1、第 1 页（共 20 页）2018 年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxR|1x5，Bx R|x2，则 AB 为（ ）A xR|1x2 BxR |x1 C xR|2x5 D xR|2x52 （5 分）设复数 z3+ i，且 iza+ bi（a，b R） ，则 a+b 等于（ ）A4 B2 C2 D43 （5 分）若向量 满足条件 3 与 共线，则 x的值为（ ）A2 B4 C2 D44 （5 分）已知命题 p，q， “p 为真”是“pq 为假”的（
2、）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）A B C D6 （5 分）已知曲线 f（x ） 在点（1，f（1） ）处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为（ ）A B C D7 （5 分）已知 x（ ，0） ，cos x ，则 tan2x（ ）A B C D8 （5 分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ）第 2 页（共 20 页）A B C2cm 3 D4cm 39 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ） （| ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，
3、则函数 f（x ）在 0， 上的最小值为（ ）A B C D10 （5 分）已知 m、n 是不重合直线， 、 是不重合平面，则下列命题若 、 则 ；若 m、n 、m 、n 则 ；若 、 则 ；若 、m 则 m；m、n 则 mn 中，真命题个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f （x）+f（x）1，f （0）4，则不等式exf（x） ex+3（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （0，+） B （，0）（3，+）C （，0）（0，+ ） D （3，+ ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）12
4、（5 分）若 f（x ） +a 是奇函数，则 a 第 3 页（共 20 页）13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 zx +y 的最小值为 14 （5 分）双曲线 C： 与抛物线 y22px（p0）相交于 A，B两点，直线 AB 恰好经过它们的公共焦点 F，则双曲线的离心率为 15 （5 分）已知 A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a） 21 上存在点 M，满足条件|MA|2| MO|，则实数 a 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n 2（
5、n 2N*） （1）求数列a n的通项公式；（2）求数列S n的前 n 项和 Tn17 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，D 为棱 BC 的中点，AB AC，BC ，求证：（1）A 1C平面 ADB1；（2）BC 1平面 ADB118 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（1）求角 C 的大小；（2）若 c2，求ABC 的面积的最大值19 （12 分）已知过点 A（0，1）的椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点分别为F1、F 2，B 为椭圆上的任意一点，且 |BF1|，|F 1F2|， |BF2|成等差数列
6、（1）求椭圆 C 的标准方程；第 4 页（共 20 页）（2）直线 l：y k（x+2）交椭圆于 P，Q 两点，若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外，求实数 k 的取值范围20 （12 分）已知函数 f（x ） ，g（x） 1（）求函数 f（x ）的单调区间；（）对一切 x（0，+） ，2f（x）g（x ）恒成立，求实数 m 的取值范围；（）证明：对一切 x（0，+） ，都有 lnx 成立四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程21 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴
7、的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参数）（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB | ，求直线的倾斜角 的值选修 4-5：不等式选讲22已知函数 f（x ）|x 3|+|x+m| （x R） （1）当 m1 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）若不等式 f（x ）5 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围第 5 页（共 20 页）2018 年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
8、符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxR|1x5，Bx R|x2，则 AB 为（ ）A xR|1x2 BxR |x1 C xR|2x5 D xR|2x5【分析】根据交集的定义，进行求解即可【解答】解：集合 AxR |1x5，Bx R|x2，ABxR|1x 2故选：A【点评】本题考查了根据交集的定义进行求解的问题，是基础题目2 （5 分）设复数 z3+ i，且 iza+ bi（a，b R） ，则 a+b 等于（ ）A4 B2 C2 D4【分析】直接利用复数的乘法运算法则以及复数相等化简求解即可【解答】解：复数 z3+ i，且 iza+ bi（a，b R） ，可得1+3ia +bi， 解得 a
