1、第 1 页（共 23 页）2018 年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 A1，2，3，则集合 A 的子集个数是（ ）A6 B7 C8 D92 （5 分）复数 zi（1i） ，则|z|（ ）A1 B C2 D43 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A12 B24 C36 D724 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S 21，S 45，则 S6（ ）A9 B21 C25 D63
2、5 （5 分）某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布 N（500，5 2） 现从该零件的生产线上随机抽取 20000 件零件，其中尺寸在（500，505）内的零件估计有（ ）（附：若随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（X+）0.6827，P（2X +2）0.9545A6827 个 B9545 个 C13654 个 D19090 个6 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在（，0）上单调递增的是（ ）Af（x）x 2 Bf（x ）2 |x|第 2 页（共 23 页）C D7 （5 分）双曲线 的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，P为双曲线 C 右支上的一点，若 ，
3、则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D8 （5 分）下面四个命题：p1：命题“nN，n 22 n”的否定是 “ ”；p2：向量 ，则 mn 是 的充分且必要条件；p3：“在ABC 中，若 AB，则“sinAsin B”的逆否命题是 “在ABC 中，若sinAsinB，则“AB” ；p4：若“pq”是假命题，则 p 是假命题其中为真命题的是（ ）Ap 1，p 2 Bp 2，p 3 Cp 2，p 4 Dp 1，p 39 （5 分）设椭圆 的左焦点为 F，直线 l：ykx（k 0）与椭圆 C 交于A，B 两点，则 AFB 周长的取值范围是（ ）A （2，4） B C （6，8） D （8，1
4、2）10 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x，y）（0x 1，0 y1） ；若卡片上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 m 估计 的值假如本次试验的统计结果是 m113，那么可以估计 的值约为（ ）A B C D11 （5 分）已知 sinx+cosxa，x0 ，2 ） ，若 0a1，则 x 的取值范围是（ ）A BC D12 （5 分）已知 f（x ）是定义在（，
5、+）上的函数，f （x ）为 f（x）的导函数，且第 3 页（共 23 页）满足 f（x）+（x1）f （x ） 0，则下列结论中正确的是（ ）Af（x）0 恒成立Bf（x）0 恒成立Cf（1）0D当 x（，1）时，f（x）0；当 x（1，+）时，f （x ）0二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）某班共有 36 人，编号分别为 1，2，3，36现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 14 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 15 （5 分）已知圆锥的底面直径为 ，母线
6、长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若a11，a 22，a 3n2n2a n，a 3n+1a n+1，a 3n+2a nn，则 S60 （用数字作答） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中， ，D 是 BC 边上的一点（1）若 ，求 CD 的长；（2）若B120，求ABC 周长的取值范围第 4 页（共 23 页）18 （12 分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年
7、龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位） ；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在40，45）内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC 和 AA 1C 均是边长为 2 的等边三角形，点 O 为 AC 中点，平面 AA1C1C平面 ABC（1）证明：A 1O平面 ABC；（2）求直
8、线 AB 与平面 A1BC1 所成角的正弦值20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，点 M 的坐标为（6，4） ，点 N在抛物线 C 上，且满足 ， （O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程；第 5 页（共 23 页）（2）过点 M 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线 l1、l 2，且 l1 与抛物线 C 交于 A，B两点，l 2 与抛物线 C 交于 D， E 两点，线段 AB，DE 的中点分别为 G，H ，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标21 （12 分）已知函数/ （1）当 a1 时，解不等式 f（x ）0；（2） ）若 f（x）在 内有两个不同的
9、两点，求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 经过点 P（1，1） ，斜率为 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点（1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）求|PA |PB| 的值选修 4-5：不等式选讲23关于 x 的不等式 的解集为 R（1）求实数 m 的值；（2）若 a，b，c0，且 a+b+cm ，求证： 第 6 页（共 23 页）2018 年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）参考
