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2019年辽宁省辽阳市高考数学一模文科试题(含答案解析)

1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5 分)已知复数 z +2i1,则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为( )A(1,3) B(1,3) C(1,3) D(1,3)2(5 分)设全集 UR,集合 A x|x1,B x|72+3x5,则 U(AB)( )A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 33(5 分)已知 ( ),tansin76 cos46cos76sin46,则sin( )A B C D4(5 分)函数 f(x ) 的图象大致为

2、( )A BC D5(5 分)如图,长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E,F ,AB 6,AD8,AA 17,则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为( )A B C D6(5 分)已知直线 l:3x 4y150 与圆 C:x 2+y22x4y+5r 20(r0)相交于A,B 两点,若 |AB|6,则圆 C 的标准方程为( )A(x1) 2+(y2) 236 B(x1) 2+(y2) 225C(x 1) 2+(y 2) 216 D(x1) 2+(y 2) 2497(5 分)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛,现将他

3、们最近集训的 10 次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下表格:甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据,应选哪位选手参加全省的比赛( )A甲 B乙 C丙 D丁8(5 分)已知 P( ,1),Q ( ,1)分别是函数 f(x)sin(x+)(0 ,| | )图象上相邻的最高点和最低点,则 ( )A B C D9(5 分)已知实数 x,y 满足 ,则目标函数 z4x3y 的最小值为( )A24 B22 C17 D710(5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若(sin B+sinC)2sin 2(B+C) 3sinBsinC,

4、且 a2,则ABC 的面积的最大值是( )A B C D411(5 分)已知四棱锥 M ABCD,MA平面 ABCD,ABBC ,BCD+BAD180,MA2,BC 2 ,ABM 30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )A20 B22 C40 D4412(5 分)已知双曲线 C: y 21,F 1,F 2 为左、右焦点,直线 l 过右焦点 F2,与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上方,若|AF 2|3|BF 2|,则直线 l 的斜率为( )A1 B2 C1 D2二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题

5、卡中的横线上13(5 分)已知函数 f(x ) ,则 14(5 分)在正方形 ABCD 中,E 为线段 AD 的中点,若 + ,则 + 15(5 分)不透明的袋中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球,2 个黑球,从中任意摸取2 个球,则摸到同色球的概率为 16(5 分)已知函数 f(x ) +x+a1 的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形,g(x) ex+ax2+bx,曲线 yf (x)在点(1,f(1)处的切线与曲线yg(x )在点(0,g(0)处的切线互相垂直,则 a+b 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每

6、道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一) 必考题:共 60 分17(12 分)已知数列a n为等差数列,a 7a 210,且 a1,a 6,a 21 依次成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn ,数列 bn的前 n 项和为 Sn,若 Sn ,求 n 的值18(12 分)某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间 x 与乘客等候人数 y 之间的关系,经过调查得到如下数据:间隔时间/分10 11 12 13 14 15等候人数 y/ 23 25 26 29 28 31人调查小组先从

7、这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程,再用剩下的 2 组数据进行检验检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ,再求与实际等候人数 y 的差,若差值的绝对值都不超过 1,则称所求方程是“恰当回归方程”(1)从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后,求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率;(2)若选取的是后面 4 组数据,求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)为了使等候的乘客不超过 35 人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x

8、 n,y n),其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: , 19(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PB PC,E 为线段 BC 的中点,F 为线段 PC 上的一点(1)证明:平面 PAE平面 BCP(2)若 AC 交 BD 于点 O,PAAB PB4,CF 3 FP,求三棱锥 FAOE 的体积20(12 分)设 D 是圆 O:x 2+y216 上的任意一点,m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线,E 是直线 m 与 x 轴的交点,点 Q 在直线 m 上,且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O上运动时,记点 Q 的轨迹为曲线 C

9、(1)求曲线 C 的方程(2)已知点 P(2,3),过 F(2,0)的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,交直线 x8于点 M判定直线 PA,PM,PB 的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由21(12 分)已知函数 f(x)1+lnxax 2(1)讨论函数 f(x )的单调区间;(2)证明:xf(x ) ex+xax 3(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: (t 为参数),C2: ( m 为参数)(1)将 C1,C 2 的方程化为普通方程

