1、2018 年广西南宁市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，22 （5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则 （ ）A B C D13 （5 分）已知 a2ln3，b 20.1 ，c ln 8，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Babc Cbac Dc ab4 （5 分）如图为某市 2017 年 3 月 2127
2、 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差5 （5 分）下列函数中，在其定义域内既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）Aye |x|第 2 页（共 26 页）ByCy tanxDyx 3+x26 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D107 （5 分
3、） “直线 ykx+2 与曲线 x2+y210 没有公共点 ”是“ ”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1、F 2，点 P（5，1） ，满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D9 （5 分）若 l，m，n 是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（ ）Al，m，lm Blm，mlCl，m，l，m Dln，mnl10 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S44， S515，则 a2 的最大
4、值是（ ）A2 B1 C0 D111 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）第 3 页（共 26 页）A2 B3 C4 D512 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的表面积是（ ）A80 B50 C50 D75二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知数列a n满足 an+3an1 0，a 581，则 S5 的值是 第 4 页（共 26 页）14 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于 1
5、5 （5 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c若 sinB2sinC且a ，A ，则 c 16 （5 分）若函数 （0）的图象的一个对称中心为，若距离 M 最近的一条对称轴为 ，则当 的值为 17 （5 分）已知抛物线 W： y24x 的焦点 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线 W的一个交点，点 A（1，0） ，当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18已知ABC 中，角 A，
6、B，C 的对边分别是 a，b，c， 2acos2 a+bsinA，c6，S ABC9（1）求 a 的值；（2）若点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE4，AFCE，求 AF 的长19如图，四棱锥 PABCD 中，ADCD2， PAPC， ，ABAD，平面 PAD平面ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值20随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中 y 表示“反应距离” ，指的是驾驶员从作出第 5 页（共 26 页）反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：
7、米） ，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米 2/秒 2） 519.7143 43.1727 22.2857332350 161.4286 28486 618.5575其中 ，i1，2， ，7， （1）由散点图判断：yax +b 和 哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x 1，x 1） ， （x 2，x 2） ， （x n，x n） ，其中回归方程
8、 y+ x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 第 6 页（共 26 页）21已知左焦点为 F（1，0）的椭圆 C： （ab0）经过点 A（2，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 C 分别交于 M、N （M 、N 在 x 轴异侧） ，M 关于长轴对称的点为 B（不与 N 重合） ，直线 x4 分别与 x 轴，AB，AN 交于 T、P、Q若TQFTFP，求证：直线 l 经过定点22已知函数 f（x ）（x ）e x（1）当 a1 时，求函数 f（ x）的图象在 x1 处的切线方程；（2）求证：当 0a1 时，函数 f（x ）有且只有一个极小值点请考生在 22、23 两
9、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中设极点 O 到直线 l 的距离为 2，由 O 点向直线 l 作垂线 OA，垂足为 A，射线 OA 的极坐标方程为 （ 0） （1）求直线 l 的极坐标方程；（2）以极点 O 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系若点 P 在直线 l 上，将向量 按逆时针旋转 ，再伸缩为原来的 （0）倍得到向量，使得 求动点 M 的轨迹 C 的直角坐标方程选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x ）|2x +1| x2|1，不等式 f（x） k 的解集为5，1（1）求实数 k 的值；（2）
10、若正数 a，b 满足 ，求 2a+4b 的最小值第 7 页（共 26 页）2018 年广西南宁市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，2【分析】先解出集合 Bx| 2x2，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| 2x 2，且 Ax Z|x1；AB0，1，2故选：C【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算2 （5 分）复数 z
