1、2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 AxR|0x4，Bx|x10，则 AB（ ）A （1，+） B0，+） C （1，4 D0 ，1）2 （5 分） 1i（ ）A B C D3 （5 分）已知向量 （2，1） ， （m +1，3m ） ，若 ，则| |（ ）A1 B3 C3 D74 （5 分）抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 A（6，y 0）是 C 上一点，|AF|2p，则 p（
2、;）A8 B4 C2 D15 （5 分）已知等比数列a n的首项为 1，且 a6+a42（a 3+a1） ，则 a1a2a3a7（ ）A16 B64 C128 D2566 （5 分）若 x1 是函数 f（x）x 3+x2+ax+1 的极值点，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为（ ）A1 B1 C5 D57 （5 分）某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ）A70 B75 C80 D858 （5 分）已知某几何体是由一个
3、三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C D第 2 页（共 21 页）9 （5 分）已知函数 f（x ）cos 2x+sin2（x+ ） ，则（ ）Af（x）的最小正周期为 ，最小值为Bf（x）的最小正周期为 ，最小值为Cf（x）的最小正周期为 2，最小值为Df（x）的最小正周期为 2，最小值为10 （5 分）已知数列a n的首项 a121，且满足（2n5 ）a n+1（2n3）an+4n216n+15，则a n的最小的一项是（ ）Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da 811 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中
4、，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）cos x+ln ，若 f（ ）+f （ ）+f（ ）1009 （a+b）ln （a0，b0） ，则 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8二、填空题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（1）a，则 f（a） 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，zx 2y 的最小值是 15 （5
5、 分）已知长方体的外接球的半径为 5，且长方体的表面积为 156，则这个长方体的所有棱长之和为 16 （5 分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B，C ，D，E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片：第 3 页（共 21 页）小赵说：只要不是 B 就行；小张说：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为 三、解答题本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步
6、骤第 1721题为必考题每道试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（1）求 B；（2）若 b1，求ABC 面积的最大值18 （12 分）从某工厂生产的某种零件中抽取 1000 个，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）求这 100 零件的性能指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）在性能指标值落在区间115，125） ，125 ，135） ，135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法
7、抽取 158 个零件，则性能指标值在125，135）的零件应抽取多少个？19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ACD45，CD2，PAC 是边长为 的等边三角形，PA CD（1）证明：平面 PCD平面 ABCD第 4 页（共 21 页）（2）在线段 PB 上是否存在一点 M，使得 PD平面 MAC？说明理由20 （12 分）设椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，下顶点为A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 ， AF1F2 为等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若
8、直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）（x1）e x（1）求函数 f（x ）的单调区间和零点；（2）若 f（x） axe 恒成立，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+y+a0，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 （ R）与 l
9、 的交点为 M，与 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的中点，求 a选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a 的取值范围第 5 页（共 21 页）2019 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 AxR|0x4，Bx|x10，则 AB（ ）A （1，+） B0，+） C （1，4 D0 ，
10、1）【分析】解不等式化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 AxR|0x40，4 ，Bx|x 10 （1，+） ，则AB0 ，+） ，故选：B【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题2 （5 分） 1i（ ）A B C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 1i 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）已知向量 （2，1） ， （m +1，3m ） ，若 ，则| |（ ）A1 B3 C3 D7【分析】利用向量垂直求出 m2，由此能求出结果【解答】解：向量 （2，1） ， （m +1