10、,并说明它们分别表示什么曲线;(2)设曲线 C1 与 C2 的交点分别为 A,B,O 为坐标原点,求OAB 的面积的最小值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|ax 1|2x+a|的图象如图所示(1)求 a 的值;(2)设 g(x)f(x+ )+f (x1),g(x)的最大值为 t,若正数 m,n 满足m+nt,证明: 2019 年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5 分)已知复数 z +2i1,则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为( )A(1

11、,3) B(1,3) C(1,3) D(1,3)【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z,求出 得答案【解答】解:z +2i1 , ,则 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题2(5 分)设全集 UR,集合 A x|x1,B x|72+3x5,则 U(AB)( )A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 3【分析】可解出集合 B,然后进行并集、补集的运算即可【解答】解:Bx| 3x 1;ABx|x1; U(AB )x |x1故选:C【点评】考查描述法的定义,以及并集、补集的运算3

12、(5 分)已知 ( ),tansin76 cos46cos76sin46,则sin( )A B C D【分析】由已知求得 tan,再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解【解答】解:由 tansin76cos46cos76 sin46sin(7646)sin30 ,且 ( ), (0, ),联立 ,解得 sin 故选:A【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦,是基础题4(5 分)函数 f(x ) 的图象大致为( )A BC D【分析】判断函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解即可【解答】解:f(x ) f(x),即 f(x)是奇函数,图象关于

13、原点对称,排除 B,当 x 0 时,f(x)0 恒成立,排除 A,D故选:C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键5(5 分)如图,长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E,F ,AB 6,AD8,AA 17,则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为( )A B C D【分析】由题意平移 AA1,异面直线 EF 与 AA1 所成角为FEG 或其补角,在EFG 中可求【解答】解:取 A1B1 中点 G,连接 EG,FG,EGFG ,因为 EGAA 1,所以异面直线 EF 与 AA1 所成角为FE

14、G 或其补角,在EFG 中,FG 5,EG 7,所以 tanFEG ,故选:A【点评】本题考查异面直线所成的角,属于简单题6(5 分)已知直线 l:3x 4y150 与圆 C:x 2+y22x4y+5r 20(r0)相交于A,B 两点,若 |AB|6,则圆 C 的标准方程为( )A(x1) 2+(y2) 236 B(x1) 2+(y2) 225C(x 1) 2+(y 2) 216 D(x1) 2+(y 2) 249【分析】化圆的方程为标准方程,求出圆心坐标,利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离,进一步求得半径得答案【解答】解:化圆 C:x 2+y22x4y+5r 20(r0)为(x1) 2

15、+(y2) 2r 2,可得圆心坐标为(1,2),半径为 r,由圆心(1,2)到直线 l:3x4y150 的距离 d ,且|AB| 6,得 r23 2+42 25圆 C 的标准方程为(x 1) 2+(y 2) 225故选:B【点评】本题考查圆的方程的求法,考查直线与圆位置关系的应用,是基础题7(5 分)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛,现将他们最近集训的 10 次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下表格:甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据,应选哪位选手参加全省的比赛( )A甲 B乙 C丙 D丁【分析】100

16、 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好,方差越小发挥水平越稳定【解答】解:100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好,方差越小发挥水平越稳定,故应选丁选手参加全省的比赛故选:D【点评】本题考查比赛选手的选择,考查平均数、方差的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8(5 分)已知 P( ,1),Q ( ,1)分别是函数 f(x)sin(x+)(0 ,| | )图象上相邻的最高点和最低点,则 ( )A B C D【分析】由题意可求 T,利用周期公式可求 ,将点 P( ,1)代入,得:sin (3+)1,解得 k + ,k Z,结合范围| | ,可求 的值,即可计算得解【解答】解:函数过点 P(

17、 ,1),Q ( ,1),由题意,得 T ,T ,3 ,f(x)sin(3x +),将点 P( ,1)代入,得:sin(3 +)1,3 +k+ ,k Z,解得: k+ ,k Z,| , ,3 故选:C【点评】本题重点考查了由 yAsin ( x+)的部分图象确定其解析式,三角函数的图象与性质等知识,属于基础题9(5 分)已知实数 x,y 满足 ,则目标函数 z4x3y 的最小值为( )A24 B22 C17 D7【分析】画出约束条件表示的平面区域,由图形求出最优解,代入求出目标函数的最小值【解答】解:画出约束条件 表示的平面区域如图所示,由图形知,当目标函数 z4x3y 过点 A 时取得最小值

