1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知复数 z +2i1，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3）2（5 分）设全集 UR，集合 A x|x1，B x|72+3x5，则 U（AB）（ ）A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 33（5 分）已知 （ ），tansin76 cos46cos76sin46，则sin（ ）A B C D4（5 分）函数 f（x ） 的图象大致为
2、（ ）A BC D5（5 分）如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E，F ，AB 6，AD8，AA 17，则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ）A B C D6（5 分）已知直线 l：3x 4y150 与圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）相交于A，B 两点，若 |AB|6，则圆 C 的标准方程为（ ）A（x1） 2+（y2） 236 B（x1） 2+（y2） 225C（x 1） 2+（y 2） 216 D（x1） 2+（y 2） 2497（5 分）某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛，现将他
3、们最近集训的 10 次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ）A甲 B乙 C丙 D丁8（5 分）已知 P（ ，1），Q （ ，1）分别是函数 f（x）sin（x+）（0 ，| | ）图象上相邻的最高点和最低点，则 （ ）A B C D9（5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z4x3y 的最小值为（ ）A24 B22 C17 D710（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若（sin B+sinC）2sin 2（B+C） 3sinBsinC，
4、且 a2，则ABC 的面积的最大值是（ ）A B C D411（5 分）已知四棱锥 M ABCD，MA平面 ABCD，ABBC ，BCD+BAD180，MA2，BC 2 ，ABM 30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A20 B22 C40 D4412（5 分）已知双曲线 C： y 21，F 1，F 2 为左、右焦点，直线 l 过右焦点 F2，与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方，若|AF 2|3|BF 2|，则直线 l 的斜率为（ ）A1 B2 C1 D2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题
5、卡中的横线上13（5 分）已知函数 f（x ） ，则 14（5 分）在正方形 ABCD 中，E 为线段 AD 的中点，若 + ，则 + 15（5 分）不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取2 个球，则摸到同色球的概率为 16（5 分）已知函数 f（x ） +x+a1 的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，g（x） ex+ax2+bx，曲线 yf （x）在点（1，f（1）处的切线与曲线yg（x ）在点（0，g（0）处的切线互相垂直，则 a+b 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每
6、道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17（12 分）已知数列a n为等差数列，a 7a 210，且 a1，a 6，a 21 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn ，求 n 的值18（12 分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/分10 11 12 13 14 15等候人数 y/ 23 25 26 29 28 31人调查小组先从
7、这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ，再求与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”（1）从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x
8、 n，y n），其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 19（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PB PC，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点（1）证明：平面 PAE平面 BCP（2）若 AC 交 BD 于点 O，PAAB PB4，CF 3 FP，求三棱锥 FAOE 的体积20（12 分）设 D 是圆 O：x 2+y216 上的任意一点，m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线，E 是直线 m 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 m 上，且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C
9、（1）求曲线 C 的方程（2）已知点 P（2，3），过 F（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交直线 x8于点 M判定直线 PA，PM，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由21（12 分）已知函数 f（x）1+lnxax 2（1）讨论函数 f（x ）的单调区间；（2）证明：xf（x ） ex+xax 3(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （ m 为参数）（1）将 C1，C 2 的方程化为普通方程
10、，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线 C1 与 C2 的交点分别为 A，B，O 为坐标原点，求OAB 的面积的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 1|2x+a|的图象如图所示（1）求 a 的值；（2）设 g（x）f（x+ ）+f （x1），g（x）的最大值为 t，若正数 m，n 满足m+nt，证明： 2019 年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知复数 z +2i1，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A（1
