1、第 1 页（共 22 页）2018 年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）集合 AxN| x2x 20 的真子集个数为（ ）A1 B2 C3 D42 （5 分）若为 a 实数，且 3+i，则 a（ ）A4 B3 C3 D43 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a（ ）A0 B2 C4 D144 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）第
2、 2 页（共 22 页）A1+ B1+2 C2+ D25 （5 分）已知命题“xR，2x 2+（a1）x+ 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，3） C （3，+） D （3，1）6 （5 分）已知 sin2 ，则 cos2（ + ）（ ）A B C D7 （5 分）设向量 ， 满足| + | ，| | ，则 （ ）A1 B2 C3 D58 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+y 的最大值为（ ）A3 B4 C2 D59 （5 分）由曲线 xy1 与直线 yx，y 3 所围成的封闭图形面积为（ ）A2ln3 Bln3 C2 D4ln310 （5 分
3、）设 alog 25，b log415，c2 0.5，则 a，b， c 大小关系为（ ）Aacb Babc Ccba Dc ab11 （5 分）在等差数列a n中，a 10，a 2016+a20170，a 2016a20170，则使前 n 项和Sn0 成立的最大自然数 n 的值为（ ）A2016 B2017 C4031 D403212 （5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（ ）第 3 页（共 22 页）A （，+ ） B （2，+） C （0，+） D （1，+）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）等差数列a n，公
4、差 d2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则 an的前 n 项和 Sn等于 14 （5 分）直线 ykx+3 被圆（x2） 2+（y3） 24 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为 15 （5 分）函数 ylog a（x+4）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny+10 上，其中 m， n 均大于 0，则 的最小值为 16 （5 分）在锐角ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，ABC 的面积S2，且满足 acosBb（1+cos A） ，则（c+ab） （c+ba）的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 f（x ）在区间 上的最值18 （12 分）已知函数 f（x ）|2x+1| x1|（1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x） 有解，求 a 的取值范围19 （10 分）证明： 不是有理数20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn+14a n+2，a 11（1）b na n+12a n，求证数列 bn是等比数列；（2）设 ，求证数列c n是等差数列；（3）求数列a n的通项公式及前 n 项和 Sn21 （12 分）如图，已知多
6、面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，EA底面ABCD， FDEA，且 （1）记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与 CF 所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程（2）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值第 4 页（共 22 页）22 （12 分）设函数（1）当 x（0 ，+） ， 恒成立，求实数 a 的取值范围（2）设 g（x）f（x）x 在1，e 2上有两个极值点 x1，x 2（A）求实数 a 的取值范围；（B）求证： 第 5 页（共 22 页）2018 年辽宁省鞍山一中高考
7、数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）集合 AxN| x2x 20 的真子集个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】求出集合 A0，1，由此能求出集合 AxN|x 2x20的真子集个数【解答】解：集合 AxN |x2x 20 xN|1x20，1 ，集合 A xN|x2x 20的真子集个数为 2213故选：C【点评】本题考查集合的子集个数求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用2 （5 分）若为 a 实数，且 3+i，则 a（ ）A4 B3 C3 D4
8、【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由 ，得 2+ai（1+i ） （3+ i）2+4i，则 a4，故选：D【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础3 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a（ ）第 6 页（共 22 页）A0 B2 C4 D14【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 ab2 时不满足条件 ab，输出 a 的值为 2【解答】解：模拟执行程序框图，可得a14，b18满足条件 ab，不满足条件 ab，b4满足条件 ab，满足条件 a
9、b，a10满足条件 ab，满足条件 ab，a6满足条件 ab，满足条件 ab，a2满足条件 ab，不满足条件 ab，b2不满足条件 ab，输出 a 的值为 2故选：B【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题4 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）第 7 页（共 22 页）A1+ B1+2 C2+ D2【分析】判断得出三棱锥 O ABC，OE底面 ABC，EAED 1，OE1，ABBC，ABBC，可判断；OABOBC 的直角三角形，运用面积求解即可【解答】解：第 8 页（共 22 页）三棱锥 OABC，OE底面 ABC，EAED1，OE1，ABBCABBC，