11、 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则 （ ）A B C D1【分析】由已知求得 z，代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由图可知，z2+i，则 ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）已知 a2ln3，b 20.1 ，c ln 8，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Babc Cbac Dc ab【分析】直接利用对数函数、指数函数的单调性求解即可【解答】解：a2ln3，0 b2 0.1 2 01，c ln 8 3ln2，又 ln31ln2，2ln33ln22，第 8 页（共
12、26 页）acb故选：A【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，理解其单调性是解决此题的关键，是基础题4 （5 分）如图为某市 2017 年 3 月 2127 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差【分析】由空气质量指数（AQI）柱形图得空气质量不是良好的天数为 6 天【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得：在
13、 A 中，空气质量优良的概率为 p ，故 A 错误；在 B 中，空气质量不是良好的天数为 6 天，故 B 正确；在 C 中，这周的平均空气质量指数大于 100，属不同程度的污染，故 C 错误；在 D 中，前三天 AQI 的方差小于后四天 AQI 的方差，故 D 错误故选：B【点评】本题考查柱形图的应用，考查概率、频数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题5 （5 分）下列函数中，在其定义域内既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）第 9 页（共 26 页）Aye |x|ByCy tanxDyx 3+x2【分析】运用奇偶性的定义，对选项一一判断
14、，即可得到所求函数【解答】解：对于 A，y e |x|的定义域为 R，f （x）f （ x） ，可得 f（x）为偶函数；对于 B，x0， x 0，可得 f（x）1（ ） x 12 xf（x） ，同样 x0，x 0，可得 f（x）2 x 1f（x ） ，可得 f（x）为奇函数；对于 C，ytanx 为奇函数；对于 D，yf（x ）x 3+x2，定义域为 R，f （x）x 3+x2f （x ） ，且 f（x）f（x） ，则 f（x）既不是奇函数也不是偶函数故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简运算能力，属于基础题6 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+
15、2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D10【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数 zx+2y 过点 A 时，z 取得最小值；由 ，求得 A（2，1） ，z 的最小值为 2+214故选：A第 10 页（共 26 页）【点评】本题看出来线性规划的简单应用问题，是基础题7 （5 分） “直线 ykx+2 与曲线 x2+y210 没有公共点 ”是“ ”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直线 ykx+2 与曲线 x
16、2+y210 没有公共点 1，解出即可判断出结论【解答】解：直线 ykx+2 与曲线 x2+y210 没有公共点 1“直线 ykx+2 与曲线 x2+y210 没有公共点”是“ ”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8 （5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1、F 2，点 P（5，1） ，满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得 a 的值，结合双曲线的定义分析可得 P 在双曲线上，将 P 的坐标代入双
17、曲线的标准方程可得 b 的值，计算可得 c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案第 11 页（共 26 页）【解答】解：双曲线 C 的方程为 ，则 a3，又由点 P（5，1）满足|PF 1|PF 2|6，则 P 在双曲线上，则有 1，解可得：b ，则 c ，故双曲线的离心率 e ；故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质与双曲线的定义，注意 P 在双曲线上9 （5 分）若 l，m，n 是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（ ）Al，m，lm Blm，mlCl，m，l，m Dln，mnl【分析】从空间中的线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理入手，
18、判断四个命题的真假，可以借助于图形【解答】解：对于 A，la，m，lm ，故正确；对于 B，lm，ml 或 l，故错；对于 C，l，m，l， m 与 平行或相交，故错；对于 D，ln，mn l 与 位置关系不定，故错故选：A【点评】该题主要考查了空间几何中线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理，属于中档题10 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S44， S515，则 a2 的最大值是（ ）A2 B1 C0 D1【分析】根据条件利用削元法转化为关于 d 的不等式，进行求解即可【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 44，S 515，第 12
19、 页（共 26 页） ，即 ，得 a132d，32d+ d1，即 d4，d4，则 a2a 1+d32d+ d3d3+ （4）341，即 a2 最大值是1，故选：D【点评】本题主要考查等差数列前 n 项和公式的应用，利用消元法进行转化是解决本题的关键11 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案第 13 页（共 26 页）【解答】解：当 m16 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m8，n2；当 m8 时，不满足 cosm0，执行循
20、环体后，m4，n3；当 m4 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m2，n4；当 m2 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m1，n5；当 m1 时，满足 cosm0，故输出的 n5，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答12 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的表面积是（ ）A80 B50 C50 D75【分析】根据三视图知该三棱锥是以俯视图为底面的三棱锥，结合图中数据求得它的表面积【解答】解：根据三视图知，该三棱锥是以俯视图为底面的三棱锥，且侧面 PAC底面 ABC，作 POAC，垂足为 O，连接 OB