18、,由 ,解得 A(4,2),代入计算 z4(4)3222,所以 z4x3y 的最小值为22故选:B【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题,是基础题10(5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若(sin B+sinC)2sin 2(B+C) 3sinBsinC,且 a2,则ABC 的面积的最大值是( )A B C D4【分析】由正弦定理化简已知等式可得:b 2+c2a 2bc,根据余弦定理可求 cosA ,结合范围 A(0,),可求 A,由余弦定理,基本不等式可求 bc 的最大值,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解:(sinB+sin C) 2sin 2(B +C

19、)3sinBsinC,sin 2B+sin2C+2sinBsinCsin 2A3sinBsin C,可得:sin 2B+sin2Csin 2Asin BsinC,由正弦定理可得:b 2+c2a 2bc,cosA ,A(0,),A ,a2,由余弦定理可得:4b 2+c2bc2bc bcbc,当且仅当 bc 时等号成立,S ABC bcsinA 故选:B【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题11(5 分)已知四棱锥 M ABCD,MA平面 ABCD,ABBC ,BCD+BAD180,MA2,BC 2 ,AB

20、M 30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )A20 B22 C40 D44【分析】先由题中条件得知四边形 ABCD 四点共圆,利用锐角三角函数计算出 AB,再由勾股定理得出四边形 ABCD 的外接圆直径 AC,再利用公式 可得出球的直径,最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解:由于BCD+BAD180,则四边形 ABCD 四点共圆,由于 MA平面 ABCD,AB平面 ABCD,所以,MAAB,在 Rt ABM 中, ABM30,MA2,所以, ,ABBC,所以,四边形 ABCD 的外接圆直径为 ,因此,四面体 MACD 的外接球直径为 ,所以,该球的表面

21、积为 4R2(2R) 240故选:C【点评】本题考查球体表面积的计算,解决本题的关键在于确定底面四点共圆,并利用合适的方法求出外接圆的半径,考查计算能力,属于中等题12(5 分)已知双曲线 C: y 21,F 1,F 2 为左、右焦点,直线 l 过右焦点 F2,与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上方,若|AF 2|3|BF 2|,则直线 l 的斜率为( )A1 B2 C1 D2【分析】设直线 l 的方程 xmy + ,m0,由|AF 2|3|BF 2|,可得 3 ,即y13y 2,再由韦达定理可得 y1+y2 ,y 1y2 ,求出 m 的值即可求出直线的斜率【解答】解

22、:双曲线 C: y 21,F 1,F 2 为左、右焦点,则 F2( ,0)设直线 l 的方程 xmy + ,m0,双曲线的渐近线方程为 x2y,m2设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),且 y10由|AF 2| 3|BF2|, 3 ,y 13y 2,由 ,消 x 可得(m 24)y 2+2 my+10,(2 m) 24(m 24)0,即 m2+40 恒成立,y 1+y2 ,y 1y2 ,由,解得 m2 ,即 m ,直线方程为 x y+ ,即 y2(x ),故直线 l 的斜率为 2,故选:D【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,难度中等二、填空题:本

23、大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13(5 分)已知函数 f(x ) ,则 1 【分析】推导出 f( ) +2 ,从而 f( ),由此能求出结果【解答】解:函数 f(x ) ,f( ) +2 ,f( )log 2 1故答案为:1【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5 分)在正方形 ABCD 中,E 为线段 AD 的中点,若 + ,则 + 【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【解答】解:如图所示, + , , + 又 + ,则 , 1则 + 故答案为: 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定

24、理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题15(5 分)不透明的袋中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球,2 个黑球,从中任意摸取2 个球,则摸到同色球的概率为 【分析】基本事件总数 n 10,摸到同色球包含的基本事件个数 m 4,由此能求出摸到同色球的概率【解答】解:不透明的袋中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球,2 个黑球,从中任意摸取 2 个球,基本事件总数 n 10,摸到同色球包含的基本事件个数 m 4,摸到同色球的概率 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题16(5 分)已知函数 f(x ) +x+a1 的图象

