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2018年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷(文科)

1、第 1 页(共 20 页)2018 年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 AxR|1x5,Bx R|x2,则 AB 为( )A xR|1x2 BxR |x1 C xR|2x5 D xR|2x52 (5 分)设复数 z3+ i,且 iza+ bi(a,b R) ,则 a+b 等于( )A4 B2 C2 D43 (5 分)若向量 满足条件 3 与 共线,则 x的值为( )A2 B4 C2 D44 (5 分)已知命题 p,q, “p 为真”是“pq 为假”的(

2、)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 (5 分)已知 ,且 ,则向量 与向量 的夹角是( )A B C D6 (5 分)已知曲线 f(x ) 在点(1,f(1) )处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为( )A B C D7 (5 分)已知 x( ,0) ,cos x ,则 tan2x( )A B C D8 (5 分)已知某几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )第 2 页(共 20 页)A B C2cm 3 D4cm 39 (5 分)函数 f(x )sin(2x+ ) (| )的图象向左平移 个单位后关于原点对称,

3、则函数 f(x )在 0, 上的最小值为( )A B C D10 (5 分)已知 m、n 是不重合直线, 、 是不重合平面,则下列命题若 、 则 ;若 m、n 、m 、n 则 ;若 、 则 ;若 、m 则 m;m、n 则 mn 中,真命题个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11 (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f (x)+f(x)1,f (0)4,则不等式exf(x) ex+3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A (0,+) B (,0)(3,+)C (,0)(0,+ ) D (3,+ )二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)12

4、(5 分)若 f(x ) +a 是奇函数,则 a 第 3 页(共 20 页)13 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,则 zx +y 的最小值为 14 (5 分)双曲线 C: 与抛物线 y22px(p0)相交于 A,B两点,直线 AB 恰好经过它们的公共焦点 F,则双曲线的离心率为 15 (5 分)已知 A(3,0) ,圆 C:(x a1) 2+(y a) 21 上存在点 M,满足条件|MA|2| MO|,则实数 a 的取值范围为 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16 (12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn2a n 2(

5、n 2N*) (1)求数列a n的通项公式;(2)求数列S n的前 n 项和 Tn17 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA 1B1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,D 为棱 BC 的中点,AB AC,BC ,求证:(1)A 1C平面 ADB1;(2)BC 1平面 ADB118 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(1)求角 C 的大小;(2)若 c2,求ABC 的面积的最大值19 (12 分)已知过点 A(0,1)的椭圆 C: + 1(ab0)的左右焦点分别为F1、F 2,B 为椭圆上的任意一点,且 |BF1|,|F 1F2|, |BF2|成等差数列

6、(1)求椭圆 C 的标准方程;第 4 页(共 20 页)(2)直线 l:y k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围20 (12 分)已知函数 f(x ) ,g(x) 1()求函数 f(x )的单调区间;()对一切 x(0,+) ,2f(x)g(x )恒成立,求实数 m 的取值范围;()证明:对一切 x(0,+) ,都有 lnx 成立四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程21 (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴

7、的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB | ,求直线的倾斜角 的值选修 4-5:不等式选讲22已知函数 f(x )|x 3|+|x+m| (x R) (1)当 m1 时,求不等式 f(x)6 的解集;(2)若不等式 f(x )5 的解集不是空集,求参数 m 的取值范围第 5 页(共 20 页)2018 年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是

8、符合题目要求的1 (5 分)已知集合 AxR|1x5,Bx R|x2,则 AB 为( )A xR|1x2 BxR |x1 C xR|2x5 D xR|2x5【分析】根据交集的定义,进行求解即可【解答】解:集合 AxR |1x5,Bx R|x2,ABxR|1x 2故选:A【点评】本题考查了根据交集的定义进行求解的问题,是基础题目2 (5 分)设复数 z3+ i,且 iza+ bi(a,b R) ,则 a+b 等于( )A4 B2 C2 D4【分析】直接利用复数的乘法运算法则以及复数相等化简求解即可【解答】解:复数 z3+ i,且 iza+ bi(a,b R) ,可得1+3ia +bi, 解得 a