21、，过 O 作 ODAB 于点 D，如图所示；第 14 页（共 26 页）结合图中数据，求得它的表面积是SS ABC +2SPAB +SPAC 105+2 5 5 sin + 10550+25 故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知数列a n满足 an+3an1 0，a 581，则 S5 的值是 61 【分析】根据条件得到数列是等比数列，结合等比数列的通项公式求出首项即可得到结论【解答】解：由 an+3an1 0，得 an3a n1 ，即 3，则数列是公比 q3 的等比数列，由 a5
22、81，得 a5a 1q4a 18181，则首项 a11，则 S5 61，故答案为：61【点评】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的计算，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键14 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于 2 【分析】利用平面向量运算法则推导出 （2，4）（2，2m）（4，42m ） ，由 与 2 平行，列方程能求出 m【解答】解：向量 （2，4） ， （1，m ） ， （2，4）（2，2m ）（4，42m ） ， 与 2 平行，第 15 页（共 26 页） ，解得 m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标
23、运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15 （5 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c若 sinB2sinC且a ，A ，则 c 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及二元二次方程组的解法求出结果【解答】解：在ABC 中，sinB2sinC 利用正弦定理得：b2c由于：a ，A ，则：a 2b 2+c22bc cosA，整理得：14b 2+c2+bc，所以： ，整理得：144c 2+c2+2c27c 2，解得：c ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，方程组的解法的应用16 （5 分）若
24、函数 （0）的图象的一个对称中心为，若距离 M 最近的一条对称轴为 ，则当 的值为 3 【分析】根据对称中心和相邻对称轴之间的距离为 ，可得周期，即可求解 的值【解答】解：函数 2sin（ ） ，对称中心为 ，距离 M 最近的一条对称轴为 ，可得： ，即 T ，那么： 3故答案为：3【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解第 16 页（共 26 页）决本题的关键17 （5 分）已知抛物线 W： y24x 的焦点 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线 W的一个交点，点 A（1，0） ，当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是 1 【分析
25、】设 P 的坐标为（4t 2，4t） ，根据点与点的距离和基本不等式即可求出 t 的值，问题得以解决【解答】解：设 P 的坐标为（4t 2，4t） ，抛物线 W：y 24x 的焦点 F（1，0） ，A（1，0） ，|PF| 2（ 4t21） 2+16t2（4t 2+1） 2，|PA| 2（ 4t2+1） 2+16t2，（ ） 2 1+1+ 1+1 2，当且仅当 t 时取等号，即当 最小时，t ，此时 P（1，2） ，此时直线 PF 的方程为 x1，圆心 O 到直线 PF 的距离是 1，故答案为：1【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算第 17 页（共 26
26、 页）能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， 2acos2 a+bsinA，c6，S ABC9（1）求 a 的值；（2）若点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE4，AFCE，求 AF 的长【分析】 （1）可得 a（1+cosB）a+bsin AacosBbsin A02RsinA cosB2Rsin BsinA0tanB1，B ，由 SABC 9，可得 a 3 （2）在ABC 中，由余弦定理可得 AC2AB 2+BC22AB BCcosB，AC3 ，在AEC
27、中，AE4，AC3 ， ，EC 由正弦定理可得， sinACE ，饥渴的即可得 AF【解答】解：（1）2acos 2 a+ bsinA，a（1+cosB）a+bsin AacosBbsin A0，2RsinAcosB2RsinBsinA0tanB1，B ，S ABC 9， a3 （2）在ABC 中，由余弦定理可得 AC2AB 2+BC22AB BCcosB，AC3 ，ABC 为等腰直角三角形，在AEC 中，AE 4，AC3 ， ，EC 由正弦定理可得， sinACE ，AFCE， AFCACE， 第 18 页（共 26 页）AF 【点评】本题考查了正余弦定理，三角恒等变形，属于中档题19如图，
28、四棱锥 PABCD 中，ADCD2， PAPC， ，ABAD，平面 PAD平面ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【分析】 （1）推导出 AB平面 PAD，AB PD ，BC CD，从而 BC平面 PCD，进而BCPD，由此能证明 PD 平面 ABCD（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【解答】证明：（1）ABAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面第 19 页（共 26 页）
29、ABCDADAB平面 PAD，PA 平面 PAD，ABPD， ，ADCD 2，PAPC，BCCD，BC平面 PCD，PC平面 PCD，BCPD，ABBCB，PD平面 ABCD解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，PD3，C（ ，3，0） ，D（0，2，0） ，A（0，0，0） ，B（2 ，0，0） ，P（0，2，3） ，（ ，1，0） ， （0，2，3） ， （2 ，0，0） ，设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y3，得 （0，3，2） ，设直线 CD 与平面 PAB 所成角为 ，则 si