11、，3m ） ， ， 2（m+1）3m0，解得 m2， （3，6） ，| | 3 故选：B【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 A（6，y 0）是 C 上一点，第 6 页（共 21 页）|AF|2 p，则 p（ ）A8 B4 C2 D1【分析】利用抛物线的定义，通过|AF |2p，求解 p 即可【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0）的准线方程 x ，点 A 在 C 上，|AF|2 p，可得：6+ 2p，解得：p4故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线
12、的定义的应用，考查计算能力5 （5 分）已知等比数列a n的首项为 1，且 a6+a42（a 3+a1） ，则 a1a2a3a7（ ）A16 B64 C128 D256【分析】利用等比数列的通项公式可得 q，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 6+a42（a 3+a1） ，q 5+q32（q 2+1） ，解得 q32则 a1a2a3a7q 0+1+6q 212 7128故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）若 x1 是函数 f（x）x 3+x2+ax
13、+1 的极值点，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为（ ）A1 B1 C5 D5【分析】求得导数，利用函数的极值点求出 a，可得 f（x）的解析式，以及导数和切线的斜率，以及切线方程；【解答】解：函数 f（x ）x 3+x2+ax+1，f（x ）3x 2+2x+a，因为 x1 是函数 f（x）的极值点，所以 f（1）5+a0，得 a5，f（x）3x 2+2x5（3x +5） （x1）此时由不等式 f（x ）0，解得 x1，x ，第 7 页（共 21 页）所以 f（x）在区间（ ，1）单调递减，在区间（， ） ， （1，+）单调递增，x1 是函数 f（ x）的极小
14、值点，满足题意，所以 f（x） 3x2+2x5，所以切点为（0，f （0） ） ，切线斜率 k5，故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值的求法，考查转化思想以及运算能力，属于中档题7 （5 分）某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为（ ）A70 B75 C80 D85【分析】由该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，得到 m80，由此能求出得分的平均数不大于 81【解答】解：某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其
15、中m0，该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，m80，得分的平均数： 81，得分的平均数不可能为 85故选：D【点评】本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C D第 8 页（共 21 页）【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，结合图中数据计算它的体积【解答】解：根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，画出直观图如图所示，则该几何体的体积为VV 三棱柱 +V 三棱锥 113+ 1
16、132故选：B【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题9 （5 分）已知函数 f（x ）cos 2x+sin2（x+ ） ，则（ ）Af（x）的最小正周期为 ，最小值为Bf（x）的最小正周期为 ，最小值为Cf（x）的最小正周期为 2，最小值为Df（x）的最小正周期为 2，最小值为【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和最小值，得出结论【解答】解：函数 f（x ）cos 2x+sin2（x+ ） + 1+cos2x cos（2x + ）1+ cos2x+ sin2x1+ cos（2x ） ，故函数 f（x）的最小正周期为 ，最小
17、值为 1 ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和最小值，属于中档题第 9 页（共 21 页）10 （5 分）已知数列a n的首项 a121，且满足（2n5 ）a n+1（2n3）an+4n216n+15，则a n的最小的一项是（ ）Aa 5 Ba 6 Ca 7 Da 8【分析】本题可先将 4n216n+15 进行因式分解，再进行变形发现可以构造一个数列bn使问题简单化，然后通过求出数列b n的通项公式来求出数列a n的通项公式，再可以把数列a n的通项公式看成一个二次函数去考虑a n取最小值的项数【解答】解：由题意，可知：4n 216n+15（2n3
18、） （2n5） ，（2n5）a n+1（2n3）a n+（2n3） （2n5） ，等式两边同时除以（2n3） （2n5） ，可得：，可设 bn ，则 ，b n+1b n+1，即：b n+1b n1b 1 数列b n是以7 为首项，1 为公差的等差数列b n7+（n1）1n8，n N*a n（n8） （2n5）2n 221n+40可把 an 看成关于 n 的二次函数，则根据二次函数的性质，可知：当 n5 或 n6 时，a n 可能取最小值当 n5 时，a 525 2215+4015，当 n6 时，a 626 2216+4014当 n5 时，a n 取得最小值故选：A【点评】本题主要考查数列的转化
19、及构造新数列的思想，以及二次函数去判断数列取最值的问题，本题是一道较好的中档题11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）第 10 页（共 21 页）A B C D【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：dr，计算可得 3a4b，即可得到结果【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线为 y x，即为 axby0，圆（x2） 2+（y 1） 21 的圆心（2，1） ，半径为 1，由直线和圆相切可得， 1，化为 a2+b24a 24ab+ b2
20、，可得 3a4b， 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，注意渐近线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件：dr，考查运算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）cos x+ln ，若 f（ ）+f （ ）+f（ ）1009 （a+b）ln （a0，b0） ，则 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】由函数的性质 f（x）+f（x ）2ln 得：f（ ）+ f（ ）+f（）1009（a+b）ln2018ln ，由重要不等式得：a+b2， （a0，b0） ，则 （a+b） （ ） （2+） （2+2 ）2，则 的最小值为 2，得解【解答】解：因为函数 f（
