 时，求不等式 的解集；a()fx（2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围()fxg9已知 ， ，函数 的最小值为 2.0b|)(bxaxf（1 ）求 的值；a（2 ）证明： 与 不可能同时成立.2b10已知实数 0， ，函数 的最大值为 3fxaxb（1 ）求 ab的值；（2 ）设函数 2()gxab，若 xa， ()gfx，求 a的取值范围11已知函数 .13,1f（1 ）求不等式 的解集；6x（2 ）若 的最小值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.fn,ab2nab212设 1xx（1 ）求 的解集；2f（2 ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值
7、范围1afx0ax13已知函数 ， ， 的解集为 3fm03fx,2,（1 ）求 的值；m（2 ）若 ， 成立，求实数 的取值范围xR21fxtt14已知函数 3x（1 ）若 ，使得不等式 成立，求实数 的最小值 ；0x0fmM（2 ）在（1 ）的条 件下，若正数 满足 ，证明： ,ab31ba15已知函数 .21fxxR（1 ）当 时，求 的解集；a（2 ）若 的解集包含集合 ，求实数 的取值范围.21fx,12a16已知函数 ， ()|fxR（1 ）解不等式 ；1x（2 ）若对于 ， ，有 ， ，求证： y1|3y1|2|6y()1fx17 已知函数 fxmx，其中 0（1 ）当 时，解不
8、等式 4f；（2 ）若 ，且 0a，证明： 14fafR18 （ 1）已知 和 是任意非零实数，且满足 ，求实数 的最大值；b2ba（2 ）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 121()4xkxk19已知函数 ， ；()3f215()4gmx（1 ）求不等式 的解集；6x（2 ）若对任意的 ， ，求 的取值范围 .1,()xf20已知函数 .()|2|fx（1 ）求不等式 的解集；0（2 ）若不等式 有解，求实数 的取值范围.|1|()3|2|mfxm不等式选讲跟踪知识梳理考纲解读：1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a b| a|b|；|a b| a
9、c |c b|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|x a| xb|c.3会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极) 值4了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等考点梳理：1绝对值的概念和几何意义代数：|a| a（ a0） ， a（ a 0） .)几何意义：|a|表示数轴上坐标为a 的点 A 到原点的距离2绝对值不等式性质|a|b| ab|a|b|.(1)|ab|a |b|，当且仅当 ab0 时取等号；(2)|ab|a |b|，当且仅当 ab0 时取等号3绝对值不等式的解法 来源:原
10、则是转化为不含绝对值的不等式求解基本型：a 0 ，|x| a -aa (1)c0， |axb |c ，|axb |c 或 cabcaxbc(2)c0， |xa|xb|c ， |xa| |xb |c.三种解法：图解法(数形结合 )、零点分区法(定义) 、绝对值的几何意义( 数轴)4比较法证明不等式(1)作差比 较法：知道 abab0，a b，只要证明即可，这种 方法称为作差比较法(2)作商比较法：由 ab0 1 且 a0，b0 ，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明 即可，ab 1a这种方法称为作商比较法5综合法证明不等式从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等 ，经过一系列的推理、
11、论证而得出命题成立，即“由因导果” 的方法这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法6分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质 、或已证明的定理等) ，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法7反证法证明不等式先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定 理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确 ，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法8放 缩法证明不
12、等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法核心能力必练解答题1已知 且 292ba，若 mba恒成立，0,a（1 ）求 m的最小值；（2 ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.x,x【答案】 （1）3 （2 ） 13x或 5【解析】 （1） 22,ababab（当且仅当 1，即 时取等号） ，又 m恒成立， 3.故 的最小值为 3.（2 ）要使 恒成立，只需 ，1xab213x 或 或0,301,23x, 1x或 5.2已知函数 ()|fxa（1 ）当 时，求不等式 的解集；a()6fx（2 ）设函数 当 时， ，求