10、可判断；OABOBC 的直角三角形，SOAC S ABC 1，SOAB SOBC 2该四面体的表面积：2 ，故选：C【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力5 （5 分）已知命题“xR，2x 2+（a1）x+ 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，3） C （3，+） D （3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题 p 与p 真假相反，得到 2x2+（a1）x+ 0恒成立，令判别式小于 0，求出 a 的范围【解答】解：“xR，2x 2+（a1）x+ 0”的否定为“xR，2x 2+（a1）x+ 0“x R，2x 2
11、+（a1）x+ 0”为假命题“xR，2x 2+（a1）x+ 0“为真命题即 2x2+（a1）x + 0 恒成立（a1） 242 0解得1a3故选：B【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”与“”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑6 （5 分）已知 sin2 ，则 cos2（ + ）（ ）第 9 页（共 22 页）A B C D【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：sin2 ，cos 2（+ ） 1+cos（2 + ） （1sin2 ） （1 ） 故选：A【点评
12、】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键7 （5 分）设向量 ， 满足| + | ，| | ，则 （ ）A1 B2 C3 D5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：| + | ，| | ，分别平方得 +2 + 10， 2 + 6，两式相减得 4 1064，即 1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础8 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+y 的最大值为（ ）A3 B4 C2 D5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答
13、案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z3x+y 为 y3x +z，第 10 页（共 22 页）由图可知，当直线 y3x +z 过 B（1，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 有最大值为 31+14故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题9 （5 分）由曲线 xy1 与直线 yx，y 3 所围成的封闭图形面积为（ ）A2ln3 Bln3 C2 D4ln3【分析】方法一：求得交点坐标，根据定积分的几何意义，对 x 进行积分，分段即可求得封闭图形的面积；方法二：求得交点坐标，根据定积分的几何意义，对 y 进行积分，即可求得封闭图形的面
14、积【解答】解：方法一：由 xy1，y3 可得交点坐标为（ ，3） ，由 xy1，yx 可得交点坐标为（1，1） ，由 yx，y3 可得交点坐标为（ 3，3） ，由曲线 xy1，直线 yx ， y3 所围成的平面图形的面积为（3 ）dx+ （3x）dx （3xlnx） +（3x x2） ，（31ln3）+（9 3+ ）4ln 3故选：D方法二：由 xy1，y3 可得交点坐标为（ ，3） ，由 xy1，yx 可得交点坐标为（ 1，1） ，由 yx，y3 可得交点坐标为（ 3，3） ，对 y 积分，则 S （y ）dy （ y2lny） ln 3（ 0）4ln3，故选：D第 11 页（共 22 页）
15、【点评】本题考查定积分的几何运算，定积分的运算性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题10 （5 分）设 alog 25，b log415，c2 0.5，则 a，b， c 大小关系为（ ）Aacb Babc Ccba Dc ab【分析】利用对数函数的单调性直接求解【解答】解：alog 25log 242，2log 416blog 415log 481.5，c2 0.5 ，a，b，c 大小关系为 abc故选：B【点评】本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用11 （5 分）在等差数列a n中，a 10，a 2016+a20170，a 2016a2
16、0170，则使前 n 项和Sn0 成立的最大自然数 n 的值为（ ）A2016 B2017 C4031 D4032【分析】等差数列a n中，a 10，a 2016+a20170，a 2016a20170，可得等差数列 an是单调递减数列，d0，因此 a20160，a 20170，利用求和公式可得：S40320，S 40330，即可得出结论【解答】解：等差数列a n中，a 10，a 2016+a20170，a 2016a20170，等差数列a n是单调递减数列，d0，因此 a20160， a20170，S 4032 0，第 12 页（共 22 页）S4033 4033a 20170，使前 n 项
17、和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 4032故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（ ）A （，+ ） B （2，+） C （0，+） D （1，+）【分析】转化不等式为 ，利用 x 是正数，通过函数的单调性，求出 a 的范围即可【解答】解：因为 2x（xa）1，所以 ，函数 y 是增函数，x 0，所以 y1，即 a 1，所以 a 的取值范围是（1，+） 故选：D【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力二、