9、1，b3，a+b2故选：C【点评】本题考查复数相等、复数的乘法运算，考查计算能力3 （5 分）若向量 满足条件 3 与 共线，则 x的值为（ ）A2 B4 C2 D4【分析】先利用平面向量运算法则求出 ，再由向量共线的条件能求出 x【解答】解：向量 ，3 （6，0）+（2，1）（4，1） ，3 与 共线， ，解得 x4第 6 页（共 20 页）故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用4 （5 分）已知命题 p，q， “p 为真”是“pq 为假”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题
10、真假判断的真值表，及充要条件的定义，可得结论【解答】解：若“p 为真” ，则 p 为假， “pq 为假” ，若“pq 为假” ，则可能 p 真 q 假，则“p 为真”不成立，故“p 为真”是“pq 为假”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查的知识是充要条件的判断，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键5 （5 分）已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）A B C D【分析】由 ，且 ，知 110，由此能求出向量 与向量 的夹角【解答】解： ， 0， ， ， 1 ，1 0，cos ， 故选：A第 7 页（共 20 页）【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题解题时
11、要认真审题，仔细解答6 （5 分）已知曲线 f（x ） 在点（1，f（1） ）处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为（ ）A B C D【分析】首先求出函数的导数，然后求出 f（1）1，进而求出 a 的值【解答】解：f（x ） ，曲线 f（x） 在点（1，f （1） ）处切线的斜率为 1，f（1） 1解得：a 故选：D【点评】本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系，比较容易，属于基础题7 （5 分）已知 x（ ，0） ，cos x ，则 tan2x（ ）A B C D【分析】由 cosx 的值及 x 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinx 的值，进而求出 tanx 的值，然后把所
12、求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将 tanx 的值代入即可求出值【解答】解：由 cosx ，x （ ，0） ，得到 sinx ，所以 tanx ，则 tan2x 故选：D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式学生求sinx 和 tanx 时注意利用 x 的范围判定其符合8 （5 分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体第 8 页（共 20 页）的体积是（ ）A B C2cm 3 D4cm 3【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正
13、方形，且边长为 2cm，高为 2cm 的四棱锥，如图，故 ，故选：B【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题9 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ） （| ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 f（x ）在 0， 上的最小值为（ ）A B C D【分析】由函数图象的平移得到 ，再由函数为第 9 页（共 20 页）奇函数及 的范围得到，求出 的值，则函数解析式可求，再由 x 的范围求得函数 f（x）在0， 上的最小值【解答】解：函数 f（x ）sin（2x+ ）图象向左平移 个单位得，由于函数图象关于原点对称
14、，函数为奇函数，又| ， ，得 ， ，由于 ，02x ， ，当 ，即 x0 时， 故选：A【点评】本题考查了函数 yAsin （ x+）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题10 （5 分）已知 m、n 是不重合直线， 、 是不重合平面，则下列命题若 、 则 ；若 m、n 、m 、n 则 ；若 、 则 ；若 、m 则 m；m、n 则 mn 中，真命题个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可【解答】解：垂直同一平面的两个平面不一定平行，故错误，若 m、n 、m 、n，则当 m，n 相交时
15、 ，当 m，n 不相交是， 不成立，故 错误， ；第 10 页（共 20 页）若 、 ，则 成立，故 正确；若 、m ，则 m 或 m；故错误；根据垂直于同一平面的两条直线平行可得若 m 、n，则 mn 成立，故正确故真命题有 2 个，故选：C【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f （x）+f（x）1，f （0）4，则不等式exf（x） ex+3（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （0，+） B （，0）（3，+）C （，0）（0，+ ） D （3，+ ）【分析】构造函数
16、 g（x）e xf（x）e x， （xR） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设 g（x）e xf（x）e x， （xR） ，则 g（x）e xf（x）+ exf（x）e xe xf（x）+f （x ）1 ，f（x）+f（x ）1，f（x）+f（x ）10，g（x）0，yg（x）在定义域上单调递增，e xf（x）e x+3，g（x）3，又g（0）e 0f（0）e 0413，g（x）g（0） ，x0故选：A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在
17、答题纸上）第 11 页（共 20 页）12 （5 分）若 f（x ） +a 是奇函数，则 a 【分析】由题意可得 f（x ）f（x）对于任意的 x0 都成立，代入已知函数可求 a的值【解答】解：f（x ） +a 是奇函数f（x） f（x ）对于任意的 x0 都成立 1故答案为：【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及基本运算，属于基础试题，一般在原点有意义时用原点处的函数值为 0 求参数，若在原点处函数无定义，则如本题解法由定义建立方程求参数13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 zx +y 的最小值为 2 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最小值