9、1,b3,a+b2故选:C【点评】本题考查复数相等、复数的乘法运算,考查计算能力3 (5 分)若向量 满足条件 3 与 共线,则 x的值为( )A2 B4 C2 D4【分析】先利用平面向量运算法则求出 ,再由向量共线的条件能求出 x【解答】解:向量 ,3 (6,0)+(2,1)(4,1) ,3 与 共线, ,解得 x4第 6 页(共 20 页)故选:B【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量运算法则的合理运用4 (5 分)已知命题 p,q, “p 为真”是“pq 为假”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题

10、真假判断的真值表,及充要条件的定义,可得结论【解答】解:若“p 为真” ,则 p 为假, “pq 为假” ,若“pq 为假” ,则可能 p 真 q 假,则“p 为真”不成立,故“p 为真”是“pq 为假”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查的知识是充要条件的判断,熟练掌握充要条件的定义是解答的关键5 (5 分)已知 ,且 ,则向量 与向量 的夹角是( )A B C D【分析】由 ,且 ,知 110,由此能求出向量 与向量 的夹角【解答】解: , 0, , , 1 ,1 0,cos , 故选:A第 7 页(共 20 页)【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用,是基础题解题时

11、要认真审题,仔细解答6 (5 分)已知曲线 f(x ) 在点(1,f(1) )处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为( )A B C D【分析】首先求出函数的导数,然后求出 f(1)1,进而求出 a 的值【解答】解:f(x ) ,曲线 f(x) 在点(1,f (1) )处切线的斜率为 1,f(1) 1解得:a 故选:D【点评】本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系,比较容易,属于基础题7 (5 分)已知 x( ,0) ,cos x ,则 tan2x( )A B C D【分析】由 cosx 的值及 x 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinx 的值,进而求出 tanx 的值,然后把所

12、求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后,将 tanx 的值代入即可求出值【解答】解:由 cosx ,x ( ,0) ,得到 sinx ,所以 tanx ,则 tan2x 故选:D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正切函数公式学生求sinx 和 tanx 时注意利用 x 的范围判定其符合8 (5 分)已知某几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体第 8 页(共 20 页)的体积是( )A B C2cm 3 D4cm 3【分析】由题目给出的几何体的三视图,还原得到原几何体,然后直接利用三棱锥的体积公式求解【解答】解:由三视图可知,该几何体为底面是正

13、方形,且边长为 2cm,高为 2cm 的四棱锥,如图,故 ,故选:B【点评】本题考查了棱锥的体积,考查了空间几何体的三视图,能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键,是基础题9 (5 分)函数 f(x )sin(2x+ ) (| )的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f(x )在 0, 上的最小值为( )A B C D【分析】由函数图象的平移得到 ,再由函数为第 9 页(共 20 页)奇函数及 的范围得到,求出 的值,则函数解析式可求,再由 x 的范围求得函数 f(x)在0, 上的最小值【解答】解:函数 f(x )sin(2x+ )图象向左平移 个单位得,由于函数图象关于原点对称

14、,函数为奇函数,又| , ,得 , ,由于 ,02x , ,当 ,即 x0 时, 故选:A【点评】本题考查了函数 yAsin ( x+)型函数的图象和性质,考查了三角函数值域的求法,是中档题10 (5 分)已知 m、n 是不重合直线, 、 是不重合平面,则下列命题若 、 则 ;若 m、n 、m 、n 则 ;若 、 则 ;若 、m 则 m;m、n 则 mn 中,真命题个数是( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据空间直线和平面,平面和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可【解答】解:垂直同一平面的两个平面不一定平行,故错误,若 m、n 、m 、n,则当 m,n 相交时