18、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）等差数列a n，公差 d2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则 an的前 n 项和 Sn等于 n 2+n 【分析】直接利用等差数列以及等比数列求出等差数列的首项然后求解数列的 Sn【解答】解：等差数列a n，公差 d2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，所以（a 4） 2a 2a8，可得（a 1+6） 2（a 1+2） （a 1+14） ，解得 a12则a n的前 n 项和 Sn2n+ n 2+n故答案为：n 2+n【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思
19、维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点14 （5 分）直线 ykx+3 被圆（x2） 2+（y3） 24 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为 或 第 13 页（共 22 页）【分析】求出圆心到直线 ykx+3 的距离 d ，由直线 ykx+3 被圆（x2）2+（y3） 24 截得的弦长为 ，得 2 2 2 ，由此能求出直线的倾斜角【解答】解：圆（x2） 2+（y3） 24 的圆心 C（2，3） ，半径 r2，圆心到直线 ykx+3 的距离 d ，直线 ykx+3 被圆（x2） 2+（y3） 24 截得的弦长为 ，2 2 2 ，解得 k ，直线的倾斜角为 或 故答案为： 或
20、【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15 （5 分）函数 ylog a（x+4）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny+10 上，其中 m， n 均大于 0，则 的最小值为 5+2 【分析】函数 ylog a（x+4）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A（3，1） ，进而可得 3m+n1，结合基本不等式可得 的最小值【解答】解：函数 ylog a（x+4）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，当 x+41 时，即 x3，y 1，则 A（3，1） ，3mn+1
21、0，3m+ n1， （3m+n） （ ）5+ + 5+2 5+2 ，当且仅当 n m时取等号，故最小值为 5+2 ，故答案为：第 14 页（共 22 页）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，基本不等式的应用，难度中档16 （5 分）在锐角ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，ABC 的面积S2，且满足 acosBb（1+cos A） ，则（c+ab） （c+ba）的取值范围是 【分析】由题意利用正弦定理求得 sin（AB ）sinB，可得A2B ，B （0， ） ，再根据 A+B3B （ ， ） ，可得 C 的范围，进而得到 的范围把要求的式子利用
22、余弦定理、二倍角公式化为 8tan ，从而求得它的范围【解答】解：在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，满足acosBb（1+cos A） ，sinAcosB sinB+sinBcosA，sin（AB）sin B，ABB，即 A2B ，可得：B （0， ） ，可得：A+B3B（ ， ） ，故 C（ ， ） ， （ ， ） ，tanC 1，可得：1tan 1+ ABC 的面积 S absinC2，ab ，则（c+ab） （c +ba）c 2（ab）2c 2a 2b 2+2ab2abcosC+2ab2ab（1cos C） （1cosC） 8 8tan （8 8，8） 故答案
23、为： 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和公式，二倍角公式的应用，属于中档题第 15 页（共 22 页）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 f（x ）在区间 上的最值【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程（2）直接利用单调性求出结果【解答】解：（1）函数 sin（2x ）2sin（x）cos（x ） sin（2x ）sin（2x ） sin（2x
24、 ）+cos2x sin2x cos2x +cos2x sin2x cos2xsin（2x ） ，令： ，解得： 函数 f（x）的最小正周期为 ，对称轴方程为： （2） ， 因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以，当 时，f（x ）取最大值 1又 ，当 时，f（x ）取最小值 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应第 16 页（共 22 页）用18 （12 分）已知函数 f（x ）|2x+1| x1|（1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x） 有解，求 a 的取值范围【分析】 （1）将 f（x ）写成分段函数式，讨
25、论 x 的范围，解对应不等式，从而求出不等式的解集；（）关于 x 的不等式 f（x）a 有解，等价于 f（x） mina ，利用函数的单调性求得 f（x）的最小值，解不等式即可得到所求【解答】解：（1）函数 f（x）|2x+1| x1| ，当 x1 时，不等式化为 x+22，解得 x0，可得 x；当 x1 时，不等式化为 3x2，解得 x ，可得 x ；当 x 时，不等式化为x22，解得 x4，可得 4x ；综上可得，原不等式的解集为（4， ） ；（2）关于 x 的不等式 f（x）a 有解，即为：f（x） mina ，由 x1 时，x+23； x1 时， 3x 3：x 时，x 2 可得 f（x
26、） min ，即有 a ，解得1a3；所以 a 的取值范围是1，3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想求函数的最值问题，是中档题第 17 页（共 22 页）19 （10 分）证明： 不是有理数【分析】假设 为有理数，通过有理数的性质，推出矛盾的结论，即可得到结果【解答】证明：假设 为有理数那么存在两个互质的正整数 p，q，使得： ，于是 ，两边平方得 p22q 2由 2q2 是偶数，可得 p2 是偶数而只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数因此可设 p2s，s 是正整数，代入上式，得：4s 22q 2，即 q22s 2所以 q 也是偶数，这样 p，q 都是偶数，