21、x ）cos x+ln ，所以 f（x）+f（x ）cos（ x）+cosx+ln +ln 2ln ，设 Sf（ ）+f（ ）+ f（ ） ，第 11 页（共 21 页）所以 Sf（ ）+f（ ）+f（ ） ，+得：2S20182ln，所以 S2018ln，所以 f（ ）+f（ ）+ f（ ）1009（a+b）ln 2018ln，所以 a+b2， （a0，b0） ，则 （a+b） （ ） （2+ ） （2+2 ）2，则 的最小值为 2，故选：A【点评】本题考查了函数的性质及重要不等式，属中档题二、填空题本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）
22、已知函数 f（x ） ，若 f（1）a，则 f（a） 【分析】推导出 af（1） log4（1+1） ，从而 f（a）f（ ） ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（1）a，af（1）log 4（1+1） ，f（a）f（ ）4 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，zx 2y 的最小值是 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可第 12 页（共 21 页）【解答】解：由 zx2y 得 y x ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分
23、ABC）平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x ，过点 B 时，直线 y x 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 B（0，2） 代入目标函数 zx2y ，得 z022目标函数 zx2y 的最小值是2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法15 （5 分）已知长方体的外接球的半径为 5，且长方体的表面积为 156，则这个长方体的所有棱长之和为 64 【分析】设长方体的长宽高分别为 a，b，c，已知条件可以转化为2r10，2（ab+bc+ac）156，求 4（a+b+c）的问题【解答】解：设长方体的长宽高
24、分别为 a，b，c，则长方体的外接球的半径为 5，即长方体的体对角线长度为 10， 2r10，即 a2+b2+c2100且长方体的表面积为 156，所以 2（ab+bc+ac）156，这个长方体的所有棱长之和为 4（a+b+c）4 4第 13 页（共 21 页）4 41664，故填：64【点评】本题考查了长方体的外接球，长方体的表面积，棱长的关系，整体代入可以减少计算，平时要灵活运用属于中档题16 （5 分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映 A，B，C ，D，E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行；小张说
25、：B，C，D，E 都行；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为 D 【分析】由题意，小赵排除 B，小张排除 A，小李排除 C，小刘排除 E；从而求解【解答】解：由题意，小赵说：只要不是 B 就行，故排除 B；小张说：B，C，D，E 都行，故排除 A；小李说：我喜欢 D，但是只要不是 C 就行，故排除 C；小刘说：除了 E 之外，其他的都可以，故排除 E；故他们四人可以共同看的影片为：D 故答案为：D【点评】本题考查了合情推理的应用，属于基础题三、解答题本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明
26、过程或演算步骤第 1721题为必考题每道试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（1）求 B；第 14 页（共 21 页）（2）若 b1，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB ，可求 B （2）由余弦定理，基本不等式可求 ac ，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） 由余弦定理可得： ，2 分可得： ，3 分可得： sinAcosBcos BsinC+sinBco
27、sCsin（B+C ）sinA，可得：cosB ，B （2）由余弦定理：b 2a 2+c22accosB，可得：1a 2+c2 ac，7 分1a 2+c2 ac2ac ac，9 分可得：ac ，10 分S ABC acsinB ，可得ABC 面积的最大值 12 分【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）从某工厂生产的某种零件中抽取 1000 个，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）求这 100 零件的性能指标值的样本平均数 和样本方差 s2
28、（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）在性能指标值落在区间115，125） ，125 ，135） ，135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法抽取 158 个零件，则性能指标值在125，135）的零件应抽取多少个？第 15 页（共 21 页）【分析】 （1）利用频率分布直方图能求出这 100 零件的性能指标值的样本平均数和样本方差 s2（2）用分层抽样的方法抽取 158 个零件，利用频率分布直方图能求出性能指标值在125，135）的零件应抽取零件的个数【解答】解：（1）这 100 零件的性能指标值的样本平均数：1000.00210+1100.00910+1200.02210+
29、1300.03310+1400.02410+1500.00810+1600.00210130样本方差 s2（100130） 20.02+（110130） 20.09+（120130）20.22+（130130） 20.33+（140130） 20.24+（150130）20.08+（160130） 20.02150（2）在性能指标值落在区间115，125） ，125 ，135） ，135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法抽取 158 个零件，则性能指标值在125，135）的零件应抽取： 158 66（个） 【点评】本题考查样本平均数、样本方差、频数的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽
30、样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ACD45，CD2，PAC 是边长为 的等边三角形，PA CD（1）证明：平面 PCD平面 ABCD（2）在线段 PB 上是否存在一点 M，使得 PD平面 MAC？说明理由第 16 页（共 21 页）【分析】 （1）设 CD 的中点为 E，证明 CD平面 PAE 可得 CDPE，利用勾股定理证明 PEAE，得出 PE平面 ABCD，故而平面 PCD平面 ABCD；（2）取 PB 的中点 M，利用中位线定理即可证明 PD平面 MAC【解答】 （1）证明：取 CD 的中点
31、E，连接 PE，AE，ACD45，CD2，AC ，AD ，ACD 是等腰直角三角形，ADAC，AECD，又 PACD，PA AEA，CD平面 PAE，又 PE平面 PAE，CDPE PE 1，又 AE CD1，PA ，PE 2+AE2PA 2，PEAE，又 AE平面 ABCD，CD平面 ABCD，CD AE E，PE平面 ABCD，又 PE平面 PCD，平面 PCD平面 ABCD（2）当 M 为 PB 的中点时，PD 平面 MAC证明：连接 BD 交 AC 于 O，连接 OM，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点，又 M 是 PB 的中点，OM PD，又 OM平面 MAC，PD
32、 平面 MAC，PD平面 MAC第 17 页（共 21 页）【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题20 （12 分）设椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，下顶点为A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2 的距离为 ， AF1F2 为等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标【分析】 （1）由已知可得 a，b，c 的关系，结合点 O 到直线 AF2 的距离为 ，进一步得到 a，b，则椭圆方程可求；（2）当直线斜率不
33、存在时，求得直线方程为 x1；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程：ykx +m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得 M，N 的横坐标的和与积，由直线 AM 与 AN 的斜率之和为 2 可得 m 与 k 的关系，再由直线系方程得答案【解答】 （1）解：由AF 1F2 为等腰直角三角形，得 a ，又 O 到直线 AF2 的距离为 ，bc1，则 a ，则椭圆 C 的标准方程为 ；（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1x 2，y 2 y 1，由 ，得 x11，此时直线方程为 x1；当直线 l
34、的斜率存在时，设直线 l 方程：ykx+m，由 ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2（m 21）0第 18 页（共 21 页）， ，依题意：k AM+kAN 2，y 1kx 1+m，y 2kx 2+m， 2， ，则mk+1直线 l 方程为：y kx+mkxk+1k（x1）+1，过定点（1，1） 综上，直线 l 恒过定点（1， 1） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x1）e x（1）求函数 f（x ）的单调区间和零点；（2）若 f（x） axe 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）利用到导数研究函数的单调性，
35、解方程可得零点；（2）转化成两个函数的图象的位置关系，利用切线的斜率可得【解答】解：（1）函数 f（ x）（x1）e xf（x）e x+（x 1）e xxe x，由 f（x）xe x0 时，x 0，由 f（x）0 ，得 x0，f（x ）的增区间为0 ，+） ，当 f（x）0 时，x0，f（x ）的减区间为（，0，第 19 页（共 21 页）由 f（x）（x1）e x0，得 x1，函数 f（x）的零点是 x1（2）f（x） axe 恒成立，即 yf （x）的图象恒不在 yaxe 的图象下方，当它们相切时，设切点（x 0，y 0） ，x e a，且 a ，联立解得 x01，ae，由图可知 0aea
36、 的取值范围0，e【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+y+a0，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 （ R）与 l 的交点为 M，与 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的中
37、点，求 a【分析】 （1）由 x+y+a0 得 cos+sin+a0；由 消去参数 得x2+y22y80， 22 sin80第 20 页（共 21 页）（2） 的直角坐标方程为 y x，联立 得 M（ a， a） ，直线 y x 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+（y1） 29，再利用参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 x+y+a0 得 cos+sin+a0；由 消去参数 得 x2+y22y80， 22 sin 80（2） 的直角坐标方程为 y x，联立 得 M（ a， a） ，直线 y x 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+（y1） 29，整理得：t 2（1+a）t+ a2+
38、 80，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t21+a，因为 M 为 AB 的中点，所以 t1+t20，1+ a0，a1【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a 的取值范围【分析】 （1）分 3 种情况去绝对值变成解不等式组；（2）先利用绝对值不等式求出 f（x ）的最小值，再将不等式有解转化为最小值可得【解答】解：（1）当 a1 时，|x +1|+|x|3 或 或 ，第 21 页（共 21 页）解得：2x1，所以不等式 f（x ）3 的解集为（2，1） （2）f（x） |x+a|+|x|x +ax|a| ，即 f（x） min| a|，又 f（x）3 有解等价于 f（x） min3，| a|3，3a3所以 a 的取值范围是3a3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
