1、2018 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足（1+2i）z4+3i，则 的虚部是（ ）A1 B1 C2 D22已知集合 AxR| x2x 20 ，B1，0，1 ，则 AB（ ）A 1，0，1 B1，0 C0 ，1 D03 （5 分）已知 Ax| ylog 2（3x1），B y|x2+y24，则（ RA）B（ ）A2， B C D4 （5 分）甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是（ ）A1
2、 B C D5 （5 分）如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，20，则输出的 a（ ）A0 B14 C4 D26 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn2+a n，且 a11，则 S5（ ）A27 B C D317 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） （其中 A0， ）的部分图象如图所示，将函数 f（x ）的图象（ ）可得 的图象第 2 页（共 27 页）A向右平移 个长度单位B向左平移 个长度单位C向左平移 个长度单位D向右平移 个长度单位8 （5 分）设
3、 x，y ，z 为正实数，且 log2xlog 3ylog 5z0，则 ， ， 的大小关系是（ ）A B C D9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19， a2 为整数，且 SnS 5，则数列前 n 项和的最大值为（ ）A B1 C D10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，对任意 xR 都有 f（x+4）f（x）+2f（2） ，若函数满足 f（x）f（ x） ，且 f（1）3，则 f（2019）等于（ ）A2 B3 C2 D311 （5 分）如图，F 是抛物线 C：y 22px（p0）的焦点，直线 l 过点 F 且
4、与抛物线及其准线交于 A，B，C 三点，若 |BC|3|BF| ，|AB|9，则抛物线 C 的标准方程是（ ）Ay 22x By 24x Cy 28x Dy 216x12 （5 分）三棱锥 PABC 的一条棱长为 m，其余棱长均为 2，当三棱锥 PABC 的体积第 3 页（共 27 页）最大时，它的外接球的表面积为（ ）A B C D13 （5 分）已知函数 ，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是（ ）A B3e 2 ，3e C e 2 ，3e D二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，
5、满分 20 分，将答案填在答题卡上.14 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 60，且| |1，|2 + |2 ，则| | 15 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16 （5 分）设 P：实数 x、y 满足： ，q：实数 x、y 满足（x+1） 2+y2m，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数 m 的取值范围是 17 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的左、右顶点分别为 A、B，点 F为双曲线 C 的左焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C于
6、P，Q 点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 QF 于点 M，若 ，则双曲线 C的离心率为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，sin（AC）2cosAsinC第 4 页（共 27 页）（）求角 B 的大小；（）若 c2，求ABC 的面积19 （12 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB4，BC2，现将ACD 沿 AC 折起，使 D折到 P 的位置且 P 在面 ABC 的射影 E 恰好在线段 AB
7、 上（）证明：APPB ；（）求锐二面角 BPCE 的余弦值20 （12 分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响下面是以往公司对该产品的宣传费用 x（单位：万元）和产品营业额 y（单位：万元）的统计折线图（）根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 x 与产品营业额 y 的关系，请用相关系数加以说明；（）建立产品营业额 y 关于宣传费用 x 的归方程；（）若某段时间内产品利润 z 与宣传费 x 和营业额 y 的关系为 zx（y1.01x 0.09）+50，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润参考数据： ， ， ， ，参考公式：相关系数，回归方程 中斜率