15、 ,当 m,n 不相交是, 不成立,故 错误, ;第 10 页(共 20 页)若 、 ,则 成立,故 正确;若 、m ,则 m 或 m;故错误;根据垂直于同一平面的两条直线平行可得若 m 、n,则 mn 成立,故正确故真命题有 2 个,故选:C【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断,根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键11 (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f (x)+f(x)1,f (0)4,则不等式exf(x) ex+3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A (0,+) B (,0)(3,+)C (,0)(0,+ ) D (3,+ )【分析】构造函数

16、 g(x)e xf(x)e x, (xR) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解:设 g(x)e xf(x)e x, (xR) ,则 g(x)e xf(x)+ exf(x)e xe xf(x)+f (x )1 ,f(x)+f(x )1,f(x)+f(x )10,g(x)0,yg(x)在定义域上单调递增,e xf(x)e x+3,g(x)3,又g(0)e 0f(0)e 0413,g(x)g(0) ,x0故选:A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在

17、答题纸上)第 11 页(共 20 页)12 (5 分)若 f(x ) +a 是奇函数,则 a 【分析】由题意可得 f(x )f(x)对于任意的 x0 都成立,代入已知函数可求 a的值【解答】解:f(x ) +a 是奇函数f(x) f(x )对于任意的 x0 都成立 1故答案为:【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及基本运算,属于基础试题,一般在原点有意义时用原点处的函数值为 0 求参数,若在原点处函数无定义,则如本题解法由定义建立方程求参数13 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,则 zx +y 的最小值为 2 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合函数图象求出 z 的最小值

18、即可【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:,由 ,解得 B(1,1) ,由 zx +y 得:y x +z,显然直线过 B 时 z 最小,z 的最小值是 2,故答案为:2第 12 页(共 20 页)【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题14 (5 分)双曲线 C: 与抛物线 y22px(p0)相交于 A,B两点,直线 AB 恰好经过它们的公共焦点 F,则双曲线的离心率为 1+ 【分析】用 a,b,c 表示出 A,B 两点坐标,代入抛物线方程得出 a,b,c 的关系,从而可得离心率【解答】解:由 F 为公共焦点可知 c ,即 p2c ,抛物线与双曲线都关于 x

19、轴对称,A,B 两点关于 x 轴对称,直线 AB 的方程为 xc ,代入双曲线方程得 y ,即 A(c , ) ,B(c, ) A,B 在抛物线上, 4c 2,又 b2c 2a 2,c 2a 22ac,即 e22e10,解得 e1+ 或 e1 (舍) 故答案为:1+ 【点评】本题考查了双曲线与抛物线的性质,属于中档题15 (5 分)已知 A(3,0) ,圆 C:(x a1) 2+(y a) 21 上存在点 M,满足条件|MA|2| MO|,则实数 a 的取值范围为 【分析】求出 M 在圆心为 D(1,0) ,半径为 2 的圆上,根据点 M 在圆 C 上,可得圆C 与圆 D 有公共点,从而可得不

20、等式,解不等式,即可求 a 的取值范围【解答】解:设 M(x,y) ,第 13 页(共 20 页)A(3,0) ,圆 C:(x a1) 2+(y a) 21 上存在点 M,满足条件|MA|2|MO|, 2 ,即 x2+y22x 30,点 M 在圆心为 D(1,0) ,半径为 r 2 的圆上又点 M 在圆 C:(xa1) 2+(y a) 21 上,圆 C 与圆 D 有公共点,圆 C 的圆心 C(a+1 , ) ,半径 r1,1|CD|3,1 2|a| 3,解得 或 ,实数 a 的取值范围为 故答案为: 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质、两圆位置关系的