11、，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，求出 得答案【解答】解：z +2i1 ， ，则 在复平面内对应的点的坐标为（1，3）故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5 分）设全集 UR，集合 A x|x1，B x|72+3x5，则 U（AB）（ ）A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 3【分析】可解出集合 B，然后进行并集、补集的运算即可【解答】解：Bx| 3x 1；ABx|x1； U（AB ）x |x1故选：C【点评】考查描述法的定义，以及并集、补集的运算3
12、（5 分）已知 （ ），tansin76 cos46cos76sin46，则sin（ ）A B C D【分析】由已知求得 tan，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解【解答】解：由 tansin76cos46cos76 sin46sin（7646）sin30 ，且 （ ）， （0， ），联立 ，解得 sin 故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题4（5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可【解答】解：f（x ） f（x），即 f（x）是奇函数，图象关于
13、原点对称，排除 B，当 x 0 时，f（x）0 恒成立，排除 A，D故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键5（5 分）如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E，F ，AB 6，AD8，AA 17，则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ）A B C D【分析】由题意平移 AA1，异面直线 EF 与 AA1 所成角为FEG 或其补角，在EFG 中可求【解答】解：取 A1B1 中点 G，连接 EG，FG，EGFG ，因为 EGAA 1，所以异面直线 EF 与 AA1 所成角为FE
14、G 或其补角，在EFG 中，FG 5，EG 7，所以 tanFEG ，故选：A【点评】本题考查异面直线所成的角，属于简单题6（5 分）已知直线 l：3x 4y150 与圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）相交于A，B 两点，若 |AB|6，则圆 C 的标准方程为（ ）A（x1） 2+（y2） 236 B（x1） 2+（y2） 225C（x 1） 2+（y 2） 216 D（x1） 2+（y 2） 249【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案【解答】解：化圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）为（x1） 2
15、+（y2） 2r 2，可得圆心坐标为（1，2），半径为 r，由圆心（1，2）到直线 l：3x4y150 的距离 d ，且|AB| 6，得 r23 2+42 25圆 C 的标准方程为（x 1） 2+（y 2） 225故选：B【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题7（5 分）某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛，现将他们最近集训的 10 次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】100
16、 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定【解答】解：100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好，方差越小发挥水平越稳定，故应选丁选手参加全省的比赛故选：D【点评】本题考查比赛选手的选择，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5 分）已知 P（ ，1），Q （ ，1）分别是函数 f（x）sin（x+）（0 ，| | ）图象上相邻的最高点和最低点，则 （ ）A B C D【分析】由题意可求 T，利用周期公式可求 ，将点 P（ ，1）代入，得：sin （3+）1，解得 k + ，k Z，结合范围| | ，可求 的值，即可计算得解【解答】解：函数过点 P（
17、 ，1），Q （ ，1），由题意，得 T ，T ，3 ，f（x）sin（3x +），将点 P（ ，1）代入，得：sin（3 +）1，3 +k+ ，k Z，解得： k+ ，k Z，| ， ，3 故选：C【点评】本题重点考查了由 yAsin （ x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质等知识，属于基础题9（5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z4x3y 的最小值为（ ）A24 B22 C17 D7【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，代入求出目标函数的最小值【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数 z4x3y 过点 A 时取得最小值
18、，由 ，解得 A（4，2），代入计算 z4（4）3222，所以 z4x3y 的最小值为22故选：B【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题10（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若（sin B+sinC）2sin 2（B+C） 3sinBsinC，且 a2，则ABC 的面积的最大值是（ ）A B C D4【分析】由正弦定理化简已知等式可得：b 2+c2a 2bc，根据余弦定理可求 cosA ，结合范围 A（0，），可求 A，由余弦定理，基本不等式可求 bc 的最大值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（sinB+sin C） 2sin 2（B +C
19、）3sinBsinC，sin 2B+sin2C+2sinBsinCsin 2A3sinBsin C，可得：sin 2B+sin2Csin 2Asin BsinC，由正弦定理可得：b 2+c2a 2bc，cosA ，A（0，），A ，a2，由余弦定理可得：4b 2+c2bc2bc bcbc，当且仅当 bc 时等号成立，S ABC bcsinA 故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11（5 分）已知四棱锥 M ABCD，MA平面 ABCD，ABBC ，BCD+BAD180，MA2，BC 2 ，AB
20、M 30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A20 B22 C40 D44【分析】先由题中条件得知四边形 ABCD 四点共圆，利用锐角三角函数计算出 AB，再由勾股定理得出四边形 ABCD 的外接圆直径 AC，再利用公式 可得出球的直径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：由于BCD+BAD180，则四边形 ABCD 四点共圆，由于 MA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以，MAAB，在 Rt ABM 中， ABM30，MA2，所以， ，ABBC，所以，四边形 ABCD 的外接圆直径为 ，因此，四面体 MACD 的外接球直径为 ，所以，该球的表面