10、答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 A1，2，3，则集合 A 的子集个数是（ ）A6 B7 C8 D9【分析】根据排列组合知识或直接逐一写出计算【解答】解：，1 ，2， 3，1 ，2，1 ，3，2 ， 3，1，2，3，共 8 个故选：C【点评】本题主要考查 子集 概念，属于基础知识，基本概念的考查2 （5 分）复数 zi（1i） ，则|z|（ ）A1 B C2 D4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：zi（1i）1+i，|z| 故选：B【点
11、评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）第 7 页（共 23 页）A12 B24 C36 D72【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，是一个以正视图为底面的三棱柱，底面是直角边长为：4，3，棱柱的高为 6，所以几何体的体积为： 36故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状4 （5 分）设等比数列a n
12、的前 n 项和为 Sn，S 21，S 45，则 S6（ ）A9 B21 C25 D63【分析】由等比数列的性质结合已知列关于 S6 的方程求解【解答】解：数列a n为等比数列，且 S21，S 4 5，S 2，S 4S 2，S 6S 4 构成等比数列，即1，4，S 6+5 构成等比数列，则（4） 2（S 6+5） ，得 S621故选：B【点评】本题考查等比数列的前 n 项和，考查等比数列的性质，是基础的计算题5 （5 分）某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布 N（500，5 2） 现从该零件的生产线上随机抽取 20000 件零件，其中尺寸在（500，505）内的零件估计有（ ）（
13、附：若随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（X+）0.6827，P（2X +2）0.9545A6827 个 B9545 个 C13654 个 D19090 个【分析】其中尺寸在（500，505）内的零件 X 属于（，+） ，即可得出第 8 页（共 23 页）【解答】解：其中尺寸在（500，505）内的零件估计 0.6827200006827故选：A【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在（，0）上单调递增的是（ ）Af（x）x 2 Bf（x ）2 |x|C D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶
14、性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，f（x）x 2，f（x）f（x ） ，为偶函数，在区间（，0）为减函数，不符合题意；对于 B，f（x）2 |x|，f（x）f（x ） ，为偶函数，当 x0 时，f（x）2 |x|2 x （） x，在区间（，0）为减函数，不符合题意；对于 C，f（x ）log 2 ， f（x）f （x） ，为偶函数，当 x0 时，f（x）log 2 log 2（ ）log 2（x ） ，在区间（，0）为增函数，符合题意；对于 D，f（x）| |，f（x ）f（x） ，不是偶函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的判定
15、，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性7 （5 分）双曲线 的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，P为双曲线 C 右支上的一点，若 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D【分析】利用左焦点为 F（c，0） ，点 B（0，b） ，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点P，确定 P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率第 9 页（共 23 页）【解答】解：设 P（x ，y ） ，左焦点为 F（c ，0） ，点 B（0，b） ，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 P， ，xc，y2b ，代入双曲线方程，可得 1，e 故选：D【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利
16、用向量知识确定 P 的坐标是关键8 （5 分）下面四个命题：p1：命题“nN，n 22 n”的否定是 “ ”；p2：向量 ，则 mn 是 的充分且必要条件；p3：“在ABC 中，若 AB，则“sinAsin B”的逆否命题是 “在ABC 中，若sinAsinB，则“AB” ；p4：若“pq”是假命题，则 p 是假命题其中为真命题的是（ ）Ap 1，p 2 Bp 2，p 3 Cp 2，p 4 Dp 1，p 3【分析】直接写出全程命题的否定判断 A；由向量垂直的坐标运算结合充分必要条件的判定方法判断 B；写出原命题的逆否命题判断 C；由复合命题的真假判断判断 D【解答】解：p 1：命题“nN ，n
17、 22 n”的否定是“x 0N， ”，故 p1 为假命题；p2：向量 ，由 m11n0 mn，则 mn 是的充分且必要条件，故 p2 是真命题；p3：“在ABC 中，若 AB，则“sinAsin B”的逆否命题是 “在ABC 中，若sinAsinB，则“AB” ，故 p3 是真命题；p4：若“pq”是假命题，则 p、q 中至少一个是假命题，故 p4 是假命题其中为真命题的是 p2，p 3第 10 页（共 23 页）故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题9 （5 分）设椭圆 的左焦点为 F，直线 l：ykx（k 0）与椭圆 C