21、合理运用三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16 (12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn2a n 2(n 2N*) (1)求数列a n的通项公式;(2)求数列S n的前 n 项和 Tn【分析】 (1)当 n1 时,求出 a12通过当 n2 时,a nS nS n1 ,得到递推关系式,说明数列a n是首项为 2,公比为 2 的等比数列然后求解通项公式(2)求出 Sn2a n22 n+12,利用分项求和求解即可【解答】解:(1)当 n1 时,S 12a 12,即 a12a 12,解得 a12当 n2 时,a nS nS n1 (

22、2a n2)(2a n1 2)2a n2a n1 ,即 an2a n1 ,所以数列a n是首项为 2,公比为 2 的等比数列所以:a n22 n1 2 n,n N第 14 页(共 20 页)(2)因为 Sn2a n22 n+12,所以 TnS 1+S2+Sn2 2+23+2n+12n 2n2 n+242n【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,数列求和,考查计算能力17 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA 1B1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,D 为棱 BC 的中点,AB AC,BC ,求证:(1)A 1C平面 ADB1;(2)BC 1平面 ADB1【分析】 (1)

23、如图,连接 A1B 交 AB1 于 M,可得 DMA 1C,即可证得 A1C平面ADB1,(2)三棱柱 ABCA 1B1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,可得 ADBB 1,即可得ADBC 1,在矩形 BCC1B1 中,由BDB 1B 1BC1,可得 即可得 BC1DB 1,BC 1平面 ADB1【解答】解:(1)证明:如图,连接 A1B 交 AB1 于 M,则 M 为 A1B 中点,连接 DM,D 为棱 BC 的中点,DMA 1C,又 A1C平面 ADB1,DM平面 ADB1A 1C平面 ADB1,(2)三棱柱 ABCA 1B1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,可得 ADBB 1D 为棱

24、 BC 的中点,ABAC,AD 面 BCC1B1,即 ADBC 1,在矩形 BCC1B1 中,BC ,第 15 页(共 20 页)DBB 1BB 1C1BDB 1B 1BC1,BB 1DBC 1B1,即BC 1DB 1,且 ADDB 1 D,BC 1平面 ADB1【点评】本题考查了空间线面平行的判定,线面垂直的判定,属于中档题18 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(1)求角 C 的大小;(2)若 c2,求ABC 的面积的最大值【分析】 (1)由正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ,结合 sinA0,可求 ,结合范围 C(

25、0, ) ,可求 C 的值(2)由余弦定理,基本不等式可求 ,当且仅当 ab 时等号成立,进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解:(1) ,由正弦定理可得: ,又sinBsin(A+C )sinAcos C+cosAsinC, ,sinA0,解得: ,C(0, ) , 第 16 页(共 20 页)(2)c2, ,由余弦定理可得: ,即: ,当且仅当 ab 时等号成立, ,当且仅当 ab 时等号成立,即ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中

26、档题19 (12 分)已知过点 A(0,1)的椭圆 C: + 1(ab0)的左右焦点分别为F1、F 2,B 为椭圆上的任意一点,且 |BF1|,|F 1F2|, |BF2|成等差数列(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)直线 l:y k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围【分析】 (1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出 a、c 的关系,再根据椭圆 C 过点 A,求出 a、b 的值,即可写出椭圆 C 的标准方程;(2)设 P(x 1,y 1) ,Q(x 2, y2) ,根据题意知 x12,y 10;联立方程消去 y,由方程的根与系数关

27、系求得 x2、y 2,由点 A 在以 PQ 为直径的圆外,得PAQ 为锐角, 0;由此列不等式求出 k 的取值范围【解答】解:(1) |BF1|,|F 1F2|, |BF2|成等差数列,2| F1F2| |BF1|+ |BF2| (| BF1|+|BF2|) ,由椭圆定义得 22c 2a,c a;又椭圆 C: + 1(ab0)过点 A(0,1) ,b1;第 17 页(共 20 页)c 2a 2b 2a 21 a2,解得 a2,c ;椭圆 C 的标准方程为 +y21;(2)设 P(x 1,y 1) ,Q(x 2, y2)联立方程 ,消去 y 得:(1+4k 2)x 2+16k2x+(16k 2