21、积为 4R2（2R） 240故选：C【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于确定底面四点共圆，并利用合适的方法求出外接圆的半径，考查计算能力，属于中等题12（5 分）已知双曲线 C： y 21，F 1，F 2 为左、右焦点，直线 l 过右焦点 F2，与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方，若|AF 2|3|BF 2|，则直线 l 的斜率为（ ）A1 B2 C1 D2【分析】设直线 l 的方程 xmy + ，m0，由|AF 2|3|BF 2|，可得 3 ，即y13y 2，再由韦达定理可得 y1+y2 ，y 1y2 ，求出 m 的值即可求出直线的斜率【解答】解
22、：双曲线 C： y 21，F 1，F 2 为左、右焦点，则 F2（ ，0）设直线 l 的方程 xmy + ，m0，双曲线的渐近线方程为 x2y，m2设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），且 y10由|AF 2| 3|BF2|， 3 ，y 13y 2，由 ，消 x 可得（m 24）y 2+2 my+10，（2 m） 24（m 24）0，即 m2+40 恒成立，y 1+y2 ，y 1y2 ，由，解得 m2 ，即 m ，直线方程为 x y+ ，即 y2（x ），故直线 l 的斜率为 2，故选：D【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，难度中等二、填空题：本
23、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13（5 分）已知函数 f（x ） ，则 1 【分析】推导出 f（ ） +2 ，从而 f（ ），由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（ ） +2 ，f（ ）log 2 1故答案为：1【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5 分）在正方形 ABCD 中，E 为线段 AD 的中点，若 + ，则 + 【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【解答】解：如图所示， + ， ， + 又 + ，则 ， 1则 + 故答案为： 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定
24、理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5 分）不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取2 个球，则摸到同色球的概率为 【分析】基本事件总数 n 10，摸到同色球包含的基本事件个数 m 4，由此能求出摸到同色球的概率【解答】解：不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取 2 个球，基本事件总数 n 10，摸到同色球包含的基本事件个数 m 4，摸到同色球的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5 分）已知函数 f（x ） +x+a1 的图象
25、是以点（1，1）为中心的中心对称图形，g（x） ex+ax2+bx，曲线 yf （x）在点（1，f（1）处的切线与曲线yg（x ）在点（0，g（0）处的切线互相垂直，则 a+b 【分析】由 yx + 的图象关于（0，0）对称，yf （x）的图象可由 yx+ 平移可得由题意可得 a21，可得 a，分别求得 f（x ），g（x）的导数，可得切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得 b，进而得到所求和【解答】解：由 yx + 的图象关于（0，0）对称，yf （ x）的图象可由 yx+ 平移可得函数 f（x） +x+a1 的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，可得 a21，即 a1，则
26、f（x ） +x，f（x）1 ，可得 f（x）在 x1 处的切线斜率为 ，g（x）e x+x2+bx 的导数为 g（x）e x+2x+b，可得 g（x）在 x0 处的切线斜率为1+b，由题意可得（1+b） 1 ，可得 b ，则 a+b1 故答案为： 【点评】本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17（12 分）已知数列a n为等差数列，a 7a 210，且
27、 a1，a 6，a 21 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn ，求 n 的值【分析】（1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 bn （ ），运用裂项相消求和可得 Sn，解方程可得 n【解答】解：（1）设数列a n为公差为 d 的等差数列，a7a 210，即 5d10，即 d2，a1，a 6，a 21 依次成等比数列，可得a62a 1a21，即（a 1+10） 2a 1（a 1+40），解得 a15，则 an5+2（n1）2n+3 ；（2）b
28、 n （ ），即有前 n 项和为 Sn （ + + ） （ ） ，由 Sn ，可得 5n4n+10，解得 n10【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题18（12 分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/分10 11 12 13 14 15等候人数 y/人23 25 26 29 28 31调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检
29、验检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ，再求与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”（1）从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x n，y n），其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 【
30、分析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间【解答】解：（1）设“从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，剩下的 2 组数据不相邻”为事件 A，记这六组数据分别为 1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共 15 种，其中相邻的有 12，23，34，45，56，共 5 种，所以 （2）后面 4 组数据是：间隔时间（ x 分钟） 12 13 14 15等候人数
31、（y 人） 26 29 28 31因为 ，所以 ，所以 当 x10 时， ，当 x11 时， ，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”（3）由 1.4x+9.635，得 ，故间隔时间最多可设置为 18 分钟【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题19（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PB PC，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点（1）证明：平面 PAE平面 BCP（2）若 AC 交 BD 于点 O，PAAB PB4，CF 3 FP，求三棱锥 FAOE 的体积【分析】（1）推导出 AEBC，PE