13、实数 的取值范围()|21|gxR()3fxga【答案】 （1） （2 ）|3,【解析】 （1）当 时， .a()|fx解不等式 ，得 .|2|6x13x因此， 的解集为 .()f|（2 ）当 时，xR，()|2|12|fgax12|ax|a所以当 时， 等价于 . x()3fg|3当 时，等价于 ，无解.1a当 时，等价于 ，解得 .1a2a所以 的取值范围是 .2,)3设函数 .1fx（1 ）解不等式 ；2f（2 ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围 .8fxaxRa【答案】 （1） （2）,42,【解析】 （1）由 ，得 ，fx1x则 ，即2x2,解得 ，不等式 的解集为 . 1fx
14、1,（2 ） ， 1fxaaxa对任意 恒成 立，即 对任意 恒成立，382faxR3fxxR ，解得 或 ，142a实数 的取值范围是 . a,4已知 使不等式 成立xR1xt（1 ）求满足条件的实数 的集合 ；tT（2 ）若 ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值,mn3loglmntmn【答案】 （1） （2 ）|1Tt6【解析】 （1）令 则 ，1,1232,xfxx1fx由于 使不等式 成立，所以 .xRt|tTt（2 ）由（1 ）知， ，333logl2logl2mnmn从而 ，当且仅当 时取等号，2n又 ，当且仅当 时取等号，6mn所以 的最小值为 6.5已知函数 .|2|)(xa
15、xf（1 ）若 ，求不等式 的解集；4a6)(f（2 ）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围 .|3|)(xf 1,0a【答案】 （1） （2 ）),0,【解析】 （1）当 时， ，4a6(xf即 或 或 解得 或 ，2,46x,24,26,x0x6所以不等式 的解集为 .)(f ),60,(（2 ）原命题等价于 在 上恒成立，即 在 上恒|3|xf1xax3| 1,0成立，即 在 上恒成立，即 ，所以实数 的取值范围为 .ax1,00,6已知函数 ()|fx（1 ）解不等式 ；(4)8f（2 ）若 ， ，且 ，求证： |a|1b0a()|()bfaf【答案】 （1） （2 ）证明见解析|53
16、x或【解析】 （1）2,3,()4)|1|3|41,.xfxx当 时， ，解得 ；3x285当 时， 不成立；1()fx当 时， ，解得 3所以原不等式的 解集为 |5x或（2 ）要证 ，即证 ，()|()bfaf|1|ab因为 ， ，|1|所以 ，22222|()()(1)0bbab所以 ，故所证不等式成立|a7设 ()|1|fx（1 ）若 的解集为 ，求实数 的值26,2a（2 ）当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数axR(21)()73fxfm的取值范围m【答案】 （1） （2）7(,【解析】 （1）显然 ，当 时， 的解集为 ，则 ，0a()2fx13,a6，无解；当 时， 的解
17、集 ，则 ， ，解得32a()f3,a2，综上所述， 112a（2 ）当 时，令 ，易知 在()(1)|4|23|hxffxx()hx上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增，则当 时，(,)43,4(,)14取到最小值 ，由题意知， ，则实数 的取值范围是 hx7272m7(,28设函数 （ ） ， ()|1|fxa0a()2gx（1 ）当 时，求不等式 的解集；a()fxg（2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围()fxga【答案】 （1） （2 ）|03【解析】 （1）当 时，原不等式为a|1|2|,xx无解； 解得 ； 解得 ,24x1,2x01,42x23x综上，不等式的解集为 |3
18、（2 ）原不等式为 ，即 ，|2|1|2xax|210ax令 ，()|hx因为 ，所以0a53,21(),3,.2xaahxxa则 ，令 ，得 min()()12hx0a9已知 ， ，函数 的最小值为 2.0ab|)(bxxf（1 ）求 的值；（2 ）证明： 与 不可能同时成立.2b【答案】 （1） （ 2）见解析a【解析】 （1） ，0, .()|()|2fxxbaxbaba（2 ）证明： 且 ，由基本不等式得 ， ，,a221b假设 与 同时成立，则由 及 ，得 220同理， ， ，这与 矛盾，故 与 不可能同时成立.1ba1b2ab10已知实数 0， ，函数 的最大值为 3fxx（1 ）
19、求 的值；（2 ）设函数 2()gxab，若 a， ()gf，求 a的取值范围【答案】(1) 3ab (2) 13【解析】 （1） fxxxb， f的最大值为 ， ab.（2 ）当 xa时， 3fxxaxa， 则 ， g等价于 ma,3g成立， x图象的对称轴为 2x， x在 ,上为减函数， 的最大值为 2ab， 23a，即 20，解得 a或 1，又因为 所以 13 0,b11已知 函数 .,fxx（1 ）求不等式 的解集；6（2 ）若 的最小值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.fxn,ab2nab2【答案】 （1） （2 ） 的最小值为|498【解析】 （1）当 时， ；3xfx当 时， ，