28、4)0;依题意直线 l:y k(x+2)恒过点(2,0) ,此点为椭圆的左顶点,x 12,y 10,由方程的根与系数关系可得,x 1+x2 ;可得 y1+y2k(x 1+2)+k (x 2+2)k(x 1+x2)+4k; 由,解得 x2 ,y 2 ;由点 A 在以 PQ 为直径的圆外,得 PAQ 为锐角,即 0;由 (2,1) , (x 2,y 21) , 2x 2y 2+10;即 + 10,整理得,20k 24k 30,解得:k 或 k ,实数 k 的取值范围是 k 或 k 【点评】本题主要考查椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,推理论证能力,考查了函数与方程思想,

29、数形结合思想,化归与转化思想,训练了利用平面向量数量积求解几何问题,是中档题20 (12 分)已知函数 f(x ) ,g(x) 1()求函数 f(x )的单调区间;第 18 页(共 20 页)()对一切 x(0,+) ,2f(x)g(x )恒成立,求实数 m 的取值范围;()证明:对一切 x(0,+) ,都有 lnx 成立【分析】 ()求出函数的导数,解关于导数的不等式,求出函数的单调区间即可;()问题可化为 对一切 x(0,+)恒成立,令 ,根据函数的单调性求出 h(x)的最小值,从而求出 m 的范围即可;()问题等价于 ,即证 ,令 ,根据函数的单调性证明即可【解答】解:() ,得由 f(

30、x)0,得 0xef(x)的递增区间是( 0,e) ,递减区间是(e,+)(4 分)()对一切 x(0,+) ,2f(x)g(x )恒成立,可化为 对一切 x(0,+)恒成立令 ,当 x(0,1)时 h(x)0,即 h(x)在(0,1)递减当 x(1,+)时 h(x )0,即 h(x)在(1,+)递增h(x) minh(1)4,m4,即实数 m 的取值范围是(,4(8 分)()证明: 等价于 ,即证由()知 , (当 xe 时取等号)令 ,则 ,易知 (x)在( 0,1)递减,在( 1,+ )递增 (当 x1 时取等号)f(x)(x )对一切 x(0,+)都成立第 19 页(共 20 页)则对

31、一切 x( 0,+) ,都有 成立(12 分)【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想,是一道综合题四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程21 (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB | ,求直线的倾斜角 的值【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标

32、 互化的化式,求出曲线 C 的直角坐标方程;(2)先将直 l 的参数方程是 (t 是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数 t1,t 2 的关系式,利用|AB| |t 1t 2|,得到 的三角方程,解方程得到 的值,要注意角 范围【解答】解:(1)cos x,siny , 2x 2+y2,曲线 C 的极坐标方程是 4cos 可化为:2 4cos,x 2+y24x,(x2) 2+y24(2)将 代入圆的方程(x2) 2+y24 得:(tcos1) 2+(tsin ) 24,化简得 t22tcos30设 A、B 两点对

33、应的参数分别为 t1、t 2,则 ,第 20 页(共 20 页)|AB| |t1t 2| ,|AB| , cos 0 ,) , 或 直线的倾斜角 或 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,本题难度适中,属于中档题选修 4-5:不等式选讲22已知函数 f(x )|x 3|+|x+m| (x R) (1)当 m1 时,求不等式 f(x)6 的解集;(2)若不等式 f(x )5 的解集不是空集,求参数 m 的取值范围【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式组,解出即可;(2)求出 f(x )的最小值,得到关于 m 的不等式,解出即可【解答】解:(1)原不等式等价于 ,或 或故不等式的解集是x| x2 或 x4 ;(2)|x3|+|x +m| (x 3 )(x +m)| m+3|,f(x) min|3+m| ,|m +3|5,m8,2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,转化思想,是一道中档题声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/7/4 10:34:45;用户:17746823402;邮箱:17746823402;学号:28261463