18、 交于A，B 两点，则 AFB 周长的取值范围是（ ）A （2，4） B C （6，8） D （8，12）【分析】画出图形，利用椭圆的定义，转化求解AFB 周长的取值范围，【解答】解：椭圆 的左焦点为 F（ ，0） ，右焦点 F2（ ，0） ，直线 l：ykx（ k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，连结 BF2，则 AFBF 2，AB2OB，由一的定义可知：BF+BF 22a4，OB（1，2）则AFB 周长的取值范围是（6，8） 故选：C【点评】本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用10 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著
19、名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x，y）（0x 1，0 y1） ；若卡片上的 x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为 m；根据统计数 m 估计 的值假如本次试验的统计结果是 m113，那么可以估计 的值约为（ ）A B C D【分析】500 对都小于 l 的正实数对（ x，y）满足 ，面积为 1，两个数能与 1第 11 页（共 23 页）构成锐角三角形三边的数对（x，y） ，满足 x2+y21 且 ，x +y1，面积为 1，由此能估计 的值【解答】解：由
20、题意，500 对都小于 l 的正实数对（x ，y）满足 ，面积为 1，两个数能与 1 构成锐角三角形三边的数对（x，y） ，满足 x2+y21 且 ，x+y1，面积为 1 ，因为统计两数能与 l 构成锐角三角形三边的数对（ x，y） 的个数 m113，所以 1 ，所以 故选：A【点评】本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11 （5 分）已知 sinx+cosxa，x0 ，2 ） ，若 0a1，则 x 的取值范围是（ ）A BC D【分析】由已知利用辅助角公式化积，结合 0a1 转化为三角不等式求解【解答】解：asinx
21、+cosx ，0a1，0 1，即 0sin（x+ ） ，2k 或 ，kZ 即 或 ，kZx0， 2） ，x ，故选：D第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角不等式的解法，是中档题12 （5 分）已知 f（x ）是定义在（，+）上的函数，f （x ）为 f（x）的导函数，且满足 f（x ）+ （x 1）f （ x）0，则下列结论中正确的是（ ）Af（x）0 恒成立Bf（x）0 恒成立Cf（1）0D当 x（，1）时，f（x）0；当 x（1，+）时，f （x ）0【分析】构造函数 g（x）（x1）f （x） ，求函数的导数，判断函数的单调性，结合不等式的关系进行判断
22、即可【解答】解：由题意设 g（x）（x1）f （x） ，则 g（x）f（x）+（x1）f （x） ，f（x）+（x1）f （x ）0 ，g（x）在（，+）上为增函数，当 x1 时，g（1）0，即当 x1 时，g（x ）g（1）0，即（x 1）f（x）0，得 f（x）0，当 x1 时，g（x ）g（1）0，即（x 1）f（x）0，得 f（x）0，f（x）+（x1）f （x ）0f（1）+（1 1）f （1） 0，即 f（1）0，综上 f（x）0 恒成立，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，判断函数的单调性以及利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键二、填空题（每题 5
23、 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）某班共有 36 人，编号分别为 1，2，3，36现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 21 【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可【解答】解：样本抽取间隔为 3649，则样本中还有一个编号是 12+921，第 13 页（共 23 页）故答案为：21【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键14 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 【分析】模拟程序的运行过程知：该程序是利用循环计算变量 s 的值，并输出满足条件
24、的 s 值，找出规律，不难得到输出结果【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；n1，s2，满足循环条件 n2018；计算 s 3，n2，满足循环条件 n2018；计算 s ，n3，满足循环条件 n2018；计算 s ，n4，满足循环条件 n2018；计算 s 2，n5，满足循环条件 n2018；计算 s 的值是以 4 为周期的数值，n20184504+2 时，计算 s ，n2019，不满足循环条件 n2018，第 14 页（共 23 页）终止循环，输出的 S 值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了循环结构应用问题，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是基础题15 （5 分）已知圆锥的底
25、面直径为 ，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 【分析】由题意画出图形，设圆锥底面圆的圆心到截面底边距离为 x，然后把截面面积用含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最值【解答】解：如图，OA ，PA1，则 PO ，设 ODx， （0 x ） ，则 PD ，BC2 ，截面三角形 PBC 的面积 S 当 ，即 x 时，S 有最大值为 故答案为： 【点评】本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，是中档题16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若a11，a 22，a 3n2n2a n，a 3n+1a n+1，a 3n+