20、3xf不等式 等价于 或6f1,46x3,26 ，或 13x .4原不等式的解集为 . |14x（2 ）由（1 ） ，得 则 的最小值为 4， ,3,2xffn ，变形得 ,8ab18ba ，0, ，当且仅当12121292558888bababbaa，即 时，取等号，3 的最小值为 .2ab9812设 1fxx（1 ）求 的解集；2（2 ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围1afx0ax【答案】 （1） （2 ）|03,2【解析】 （1）由 得fx解得20,20, 0,111 2,x xxxx或 或的解集为 02,2f|02x（2 ） ，当且仅当1113aaa时，取等号10a由
21、不等式 对任意实数 恒成立，可得 ，解得12afx0a13x或 ，故实数 的取值范围是 .32xx3,213已知函数 ， ， 的解集为 3fm00fx,2,（1 ）求 的值；m（2 ）若 ， 成立，求实数 的取值范围xR21fxtt【答案】 （1） （2）,【解析】 （1） ， ，3fxm30fxm， 或 ，又 的解集0m为 ,2,2（2 ） 等价于 ，31fxt2331xt令 4,321321,gxxx故 ，则有 ，即 ，解得 或 .max172g23t2310t12tt即实数的取值范围 .,14已知函数 213fxx（1 ）若 ，使得不等式 成立，求实数 的最小值 ；0R0fmM（2 ）在
22、（1 ）的条件下，若正数 满足 ，证明： ,ab31ba【答案】 （1）4 （2 ）见解析【解析】 （1）由题意得，不等式 有解，213x因为 ，34x所以只需 ，min2134mx所以实数 的最小值 .M（2 ）由（1 ）得 ，所以ab，当且仅331919326444ababb 3当 ，即 时等号成立 9a2b15已知函数 1fxaxR（1 ）当 时，求 的解集； 来a（2 ）若 的解集包含集合 ，求实数 的取值范围.21fx,12a【答案】 （1） （2 ）4|035,【解析】 （1）当 时， ，上述a1,212fxxfx不等式化为 或 或 解得 或,2x,2x,1,0x或1,2x1,43
23、或 或 ，所以原不等式的解集为 .0x1x434|03x（2 ） 的解集包含 当 时，不等式 恒成2f,12,12x21fx立，即 在 上恒成立， ，21xax,1212xax即 在 上恒成立，,aa,， 的取值范围是 .maxmin522,12a51,216已知函数 ， ()|fxR（1 ）解不等式 ；1x（2 ）若对于 ， ，有 ， ，求证： y1|3y1|2|6y()1fx【答案】 （1） （2）证明见解析(0,)【解析】 （1） ，即 ，解得 ，即解集为 1fx1xx02x(0,2)（2 ）证明： ()|()(2)|y5|2|36xy17 已知函数 1fxm，其中 0（1 ）当 时，解
24、不等式 4f；（2 ）若 ，且 0a，证明： 14fafR【答案】 （1） 2, （2）证明见解析【解析】 （1）当 m时，由 1fxx，由 4fx得，,44x或 或 或 或1,1,21xxx2,x（2 ）证明： 111fafamam ,1214.amafaf18 （ 1）已知 和 是任意非零实数，且满足 ，求实数 的最大值；ab2ba（2 ）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 121()4xkxk【答案】 （1）4 （2 ） ,6【解析】 （1） ，|2|4|ababa ，从而实数 的最大值为 4. 24（2 ）令,1,()21322,xhx xx , 若不等式 恒成立，则函数 的图象在
25、直线121()4xk()hx的上方，数形结合可得 .()4yk(,6k19已知函数 ， ；(23fx215)4gxmx（1 ）求不等式 的解集；)6（2 ）若对任意的 ， ，求 的取值范围 .1,x()xf【答案】 （1）不等式的解集为 （2 ） 的取值范围为3m1,【解析】 （1）原不等式等价于 或 或,()6x30,()6x0,(23)6,x解得 或 或 ，即不等式的解集为 .32x30211x（2 ） 当 时，易知成立：当 时， ，0x253()324m即 在 时恒成立.3214xm0x因为 ，所以当且仅当 时， 取到最小值 3，01234x故 ，即 .3当 时， ，1x253()2即
26、在 时恒成立；14m0x因为 ，所以当且仅当 时， 取到最小值 3，10x1234x故 ，即 ，32综上可知， 的取值范围为 .m1,20已知函数 .()|2|fxx（1 ）求不等式 的解集；0（2 ）若不等式 有解，求实数 的取值范围.|1|()3|2|mfxm【答案】 （1） （2 ）x或 ,64,【解析】 （1）不等式 ，即 ，()0f+10x即 ，两边平方化简得 ，2+x3解得 或 ，所以不等式 的解集为 .3()0fx13x或（2 ）不等式 有解，即 有解.1+32mfx12+4m设 ，则问题转化为 ，24gxingx而 ，145xx由 解得 或 ，所以 的取值范围是 .15m6m,64,