8、和截距的最小二乘法计公式分别为第 5 页（共 27 页） ， （计算结果保留两位小数）21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆 C 与直线 2x+y4 相切于点 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：y kx+t 与椭圆 C 相交于 A、B 两点（A，B 不是长轴端点） ，且以 AB为直径的圆过椭圆 C 在 y 轴正半轴上的顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标22 （12 分）函数 f（x ）x 2（lnx1） ，（）求函数 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若 m0 时，有 mf（x）+e x0 成立，求 m 的取值范围选考题：共
9、10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程23 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t是参数） ，（）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C'，曲线 C'任一点为 M（x，y ） ，求点M 直线 l 的距离的最大值选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c 为正数，函数 f（x）|x +1|+|x5|（）求不等式 f（x ）10 的解集；第 6
10、 页（共 27 页）（）若 f（x）的最小值为 m，且 a+b+cm ，求证：a 2+b2+c212第 7 页（共 27 页）2018 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足（1+2i）z4+3i，则 的虚部是（ ）A1 B1 C2 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得 ，则答案可求【解答】解：由（1+2i）z 4+3i，得 z ， ，则 的虚部是 1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的
11、乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2已知集合 AxR| x2x 20 ，B1，0，1 ，则 AB（ ）A 1，0，1 B1，0 C0 ，1 D0【分析】求出集合 A，求出 A，B 的交集即可【解答】解：AxR| x2x20 x|1x 2 ，B1，0，1 ，则 AB0，1，故选：C【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题3 （5 分）已知 Ax| ylog 2（3x1），B y|x2+y24，则（ RA）B（ ）A2， B C D【分析】化简集合 A、B，根据补集与交集的定义计算即可【解答】解：Ax| ylog 2（3x1） x|3x10x|x （
12、 ，+） ；B y|x2+y24y| 2y 22，2 ； RA（， ，（ RA）B2， 故选：A第 8 页（共 27 页）【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题4 （5 分）甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是（ ）A1 B C D【分析】基本事件总数 n 6，甲排在左边包含的基本事件个数 m 2，由此能求出甲排在左边的概率【解答】解：甲、乙、丙三人站成一排照相，基本事件总数 n 6，甲排在左边包含的基本事件个数 m 2，甲排在左边的概率是 p 故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分
13、）如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，20，则输出的 a（ ）A0 B14 C4 D2【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前 a，b 的值，即可得出结论【解答】解：由 a12，b20，ab，则 b20128；由 ab，则 a1284；由 ba，则 a844；由 ab4，则输出 a4第 9 页（共 27 页）故选：C【点评】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题6 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn2+a n，且 a11，则 S5（ &n
14、bsp;）A27 B C D31【分析】S n2+a n，且 a11，可得 1a 1S 12+，解得 1n2 时，Sn2a n2（S nS n1 ） ，化为：S n2 （S n1 2） ，S 121，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：S n2+a n，且 a11，1a 1S 12+，解得 1n2 时，S n2a n2（S nS n1 ） ，化为：S n2 （S n1 2） ，S 121，S n2 ，即 Sn2 ，则 S52 ，故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） （其中