25、是以点(1,1)为中心的中心对称图形,g(x) ex+ax2+bx,曲线 yf (x)在点(1,f(1)处的切线与曲线yg(x )在点(0,g(0)处的切线互相垂直,则 a+b 【分析】由 yx + 的图象关于(0,0)对称,yf (x)的图象可由 yx+ 平移可得由题意可得 a21,可得 a,分别求得 f(x ),g(x)的导数,可得切线斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为1,可得 b,进而得到所求和【解答】解:由 yx + 的图象关于(0,0)对称,yf ( x)的图象可由 yx+ 平移可得函数 f(x) +x+a1 的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形,可得 a21,即 a1,则

26、f(x ) +x,f(x)1 ,可得 f(x)在 x1 处的切线斜率为 ,g(x)e x+x2+bx 的导数为 g(x)e x+2x+b,可得 g(x)在 x0 处的切线斜率为1+b,由题意可得(1+b) 1 ,可得 b ,则 a+b1 故答案为: 【点评】本题考查函数的对称性和导数的运用:求切线斜率,考查方程思想和运算能力,属于基础题三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题,每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一) 必考题:共 60 分17(12 分)已知数列a n为等差数列,a 7a 210,且

27、 a1,a 6,a 21 依次成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn ,数列 bn的前 n 项和为 Sn,若 Sn ,求 n 的值【分析】(1)设等差数列的公差为 d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;(2)求得 bn ( ),运用裂项相消求和可得 Sn,解方程可得 n【解答】解:(1)设数列a n为公差为 d 的等差数列,a7a 210,即 5d10,即 d2,a1,a 6,a 21 依次成等比数列,可得a62a 1a21,即(a 1+10) 2a 1(a 1+40),解得 a15,则 an5+2(n1)2n+3 ;(2)b

28、 n ( ),即有前 n 项和为 Sn ( + + ) ( ) ,由 Sn ,可得 5n4n+10,解得 n10【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于基础题18(12 分)某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间 x 与乘客等候人数 y 之间的关系,经过调查得到如下数据:间隔时间/分10 11 12 13 14 15等候人数 y/人23 25 26 29 28 31调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程,再用剩下的 2 组数据进行检

29、验检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ,再求与实际等候人数 y 的差,若差值的绝对值都不超过 1,则称所求方程是“恰当回归方程”(1)从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后,求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率;(2)若选取的是后面 4 组数据,求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)为了使等候的乘客不超过 35 人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x n,y n),其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: , 【

30、分析】(1)由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可;(2)首先求得回归方程,然后确定其是否为“恰当回归方程”即可;(3)结合(2)中求得的结论得到不等式,求解不等式即可确定间隔时间【解答】解:(1)设“从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后,剩下的 2 组数据不相邻”为事件 A,记这六组数据分别为 1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共 15 种,其中相邻的有 12,23,34,45,56,共 5 种,所以 (2)后面 4 组数据是:间隔时间( x 分钟) 12 13 14 15等候人数

31、(y 人) 26 29 28 31因为 ,所以 ,所以 当 x10 时, ,当 x11 时, ,所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”(3)由 1.4x+9.635,得 ,故间隔时间最多可设置为 18 分钟【点评】本题主要考查古典概型计算公式,线性回归方程及其应用等知识,属于中等题19(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PB PC,E 为线段 BC 的中点,F 为线段 PC 上的一点(1)证明:平面 PAE平面 BCP(2)若 AC 交 BD 于点 O,PAAB PB4,CF 3 FP,求三棱锥 FAOE 的体积【分析】(1)推导出 AEBC,PE

32、BC ,从而 BC平面 PAE,由此能证明平面PAE平面 BCP(2)推导出 PAAB ,PA BC,从而 PA平面 AOE,由此能求出三棱锥 FAOE 的体积【解答】证明:(1)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PBPC,AC 交 BD 于点 O,E 为线段 BC 的中点,F 为线段 PC 上的一点AEBC,PEBC,AEPEE,BC平面 PAE,BC平面 BCP,平面 PAE平面 BCP解:(2)PAAB PB4,PA 2+AB2PB 2,PAAB,BC平面 PAE,PA平面 PAE,PABC ,ABBCB,PA平面 AOE,CF3FP, 点 F 到平面 AOE

33、 的距离 d ,SAOE ,三棱锥 FAOE 的体积:V 【点评】本题考查面面平行的垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题20(12 分)设 D 是圆 O:x 2+y216 上的任意一点,m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线,E 是直线 m 与 x 轴的交点,点 Q 在直线 m 上,且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O上运动时,记点 Q 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程(2)已知点 P(2,3),过 F(2,0)的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,交直线 x8于点 M判定直线 PA,PM,PB