32、BC ，从而 BC平面 PAE，由此能证明平面PAE平面 BCP（2）推导出 PAAB ，PA BC，从而 PA平面 AOE，由此能求出三棱锥 FAOE 的体积【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PBPC，AC 交 BD 于点 O，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点AEBC，PEBC，AEPEE，BC平面 PAE，BC平面 BCP，平面 PAE平面 BCP解：（2）PAAB PB4，PA 2+AB2PB 2，PAAB，BC平面 PAE，PA平面 PAE，PABC ，ABBCB，PA平面 AOE，CF3FP， 点 F 到平面 AOE
33、 的距离 d ，SAOE ，三棱锥 FAOE 的体积：V 【点评】本题考查面面平行的垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12 分）设 D 是圆 O：x 2+y216 上的任意一点，m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线，E 是直线 m 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 m 上，且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程（2）已知点 P（2，3），过 F（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交直线 x8于点 M判定直线 PA，PM，PB
34、的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由【分析】（1）由题意设 Q（ x，y），D（x 0，y 0），根据 2|EQ| |ED|，Q 在直线 m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线 l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 k1+k3，并求得 k2的值，由 k1+k32k 2 说明直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列【解答】解：（1）设 Q（x，y），D（x 0，y 0），2|EQ| |ED|，Q 在直线 m 上，x 0x，|y 0| y|点 D 在圆 x2+y216 上运动，x 02+y0216，将式代入 式即得曲线 C 的方程为 x2+ y216，即 + 1，（2）直线 P
35、A，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆 C：3x 2+4y248，直线 l 的方程为 yk（x2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 216k 2x+16k248 0设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线 PA，PM ，PB 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则有 x1+x2 ，x 1x2 ，可知 M 的坐标为（8，6k）k 1+k3 + +2k3 2k3 2k1，2k22 2k 1k 1+k32k 2故直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问
36、题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题21（12 分）已知函数 f（x）1+lnxax 2（1）讨论函数 f（x ）的单调区间；（2）证明：xf（x ） ex+xax 3【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证 ，令 g（x） （ x0），令 k（x） ，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论【解答】解：（1）f（x ）的定义域是（0，+），f（x） ，故 a0 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）递增，当 a0 时，令 f（x ）0，解得：x ，故 f（x）在（0 ， ）
37、递增，在（ ，+）递减；（2）证明：要证 xf（x ） ex+xax 3，即证 xlnx ex，也即证 ，令 g（x） （x0），则 g（x） ，故 g（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故 g（x） 最小值 g（2） ，令 k（x） ，则 k（x） ，故 k（x）在（0，e ）递增，在（ e，+）递减，故 k（x） 最大值 k （e） ， ，故 k（x）h（x ），即 lnx ，故 xf（x） ex+xax 3【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如
38、果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （ m 为参数）（1）将 C1，C 2 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线 C1 与 C2 的交点分别为 A，B，O 为坐标原点，求OAB 的面积的最小值【分析】（1）由 C1： （t 为参数）消去 t 得 C1：cos ysin （x2），由 C2： （m 为参数）消去 m 得 C2：y 24x，（2）联立 消去 x 得 y2sin4ycos8sin0，设 A（x 1，y 1），B（x 2， y2），由韦达定理得 y1+y
39、2 ，y 1y28，再利用 SOAB S AOF +SBOF |OF|y1|+ |OF|y2| |OF|（| y1|+|y2|）可得【解答】解：（1）由 C1： （t 为参数）消去 t 得 C1：cos ysin （x2），由 C2： （m 为参数）消去 m 得 C2：y 24x，（2）如图：联立 消去 x 得 y2sin4y cos8sin0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 y1+y2 ，y 1y28，又 C2 的焦点（1，0）S OAB S AOF +SBOF |OF|y1|+ |OF|y2| |OF|（ |y1|+|y2|） |y1 y2|2 ，所以 sin1 时 S
40、OAB 取得最小值 2 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 1|2x+a|的图象如图所示（1）求 a 的值；（2）设 g（x）f（x+ ）+f （x1），g（x）的最大值为 t，若正数 m，n 满足m+nt，证明： 【分析】（1）代入点的坐标，求出 a 的值即可；（2）求出 g（x）的解析式，求出 t 的值，根据基本不等式的性质证明即可【解答】解：（1）将（1，3）代入函数的解析式得：3|a 1| |2+a| ，解得：a2；（2）由（1）f（x ）|2x 1|2x+2|，故 g（x）|2x3| |2x +3|2x32x 3|6，故 t6，故 m+n6，故 + （ + ）（ + ） + + + +2 ，当且仅当 2n3m 时“”成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题