15、 A0， ）的部分图象如图所示，将函数 f（x ）的图象（ ）可得 的图象A向右平移 个长度单位B向左平移 个长度单位第 10 页（共 27 页）C向左平移 个长度单位D向右平移 个长度单位【分析】根据三角函数的图象确定函数的解析式，进行求解即可【解答】解：由图象得 A1， ，即 T，由 T ，则 2，即 f（x）sin（2x +） ，f（ ）sin（2 +）1，sin（ +）1，即 + +2k，得 +2k +2k， ，当 k0 时， ，则 f（x）sin（2x + ） ，sin（ 2x + + sin2（x ）+ ，即将函数 f（x）的图象向右平移 个长度单位可得 的图象，故选
16、：D【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键8 （5 分）设 x，y ，z 为正实数，且 log2xlog 3ylog 5z0，则 ， ， 的大小关系是（ ）A B C D【分析】设 log2xlog 3ylog 5zk，由 x，y ，z 为正实数，且 log2xlog 3ylog 5z0，可得 x，y，z（0，1） ，k0x2 k，y3 k，z5 k可得2 k 1， 3k1 ， 5 k1 ，根据函数 f（x ）x k1 在（0，+）上单调递减即可第 11 页（共 27 页）得出【解答】解：设 log2xlog 3yl
17、og 5zk，x，y，z 为正实数，且 log2xlog 3ylog 5z0，x，y，z （0，1） ，k0x2 k，y3 k，z 5 k则 2 k1 ， 3 k1 ， 5k1 ，根据函数 f（x） xk1 在（0，+ ）上单调递减，可得： 故选：C【点评】本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19， a2 为整数，且 SnS 5，则数列前 n 项和的最大值为（ ）A B1 C D【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性
18、求出结果【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19 ，a 2 为整数，且 SnS 5，则：a 50，a 60所以： ，解得： ，由于：a 2 为整数，所以：d2则：a n112n所以： ，所以：T n + ） ， ，令 ，第 12 页（共 27 页）由于：函数 f（x ） 的图象关于（4.5，0）对称及单调所以：0b 1b 2b 3b 4，b 5b 6b 7b 80bnb 41故： 故选：A【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用10 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，对任意 xR 都有 f（
19、x+4）f（x）+2f（2） ，若函数满足 f（x）f（ x） ，且 f（1）3，则 f（2019）等于（ ）A2 B3 C2 D3【分析】f（x ）f（x ） 再把 2 代入 f（x+4）f（x）+2f（2） ，可得函数周期为4；就把 f（2011）转化为 f（3）f（1）2f （2）f（ 1）+2f （2） ，即可求解【解答】解：f（x ）f（x） ，对任意 xR，都有 f（x+4）f（x ）+2 f（2） ，f（2+4） f（2）+2 f（2） ，f（2）+f（2）0，2f（2）0，f （2）0，f（x+4）f（x ）+2 f（2） f（x） 即函数周期为 4f（2019）f
20、（4504+3）f（3）f （1+4）f（1）+2f （2）f（1）+2f （2）3故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11 （5 分）如图，F 是抛物线 C：y 22px（p0）的焦点，直线 l 过点 F 且与抛物线及其准线交于 A，B，C 三点，若 |BC|3|BF| ，|AB|9，则抛物线 C 的标准方程是（ ）第 13 页（共 27 页）Ay 22x By 24x Cy 28x Dy 216x【分析】设|BF|t，则| AF|9t ，|BC |3t，设准线与 x 轴的交点为 P，|FP|p，A，B在准线
21、上的射影分别为 D，E，分别在三角形 CFP 和三角形 CAD 中，运用相似三角形的性质，对应边成比例，解方程可得 p 的值，即可得到所求抛物线的方程【解答】解：设|BF|t，则| AF|9t ，|BC |3t，设准线与 x 轴的交点为 P，| FP|p，A，B 在准线上的射影分别为 D，E，由抛物线的定义可得|BE| BF|t，|AD|AF|9t，在CPF 中， ，即为 ；在ACD 中， ，即 ，解得 t3，可得 p4，则抛物线的方程为 y28x ，故选：C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三角形的相似的性质以及运算能力，属于中档题12 （5 分）三棱锥 PABC 的一条棱长为
22、m，其余棱长均为 2，当三棱锥 PABC 的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A B C D【分析】由题意，三棱锥 PABC 的一条棱长为 m，其余棱长均为 2，可看成是菱形第 14 页（共 27 页）PABC，以 AC 对折可得；当面 ACPABC 时，可得三棱锥 PABC 的体积最大，此时高为 底面为ABC，求解外接圆，利用球心和圆心构造直角三角形求解即可【解答】解：由题意，三棱锥 PABC 的一条棱长为 m，其余棱长均为 2，可看成是菱形 PABC，即 PAPCABACBC2，PD m以 AC 对折可得；当面 ACPABC 时，可得三棱锥 PABC 的体积最大，此时高为