27、不互质，这与假设 p，q 互质矛盾因此 不是有理数【点评】本题考查反证法证明问题的方法，注意反设，以及合理的推导过程，考查计算能力20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn+14a n+2，a 11（1）b na n+12a n，求证数列 bn是等比数列；（2）设 ，求证数列c n是等差数列；（3）求数列a n的通项公式及前 n 项和 Sn【分析】 （1）由已知数列递推式可得 Sn+24a n+1+2，与原递推式联立可得an+22a n+12（a n+12a n） ，即可证明数列 bn是等比数列；（2）由（1）得 ，可得 ，两边同时除以 2n+1 即可证得数列c n是等差
28、数列；（3）由（2）求出数列c n的通项公式，可得数列 an的通项公式，结合已知递推式可得数列a n的前 n 项和 Sn【解答】 （1）证明：由题意，S n+14a n+2，S n+24a n+1+2，两式相减，得 Sn+2S n+14（a n+1a n）a n+24a n+14a n，a n+22a n+12（a n+12a n） ，b na n+12a n，b n+12b n，又由题设，得 1+a24+2 6，即 a25，b 1a 22a 13，第 18 页（共 22 页）b n是首项为 3，公比为 2 的等比数列；（2）证明：由（1）得 ， ， ，即 数列c n是首项为 ，公差为 的等差
29、数列；（3）解：由（2）得， ，即 ， 则 Sn4a n1 +2（3n4）2 n1 +2【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，是中档题21 （12 分）如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，EA底面ABCD， FDEA，且 （1）记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与 CF 所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程（2）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值【分析】 （1）取线段 CD 的中点，连结 KQ，直线 KQ 即为所求写出余弦值为 ，（2）以
30、 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，AE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，求出平面 ECF 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：（1）取线段 CD 的中点，连结 KQ，直线 KQ 即为所求第 19 页（共 22 页）余弦值为 ，如图所示：（2）以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，AE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图由已知可得 A（0，0，0） ，E（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，F（0，2， 1） ， ， ，设平面 ECF 的法向量为 ，得 ，取 y1
31、，得平面 ECF 的一个法向量为 ，设直线 EB 与平面 ECF 所成的角的正弦值为： 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量数量积的应用，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力22 （12 分）设函数第 20 页（共 22 页）（1）当 x（0 ，+） ， 恒成立，求实数 a 的取值范围（2）设 g（x）f（x）x 在1，e 2上有两个极值点 x1，x 2（A）求实数 a 的取值范围；（B）求证： 【分析】 （1）转化不等式为 令 ，求出通过当 a0 时， 当 0a2 时， 当 a2 时，当 a2 时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最值，即可得到 a 的
32、范围；（2）化简 ，x1 ，e 2取得导函数 g（x）lnxax通过求解，（A）利用 当 时， 当 a1 时，当 时，判断函数的单调性，求解最值，得到 a 的范围；（B）证明：由已知 lnx1ax 10，lnx 2ax 20，推出 lnx1lnx 2a（x 1x 2） 不妨设x1x 2，则 ，令 ， （0x 1） 利用函数的导数判断单调性，转化推出结果即可【解答】解：（1） ，且 x0， 令 ，则 当 a 0 时， U（x ）0，U （x）在（1，+）上为单调递增函数，x1 时，U（x）U（1）0，不合题意当 0 a2 时， 时，U（x）0，U （x）在 上为单调递增函数， ，U（x）U （1
33、）0，不合题意当 a 2 时， ，U（x）0，U （x）在 上为单调递减函数 时，U（x）U （1）0，不合题意第 21 页（共 22 页）当 a 2 时， x（0，1） ， U（x）0，U （x）在（0，1）上为单调递增函数x（1，+） ，U（x）0，U （x）在（1，+）上为单调递减函数U（x）0，符合题意综上，a2（2） ，x1 ，e 2g（x）lnx ax令 h（x）g（x ） ，则由已知 h（x）0 在（1，e 2）上有两个不等的实根（A）当 时，h（x）0，h（x）在（1，e 2）上为单调递增函数，不合题意当 a 1 时， h（x）0，h（x）在（1，e 2）上为单调递减函数，不合
34、题意当 时， ，h（x）0， ，h（x）0，所以，h（1）0， ，h（e 2）0，解得 （B）证明：由已知 lnx1ax 10，lnx 2ax 20，lnx 1lnx 2a（x 1x 2） 不妨设 x1x 2，则 ，则 令 ， （0x1） 则 ，G （x）在（0，1）上为单调递增函数，即 ，第 22 页（共 22 页） ， ， ，由（A） ，ae1，2ae2， 【点评】本题考查函数与导数的应用，考查方式讨论，转化思想的应用，二次求导，判断单调性函数的最值，难度比较大声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/4 10:34:24；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463