26、2a nn，则 S60 264 （用数字作答） 第 15 页（共 23 页）【分析】根据题意可得 a3+a4+a52，a 6052，a 3n+a3n+1+a3n+2n+1，则S60a 1+a2+（a 3+a4+a5）+（a 6+a7+a8）+ +（a 57+a58+a59）+a 60264【解答】解：a 3n2n2a n，a 3n+1a n+1，a 3n+2a n n，a 11，a 22，a 322a 1220，a 4a 1+12，a 5a 220，a 6a 32222a 24220，a 20a 36+2a 666a 602202a 2040+1252a 3+a4+a52a 3n+a3n+1+
27、a3n+2n+1 ，S 60a 1+a2+（a 3+a4+a5）+（a 6+a7+a8）+ +（a 57+a58+a59）+a 601+2+52264，故答案为：264【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的求和公式，考查了转化能力和运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中， ，D 是 BC 边上的一点（1）若 ，求 CD 的长；（2）若B120，求ABC 周长的取值范围【分析】 （1）直接利用向量的数量积的应用和余弦定理求出结果（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：（1
28、）在ADC 中，AD1，AC2 ，所以 | | |cosDAC12 cosDAC 3，所以 cosDAC 由余弦定理得 CD2AC 2+AD22AC ADcosDAC12+122 1 7，所以 CD （2）在ABC 中，由正弦定理得第 16 页（共 23 页） ，所以 AB+BC4（sinA+sinC） ， ，由于 ，所以 ，AB+BC则 AB+BC+AC ，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理和余弦定理的应用18 （12 分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄（单位：岁）进
29、行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位） ；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在40，45）内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望【分析】 （1）利用频率分布直方图计算平均数和中位数的估计值即可；（2）用分层抽样法结合题意知随机变量 X 的可能值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值第 17 页（共 23 页）【解答】解：（1）根据题意，计算平均数
30、的估计值为（27.50.01+32.50.04+37.50.07+42.5 0.06+47.50.02）538.539；中位数的估计值为：因为 50.01+50.040.250.5，50.06+50.020.40.5，所以中位数位于区间35，40 ）年龄段中，设中位数为 x，所以 0.25+0.07（x35）0.5，解得 x39；（2）用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 6 人位于40，45）年龄段内，14 人位于40，45）年龄段外；依题意，X 的可能值为 0，1，2；P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ；所以 X 的分布列为：X 0 1 2P（X）数学期望为 EX0 +1 +2
31、【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数与中位数的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC 和 AA 1C 均是边长为 2 的等边三角形，点 O 为 AC 中点，平面 AA1C1C平面 ABC（1）证明：A 1O平面 ABC；（2）求直线 AB 与平面 A1BC1 所成角的正弦值第 18 页（共 23 页）【分析】 （1）证明 A1OAC，通过平面 AA1C1C平面 ABC，推出 A1O平面 ABC（2）如图，以 O 为原点，OB，OC，OA 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求
32、出平面 A1BC1 的法向量为 ，设直线 AB 与平面 A1BC1 所成角为 ，利用空间向量的数量积求解即可【解答】 （1）证明：AA 1A 1C，且 O 为 AC 的中点，A 1OAC，又平面 AA1C1C平面 ABC，且交线为 AC，又 A1O平面 AA1C1C，A 1O平面 ABC；（2）解：如图，以 O 为原点， OB，OC，OA 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系由已知可得 O（0，0，0）A（ 0，1，0），第 19 页（共 23 页）平面 A1BC1 的法向量为 ，则有 ，所以 的一组解为 ，设直线 AB 与平面 A1BC1 所成角为 ，则 sin又 ，所以直线 AB 与
33、平面 A1BC1 所成角的正弦值： 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，点 M 的坐标为（6，4） ，点 N在抛物线 C 上，且满足 ， （O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 M 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线 l1、l 2，且 l1 与抛物线 C 交于 A，B两点，l 2 与抛物线 C 交于 D， E 两点，线段 AB，DE 的中点分别为 G，H ，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标【分析】 （1）利用向量线段即可得到点 N 的坐