34、的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由【分析】(1)由题意设 Q( x,y),D(x 0,y 0),根据 2|EQ| |ED|,Q 在直线 m上,则椭圆的方程即可得到;(2)设出直线 l 的方程,和椭圆方程联立,利用根与系数的关系得到 k1+k3,并求得 k2的值,由 k1+k32k 2 说明直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列【解答】解:(1)设 Q(x,y),D(x 0,y 0),2|EQ| |ED|,Q 在直线 m 上,x 0x,|y 0| y|点 D 在圆 x2+y216 上运动,x 02+y0216,将式代入 式即得曲线 C 的方程为 x2+ y216,即 + 1,(2)直线 P

35、A,PM ,PB 的斜率成等差数列,证明如下:由(1)知椭圆 C:3x 2+4y248,直线 l 的方程为 yk(x2),代入椭圆方程并整理,得(3+4k 2)x 216k 2x+16k248 0设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线 PA,PM ,PB 的斜率分别为 k1,k 2,k 3,则有 x1+x2 ,x 1x2 ,可知 M 的坐标为(8,6k)k 1+k3 + +2k3 2k3 2k1,2k22 2k 1k 1+k32k 2故直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问

36、题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,该题是中档题21(12 分)已知函数 f(x)1+lnxax 2(1)讨论函数 f(x )的单调区间;(2)证明:xf(x ) ex+xax 3【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为证 ,令 g(x) ( x0),令 k(x) ,根据函数的单调性求出函数的最值,从而证明结论【解答】解:(1)f(x )的定义域是(0,+),f(x) ,故 a0 时,f(x )0,f(x)在(0,+)递增,当 a0 时,令 f(x )0,解得:x ,故 f(x)在(0 , )

37、递增,在( ,+)递减;(2)证明:要证 xf(x ) ex+xax 3,即证 xlnx ex,也即证 ,令 g(x) (x0),则 g(x) ,故 g(x)在(0,2)递减,在(2,+)递增,故 g(x) 最小值 g(2) ,令 k(x) ,则 k(x) ,故 k(x)在(0,e )递增,在( e,+)递减,故 k(x) 最大值 k (e) , ,故 k(x)h(x ),即 lnx ,故 xf(x) ex+xax 3【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,分类讨论思想,转化思想,是一道综合题(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如

38、果多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: (t 为参数),C2: ( m 为参数)(1)将 C1,C 2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)设曲线 C1 与 C2 的交点分别为 A,B,O 为坐标原点,求OAB 的面积的最小值【分析】(1)由 C1: (t 为参数)消去 t 得 C1:cos ysin (x2),由 C2: (m 为参数)消去 m 得 C2:y 24x,(2)联立 消去 x 得 y2sin4ycos8sin0,设 A(x 1,y 1),B(x 2, y2),由韦达定理得 y1+y

39、2 ,y 1y28,再利用 SOAB S AOF +SBOF |OF|y1|+ |OF|y2| |OF|(| y1|+|y2|)可得【解答】解:(1)由 C1: (t 为参数)消去 t 得 C1:cos ysin (x2),由 C2: (m 为参数)消去 m 得 C2:y 24x,(2)如图:联立 消去 x 得 y2sin4y cos8sin0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 y1+y2 ,y 1y28,又 C2 的焦点(1,0)S OAB S AOF +SBOF |OF|y1|+ |OF|y2| |OF|( |y1|+|y2|) |y1 y2|2 ,所以 sin1 时 S

40、OAB 取得最小值 2 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程,属中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|ax 1|2x+a|的图象如图所示(1)求 a 的值;(2)设 g(x)f(x+ )+f (x1),g(x)的最大值为 t,若正数 m,n 满足m+nt,证明: 【分析】(1)代入点的坐标,求出 a 的值即可;(2)求出 g(x)的解析式,求出 t 的值,根据基本不等式的性质证明即可【解答】解:(1)将(1,3)代入函数的解析式得:3|a 1| |2+a| ,解得:a2;(2)由(1)f(x )|2x 1|2x+2|,故 g(x)|2x3| |2x +3|2x32x 3|6,故 t6,故 m+n6,故 + ( + )( + ) + + + +2 ,当且仅当 2n3m 时“”成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质以及转化思想,是一道常规题