23、底面为ABC，其外接圆半径 r ，设外接球的半径为 R，球心与圆心的距离为 x，可得： x2+r2R 2由解得： R2外接球的表面积 S4R 2 故选：B【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养13 （5 分）已知函数 ，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是（ ）A B3e 2 ，3e C e 2 ，3e D【分析】在函数 f（x ）与 g（x）上分别设出关于直线 y1 对称的点的坐标，利用消参法，转化为关于 a 的表达式，构造函数，求函数的导数研究函数的最值进行求解即可
24、【解答】解：设（a，b）是函数 f（x ）上的点，则 ae 2，b2lna，则点（a，b）关于 y1 对应的点为（a，2b）在 g（x）上，即 2bam+1 有解，即 12lnaam，当 m0 时，不满足条件第 15 页（共 27 页）当 m0 时，m ，设 h（a） ，则 h（a） ，当 ae 2 时，1lna2，则，22lna 4，即由 h（a）0，得3+2lna 0，得 lna ，即 ae 2，时，函数为增函数，由 h（a）0，得3+2lna 0，得 lna ，即 a 时，函数为减函数，即当 a 时，函数 h（a）取得极小值同时也是最小值 h（ ） 2，又 h（e 2） ，h（ ） 3e
25、，函数 h（a）的最大值为3e，即 h（a）的取值范围是 ，则 m 的取值范围是 ，故选：D【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据点的对称性，建立方程关系，构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上.14 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 60，且| |1，|2 + |2 ，则| | 2 【分析】由题意可得|2 + | 2，由此求得| |的值【解答】解：向量 ， 的夹角为 60，且| |1，|2 + | 2第 16 页（共 27 页），求得| |2，故答案为：2【点评】本题主要考查两个
26、向量的数量积的定义的应用，求向量的模的方法，属于基础题15 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，路三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：三视图对应的几何体的直观图如图：是一个圆柱的 与一个三棱锥的组合体几何体的体积为： 故答案为： 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图是解题的关键第 17 页（共 27 页）16 （5 分）设 P：实数 x、y 满足： ，q：实数 x、y 满足（x+1） 2+y2m，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数 m 的取值范围是 【分析
27、】根据充分条件和必要条件的定义进行转化，结合线性规划对应区域的关系进行转化求解即可【解答】解：若p 是q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件，即 q 对应的平面区域在 p 对应平面区域内，作出不等式组对应的平面区域，（x+1） 2+y2m 对应的圆心为（ 1，0） ，半径 r ，由图象知当圆与 xy 0 相切时，圆心到直线的距离 d ，则 m ，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 0m ，即实数 m 的取值范围是 ，故答案为：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合线性规划的知识进行转化是解决本题的关键注意要利用数形结合进行求解第 18 页（共 27 页）17 （5
28、 分）已知双曲线 （a0，b0）的左、右顶点分别为 A、B，点 F为双曲线 C 的左焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C于 P，Q 点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 QF 于点 M，若 ，则双曲线 C的离心率为 5 【分析】先求出点 P，Q 的坐标，再求出 |MF|，求出直线 PB 的方程，可得|OE| ，根据对应边成比例，即可得到 5ac，即可求出离心率【解答】解：如图：F（c ，0） ，A（a，0） ，B （a，0 ） ， 1，解得 y ，P（c， ） ，Q（c， ） ，|FQ | ， 2 ，|MF | |FQ| ，k PB ，直线 PB
29、 的方程为 y （x a） ，令 x0，则 y ，即|OE | ，FMEO ， ，即 ，即 5ac，第 19 页（共 27 页）e 5，故答案为：5【点评】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及双曲线的简单性质，和直线方程，属于中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，sin（AC）2cosAsinC（）求角 B 的大小；（）若 c2，求ABC 的面积【分析】 （）将 变形可得 ，进而可得，即 ，结合 B 的范围分析可得答案；（）根据题意，