34、标，代入抛物线 C 的方程即可得到 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程；（2）设直线 l1，l 2，的方程，与抛物线 C 的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点 G，H 的坐标，从而得到直线 GH 的方程，令 y0，只要 x 是一个常数即可【解答】 （1）解： ，点 M 的坐标为（6，4） ，可得点 N 的坐标为（9，6） ，3618p，p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x（2）证明：由条件可知，直线 l1，l 2 的斜率存在且均不能为 0，也不能为 1、1设 l1：yk（x6）+4，则 l2 的方程为 y （x6）+4，将 l1 方程与抛物线方程联立得ky24y+1624k0，第
35、20 页（共 23 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2 ，又 y1+y2k（x 1+x212）+8，x 1+x2 ，点 G 的坐标为（ ） ，用 代替 k，得到点 H 坐标为（2k 24k+6，2k） ，k GH ，GH 方程为：y 2k x（2k 24k+6） 整理得（k+ ）y x 4令 y0，则 x4，所以直线 GH 过定点（4，0） 【点评】熟练掌握向量的运算法则、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、根与系数的关系、斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式是解题的关键21 （12 分）已知函数/ （1）当 a1 时，解不等式 f（x ）0；（2） ）若
36、 f（x）在 内有两个不同的两点，求 a 的取值范围【分析】 （1）把 a1 代入 f（ x）求导得 f（x） ，令 g（x）1lnxx 2，再由导数判断 g（x ）在不同区间内的符号，可得 f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数，从而求得 f（x ） maxf（1）0，即 f（x）0，可得不等式 f（x） 0 的解集为（0，+） ；（2）把 f（x）在 内有两个不同的两点可转化为方程 在内有两个不同的实数根，令 h（x） ，利用导数求其极值，即可得到满足 f（x）在 内有两个不同的零点的 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a1 时，f（x ） ，f （x） ，令 g（x）1
37、lnx x 2，可得 g（x） 0，x（0，+） ，第 21 页（共 23 页）g（x）在（0，+）上单调递减，又g（1）0，在（0，1）上，g（x）0，在（1，+）上，g（x）0f（x）在（0 ，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数，f（x） maxf（1）0，即 f（x）0不等式 f（x） 0 的解集为（0，+） ；（2）f（x）在 内有两个不同的零点可转化为方程 在 内有两个不同的实数根，令 h（x） ， ，令 （x ）1 x2lnx， （x ）1 0，x ，（x ）在 上单调递减，且 （1）0当 x1 时，h（x ）0，当 1x e 2 时，h（x）0，h（x）在（ ）上单调递增，在
38、（1，e 2）上单调递减，又 h（ ）ee 20，h（e 2） 0，h（1）1 ， a1即 f（x）在 内有两个不同的零点，a 的取值范围是 ，1） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 经过点 P（1，1） ，斜率为 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点（1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）求|PA |
39、PB| 的值【分析】 （1）曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程；由直线 l 经过点第 22 页（共 23 页）P（1，1） ，斜率为 ，能求出直线 l 的参数方程（2）直线 l 的参数方程代入 1 中，得 84t2+240t1250，由此能求出|PA|PB| 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C 的普通方程为 1直线 l 经过点 P（1，1） ，斜率为 ，直线 l 的参数方程为： （t 为参数） （2）直线 l： （t 为参数） ，将直线 l 代入 1 中，得 84t2+240t1250， 1，点 P（1，1）在椭圆的内部，直线 l 与曲线
40、C 的交点 A，B 位于点 P 的两侧，即点 A，B 所对应的 t 值异号设点 A 的对应值为 t1，点 B 的对应值为 t2，则 t1+t2 ，t 1t2 ，故|PA | |PB| |t1| t2| t1+t2| | 【点评】本题考查曲线的普通方程、直线的参数方程的求法，考查两线段的差的绝对值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23关于 x 的不等式 的解集为 R（1）求实数 m 的值；（2）若 a，b，c0，且 a+b+cm ，求证： 第 23 页（共 23 页）【分析】 （）原问题等价于（ ） 2
41、（x+2） 2 恒成立，整理得：3x 2+（164m）x+164m 20，由（16 4m） 243（164m 2）0 可得 m，（）由 1，可得（ + + ）2a+b+c+2 +2 +2 3 既可证明，【解答】 （）解：不等式 的解集为 R，（ ） 2（x+2） 2 恒成立，整理得：3x 2+（164m）x+164m 20，由题可得：（164m） 243（164m 2）0，即（m1） 20，m1（）证明：a+b+ c1，a+b2 ，b+ c2 ，c+a2 ， 1，（ + + ） 2a+b+ c+2 +2 +2 ，（ + + ） 23，所以 + + （当且仅当 abc 时取等号）成立【点评】本题考查了不等式恒成立问题、不等式得证明，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/4 10:35:15；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463