18、即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由 ，解得 B（1，1） ，由 zx +y 得：y x +z，显然直线过 B 时 z 最小，z 的最小值是 2，故答案为：2第 12 页（共 20 页）【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题14 （5 分）双曲线 C： 与抛物线 y22px（p0）相交于 A，B两点，直线 AB 恰好经过它们的公共焦点 F，则双曲线的离心率为 1+ 【分析】用 a，b，c 表示出 A，B 两点坐标，代入抛物线方程得出 a，b，c 的关系，从而可得离心率【解答】解：由 F 为公共焦点可知 c ，即 p2c ，抛物线与双曲线都关于 x
19、轴对称，A，B 两点关于 x 轴对称，直线 AB 的方程为 xc ，代入双曲线方程得 y ，即 A（c ， ） ，B（c， ） A，B 在抛物线上， 4c 2，又 b2c 2a 2，c 2a 22ac，即 e22e10，解得 e1+ 或 e1 （舍） 故答案为：1+ 【点评】本题考查了双曲线与抛物线的性质，属于中档题15 （5 分）已知 A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a） 21 上存在点 M，满足条件|MA|2| MO|，则实数 a 的取值范围为 【分析】求出 M 在圆心为 D（1，0） ，半径为 2 的圆上，根据点 M 在圆 C 上，可得圆C 与圆 D 有公共点，从而可得不
20、等式，解不等式，即可求 a 的取值范围【解答】解：设 M（x，y） ，第 13 页（共 20 页）A（3，0） ，圆 C：（x a1） 2+（y a） 21 上存在点 M，满足条件|MA|2|MO|， 2 ，即 x2+y22x 30，点 M 在圆心为 D（1，0） ，半径为 r 2 的圆上又点 M 在圆 C：（xa1） 2+（y a） 21 上，圆 C 与圆 D 有公共点，圆 C 的圆心 C（a+1 ， ） ，半径 r1，1|CD|3，1 2|a| 3，解得 或 ，实数 a 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两圆位置关系的
21、合理运用三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n 2（n 2N*） （1）求数列a n的通项公式；（2）求数列S n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）当 n1 时，求出 a12通过当 n2 时，a nS nS n1 ，得到递推关系式，说明数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式（2）求出 Sn2a n22 n+12，利用分项求和求解即可【解答】解：（1）当 n1 时，S 12a 12，即 a12a 12，解得 a12当 n2 时，a nS nS n1 （
22、2a n2）（2a n1 2）2a n2a n1 ，即 an2a n1 ，所以数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列所以：a n22 n1 2 n，n N第 14 页（共 20 页）（2）因为 Sn2a n22 n+12，所以 TnS 1+S2+Sn2 2+23+2n+12n 2n2 n+242n【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力17 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，D 为棱 BC 的中点，AB AC，BC ，求证：（1）A 1C平面 ADB1；（2）BC 1平面 ADB1【分析】 （1）
23、如图，连接 A1B 交 AB1 于 M，可得 DMA 1C，即可证得 A1C平面ADB1，（2）三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，可得 ADBB 1，即可得ADBC 1，在矩形 BCC1B1 中，由BDB 1B 1BC1，可得 即可得 BC1DB 1，BC 1平面 ADB1【解答】解：（1）证明：如图，连接 A1B 交 AB1 于 M，则 M 为 A1B 中点，连接 DM，D 为棱 BC 的中点，DMA 1C，又 A1C平面 ADB1，DM平面 ADB1A 1C平面 ADB1，（2）三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，可得 ADBB 1D 为棱
24、 BC 的中点，ABAC，AD 面 BCC1B1，即 ADBC 1，在矩形 BCC1B1 中，BC ，第 15 页（共 20 页）DBB 1BB 1C1BDB 1B 1BC1，BB 1DBC 1B1，即BC 1DB 1，且 ADDB 1 D，BC 1平面 ADB1【点评】本题考查了空间线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（1）求角 C 的大小；（2）若 c2，求ABC 的面积的最大值【分析】 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ，结合 sinA0，可求 ，结合范围 C（
25、0， ） ，可求 C 的值（2）由余弦定理，基本不等式可求 ，当且仅当 ab 时等号成立，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1） ，由正弦定理可得： ，又sinBsin（A+C ）sinAcos C+cosAsinC， ，sinA0，解得： ，C（0， ） ， 第 16 页（共 20 页）（2）c2， ，由余弦定理可得： ，即： ，当且仅当 ab 时等号成立， ，当且仅当 ab 时等号成立，即ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中