30、由 sin（A C）2cos AsinC 可得 sinAcosC3cosAsinC，根据正弦定理和余弦定理得， ，即 b22a 22c 2，进而变形可得 c、a 的值，由三角形面积公式计算可得答案【解答】解：（）根据题意，由 ，得 ，因为在ABC 中， ，所以 ，即 又因为在ABC 中，B（0， ） ，第 20 页（共 27 页）所以 ， ，（）由 sin（AC）2cos AsinC，得 sinAcosC3cos AsinC根据正弦定理和余弦定理得， ，即 b22a 22c 2又由（）知 ，所以 又 c2，解得 ，则ABC 的面积 S acsinB 【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌
31、握正弦定理和余弦定理的应用19 （12 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB4，BC2，现将ACD 沿 AC 折起，使 D折到 P 的位置且 P 在面 ABC 的射影 E 恰好在线段 AB 上（）证明：APPB ；（）求锐二面角 BPCE 的余弦值【分析】 （）推导出 PEBC，ABBC ，从而 BC平面 PAB，进而 BCAP，再由APCP，得 AP平面 PBC，由此能证明 APPB（）由射影定理知 AE1， 以 E 为原点，建立空间直角坐标系 Exyz 利用向量法能求出锐二面角 BPCE 余弦值【解答】证明：（）由题知 PE平面 ABC，又 BC平面 ABC，PEBC，又 ABBC 且
32、ABPEE，BC平面 PAB，又 AP平面 PAB，BCAP，又 APCP 且 BCCPC，AP平面 PBC，又 PB平面 PBC，所以 APPB解：（）在 RtPAB 中，AP2，AB 4，由射影定理知 AE1， 以 E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系Exyz第 21 页（共 27 页）则 E（0，0，0） ， ，B（0，3，0） ，C（2，3， 0） ， ，设 是平面 EPC 的一个法向量，则 ， ，即 ，即 ，取 ，所以 ；设 是平面 PBC 的一个法向量，则 ， ，即 ，即 ，取 ，所以 ；设锐二面角 BPCE 的大小为 ，则 ，所以锐二面角 BPCE 余弦值为 【点评】本题考查线
33、线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响下面是以往公司对该产品的宣传费用 x（单位：万元）和产品营业额 y（单位：万元）的统计折线图第 22 页（共 27 页）（）根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 x 与产品营业额 y 的关系，请用相关系数加以说明；（）建立产品营业额 y 关于宣传费用 x 的归方程；（）若某段时间内产品利润 z 与宣传费 x 和营业额 y 的关系为 zx（y1.01x 0.09）+50，应投入
34、宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润参考数据： ， ， ， ，参考公式：相关系数，回归方程 中斜率和截距的最小二乘法计公式分别为 ， （计算结果保留两位小数）【分析】 （）由折线图中数据和参考数据求得相关系数，即可判断线性相关程度以及模型拟合情况；（）计算平均数与回归系数，写出回归直线方程；（）由利润函数求得 z 的最大值以及对应 x 的值【解答】解：（）由折线图中数据和参考数据得：，第 23 页（共 27 页）；因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；（）计算 ，所以 y 关于 x 的回归方程
35、为 y0.41x+3.69；（）由 zx（y 1.01x 0.09 ）+50 0.6x 2+3.6x+50，可得 x3 时，z max55.4；即投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润为 55.4 万元【点评】本题考查了线性回归方程以及相关系数的应用问题，是中档题21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆 C 与直线 2x+y4 相切于点 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：y kx+t 与椭圆 C 相交于 A、B 两点（A，B 不是长轴端点） ，且以 AB为直径的圆过椭圆 C 在 y 轴正半轴上的顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标【分析】 （）由
36、题意设椭圆的标准方程为 （m0，n0 且 mn） 把 P 的坐标代入椭圆方程，可得关于 m，n 的方程，再联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0 得关于 m，n 的另一方程，联立求得 m，n 的值，则椭圆方程可求；（）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系结合kADkBD 1 求得 t，即可证明直线 l 过定点，并求得定点坐标【解答】 （）解：由题意设椭圆的标准方程为 （m0，n0 且 mn） 第 24 页（共 27 页） 在椭圆上， 由 ，得（n 2+4m2）x 216m 2x+（16n 2）m 20，椭圆 C 与直线 2x+y4 相切，（16m 2） 24（n
37、 2+4m2） （16n 2）m 20，即 n2+4m216 联立知 n24，m 23故所求椭圆方程为 ；（）证明：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，联立 ，得（3k 2+4）x 2+6ktx+3（t 24）0由36k 2t2 12（3k 2+4） （t 24）0，得 4+3k2t 20， ，以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点 D（0，2） k ADkBD1 ，即 ，y 1y2+x1x22（y 1+y2）+40，即 y1y2+x1x22k（x 1+x2） +44t 0，即 则 7t216t+40，解得 或 t2当 t2 时，直线 ykx+2 过定点（0，2） ，
38、与已知矛盾；当 时，直线 过定点 ，满足 4+3k2t 20直线 l 过定点，定点坐标为 第 25 页（共 27 页）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题22 （12 分）函数 f（x ）x 2（lnx1） ，（）求函数 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若 m0 时，有 mf（x）+e x0 成立，求 m 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，计算 f（1） ，求出切线方程即可；（）问题转化为 mx（lnx1） ，令 g（x）mx（lnx1） ，令 ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可【解答】解：（）f'（x ）
39、2x（lnx1）+x2xlnx x，f'（1）1，又 f（1）1 所以在点（1 ，f （1） ）处在切线方程为 x+y0；（）由于函数 yf（x）定义域为（0，+） ，所以令 g（x）mx（lnx1）则 g'（x ）mlnx，可得当 x（0，1）时，g'（x）0，当 x（1，+）时，g'（x）0所以 g（x） ming（1）m ，令 ，则 ，可得当 x（0， 1）时，h'（x）0，当 x（1，+ ）时，h'（x）0，所以 h（x） maxh（1）e因此，由me 得，me所以，m 的取值范围为（0， e【点评】本题考查了切线方程，函数的单调性、最值
40、问题，考查导数的应用，是一道综合题选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程23 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的第 26 页（共 27 页）原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t是参数） ，（）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C'，曲线 C'任一点为 M（x，y ） ，求点M 直线 l 的距离的最大值【分析】 （）直线 l 的参数方程消去参数，能求出直线 l
41、的普通方程；由曲线 C 的极坐标方程，能求出曲线 C 的直角坐标方程（）由曲线 C： ，经过伸缩变换 得到曲线 C'的方程 ，令 （ 是参数） ，根据点到直线的距离公式可得点 M 到直线 l 的距离的最大值【解答】解：（）直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ，直线 l 的普通方程为 x2y140，曲线 C 的极坐标方程是 ， 2+32sin24，故曲线 C 的直角坐标方程为 （）由（）得曲线 C： ，经过伸缩变换 得到曲线 C'的方程为 ，曲线 C'的方程 ，可以令 （ 是参数） ，根据点到直线的距离公式可得：，第 27 页（共 27 页）故点 M 到直线 l 的距
42、离的最大值为 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c 为正数，函数 f（x）|x +1|+|x5|（）求不等式 f（x ）10 的解集；（）若 f（x）的最小值为 m，且 a+b+cm ，求证：a 2+b2+c212【分析】 （I）分段讨论 x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；（II）求出 m 的值，根据基本不等式得出结论【解答】解：（）f（x ）|x+1|+|x5| 10，等价于 或 或 ，解得3x1 或1x 5 或 5x 7，所以不等式 f（x ）10 的解集为 x|3x7（）因为 f（x ）|x +1|+|x 5|（x+1）（x5）| 6，当且仅当（x+1） （x 5）0 即1x 5 时取等号所以 m6，即 a+b+c6a 2+b22ab，a 2+c22ac，c 2+b22bc，2（a 2+b2+c2）2ab+2 ac+2bc，3（a 2+b2+c2）a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（a+ b+c） 2 36a 2+b2+c212当且仅当 abc2 时等号成立【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题