26、档题19 （12 分）已知过点 A（0，1）的椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点分别为F1、F 2，B 为椭圆上的任意一点，且 |BF1|，|F 1F2|， |BF2|成等差数列（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l：y k（x+2）交椭圆于 P，Q 两点，若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外，求实数 k 的取值范围【分析】 （1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出 a、c 的关系，再根据椭圆 C 过点 A，求出 a、b 的值，即可写出椭圆 C 的标准方程；（2）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2， y2） ，根据题意知 x12，y 10；联立方程消去 y，由方程的根与系数关
27、系求得 x2、y 2，由点 A 在以 PQ 为直径的圆外，得PAQ 为锐角， 0；由此列不等式求出 k 的取值范围【解答】解：（1） |BF1|，|F 1F2|， |BF2|成等差数列，2| F1F2| |BF1|+ |BF2| （| BF1|+|BF2|） ，由椭圆定义得 22c 2a，c a；又椭圆 C： + 1（ab0）过点 A（0，1） ，b1；第 17 页（共 20 页）c 2a 2b 2a 21 a2，解得 a2，c ；椭圆 C 的标准方程为 +y21；（2）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2， y2）联立方程 ，消去 y 得：（1+4k 2）x 2+16k2x+（16k 2
28、4）0；依题意直线 l：y k（x+2）恒过点（2，0） ，此点为椭圆的左顶点，x 12，y 10，由方程的根与系数关系可得，x 1+x2 ；可得 y1+y2k（x 1+2）+k （x 2+2）k（x 1+x2）+4k； 由，解得 x2 ，y 2 ；由点 A 在以 PQ 为直径的圆外，得 PAQ 为锐角，即 0；由 （2，1） ， （x 2，y 21） ， 2x 2y 2+10；即 + 10，整理得，20k 24k 30，解得：k 或 k ，实数 k 的取值范围是 k 或 k 【点评】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，
29、数形结合思想，化归与转化思想，训练了利用平面向量数量积求解几何问题，是中档题20 （12 分）已知函数 f（x ） ，g（x） 1（）求函数 f（x ）的单调区间；第 18 页（共 20 页）（）对一切 x（0，+） ，2f（x）g（x ）恒成立，求实数 m 的取值范围；（）证明：对一切 x（0，+） ，都有 lnx 成立【分析】 （）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题可化为 对一切 x（0，+）恒成立，令 ，根据函数的单调性求出 h（x）的最小值，从而求出 m 的范围即可；（）问题等价于 ，即证 ，令 ，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（） ，得由 f（
30、x）0，得 0xef（x）的递增区间是（ 0，e） ，递减区间是（e，+）（4 分）（）对一切 x（0，+） ，2f（x）g（x ）恒成立，可化为 对一切 x（0，+）恒成立令 ，当 x（0，1）时 h（x）0，即 h（x）在（0，1）递减当 x（1，+）时 h（x ）0，即 h（x）在（1，+）递增h（x） minh（1）4，m4，即实数 m 的取值范围是（，4（8 分）（）证明： 等价于 ，即证由（）知 ， （当 xe 时取等号）令 ，则 ，易知 （x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+ ）递增 （当 x1 时取等号）f（x）（x ）对一切 x（0，+）都成立第 19 页（共 20 页）则对
31、一切 x（ 0，+） ，都有 成立（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程21 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 是参数）（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB | ，求直线的倾斜角 的值【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标
32、 互化的化式，求出曲线 C 的直角坐标方程；（2）先将直 l 的参数方程是 （t 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数 t1，t 2 的关系式，利用|AB| |t 1t 2|，得到 的三角方程，解方程得到 的值，要注意角 范围【解答】解：（1）cos x，siny ， 2x 2+y2，曲线 C 的极坐标方程是 4cos 可化为：2 4cos，x 2+y24x，（x2） 2+y24（2）将 代入圆的方程（x2） 2+y24 得：（tcos1） 2+（tsin ） 24，化简得 t22tcos30设 A、B 两点对
33、应的参数分别为 t1、t 2，则 ，第 20 页（共 20 页）|AB| |t1t 2| ，|AB| ， cos 0 ，） ， 或 直线的倾斜角 或 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题选修 4-5：不等式选讲22已知函数 f（x ）|x 3|+|x+m| （x R） （1）当 m1 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）若不等式 f（x ）5 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；（2）求出 f（x ）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可【解答】解：（1）原不等式等价于 ，或 或故不等式的解集是x| x2 或 x4 ；（2）|x3|+|x +m| （x 3 ）（x +m）| m+3|，f（x） min|3+m| ，|m +3|5，m8，2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/4 10:34:45；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463