30、n 直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值为 第 20 页（共 26 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中 y 表示“反应距离” ，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米） ，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米 2/秒 2） 519.7143 43.1727 22.2857332350 161.4286 28486 618.55
31、75其中 ，i1，2， ，7， （1）由散点图判断：yax +b 和 哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x 1，x 1） ， （x 2，x 2） ， （x n，x n） ，其中回归方程 y+ x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 第 21 页（共 26 页）【分析】 （1）由散点图中各点的分布情况，即可得出判断；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据求
32、出回归系数，写出回归方程；（3）利用回归方程列不等式求出所求的值【解答】解：（1）由散点图判断：yax+b 更适合于模型；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据，519.7143， 43.1727，（ x i） （ y i）28486 ，332350， 0.026； 43.17270.026519.714329.66，y 关于 x 的回归方程 0.026x +29.66；（3）令， 0.026x+29.6630，解得 x13.08；即当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，此时驾驶者的速度小于或等于 13.08 米 2/秒 2 才能避免这次车祸【点评】本题考查了线性回归方程和散点图的问
33、题，准确的计算是本题的关键，属于中第 22 页（共 26 页）档题21已知左焦点为 F（1，0）的椭圆 C： （ab0）经过点 A（2，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 C 分别交于 M、N （M 、N 在 x 轴异侧） ，M 关于长轴对称的点为 B（不与 N 重合） ，直线 x4 分别与 x 轴，AB，AN 交于 T、P、Q若TQFTFP，求证：直线 l 经过定点【分析】 （1）根据椭圆的性质，求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得bk，即可求得直线直线 l 恒过点（1，0） 【解答
34、】解：（1）由题意可知：c1，a2，则 b2a 2c 23，椭圆方程为： ，（2）设直线 l：y kx+b，点 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ， B（x 1，y 1） ，P（4，y P） ，Q（4，y Q） ，整理得：（3+4k 2）x 2+8kbx+4b2120， x1+x2 ，x 1x2，在 Rt PTF 与 RtFTQ，TQFTFP ，则 RtPTFRtFTQ， ，则|QT|TP |TF| 2，即 yPyQ9，过点 N 作 ND x 轴，交 x 轴于点 D，则ADNATQ，有 ，即 ，同理可得： ，两式相乘，则4，整理得：42（x 1+x2）+ x1x2+4y1y20，4
35、2（x 1+x2）+ x1x2+4k2x1x2+kb（x 1+x2）+ b20，整理得：b 2+kb2k 20，即（b+2k） （bk ）0，解得：b2k （舍去） ，bk，第 23 页（共 26 页）则直线 l 方程：y k（x+1） ，直线 l 恒过点（1，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，考查转化思想，属于中档题22已知函数 f（x ）（x ）e x（1）当 a1 时，求函数 f（ x）的图象在 x1 处的切线方程；（2）求证：当 0a1 时，函数 f（x ）有且只有一个极小值点【分析】 （1）将 a1 代入函数 yf （x）的解
36、析式，求导，求出 f（1）和 f（1）的值，然后利用点斜式写出切线方程；（2）对函数 f（x ）求导，得到 f（x） ，并构造函数 g（x）x 3+x2ax+a，对函数g（x）求导，计算判别式0，由 0a1 计算出函数 f（x）两极值点的取值范围，并分析函数 g（x）的单调性，根据函数 g（x）的极大值和极小值的正负，以及g（2）0，g（1）0，结合零点存在定理说明存在唯一的 x0（2，1） ，使得 g（x 0）0，即函数 f（x）存在唯一的极小值点【解答】解：（1）当 a1 时，f（x ）（x ）e x，f（x）e x（1+ +x ） ，f（1）e （1+1+1 1）2e，第 24 页（共
37、26 页）f（1）0，函数 f（x）的图象在 x1 处的切线方程 y2e（x 1） ，（2）f（x）（ x ）e xf（x）（ 1+ +x ）e x （x 3+x2ax+a） ，令 g（x）x 3+x2ax+ a，则 g（x）3x 2+2xa，4+12 a0，所以可设 g（x）的两个零点分别为 x1、x 2，其中 x10，x 20，由 g（x）0 可得 a3x 2+2x，由 0a1，可得 03 x2+2x1，可得 或，则 ， ，当 xx 1 时，g（x ）0；当时， x1x0 时，g（x） 0；当 0xx 2 时，g（x）0；当 xx 2 时，g （x）0因为 0x 1 ， ，所以，g（x）
38、极小 0，所以当 x0 时，函数 f（x）单调递增无极值点，因为1x 1 ，所以，g（x） 极大 g（x 1）g（1 ）1+1+2a2a0，又因为 g（2）3a4340，所以，存在 x0（2，1） ，满足 g（x 0）0，于是 f（x 0） 0，所以，当 x0 时，函数 f（x）只有极小值点，综上所述，当 0a1 时，函数 f（x ）有且只有一个极小值点【点评】本题考察导数的几何意义以及导数与函数的极值点，正确理解函数的极小值点的概念，以及区别极值点与零点，是解决本题的关键，属于难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程23在极
39、坐标系中设极点 O 到直线 l 的距离为 2，由 O 点向直线 l 作垂线 OA，垂足为 A，射线 OA 的极坐标方程为 （ 0） （1）求直线 l 的极坐标方程；（2）以极点 O 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系若第 25 页（共 26 页）点 P 在直线 l 上，将向量 按逆时针旋转 ，再伸缩为原来的 （0）倍得到向量，使得 求动点 M 的轨迹 C 的直角坐标方程【分析】 （1）由已知画出图形，极点 O 到直线 l 的距离为 2，极轴到 OA 的角为 ，求出 l 的斜率和在 y 轴上的截距，可得直线 l 的直角坐标方程方程，进一步转化为极坐标方程；（2）设 M
40、（， ） ，P （ ，） ，由题意可得： ，即 ，结合已知求得 ，即 ，再由 P（， ）在 sin（+）2 上求得 M 的极坐标方程 ，转化为直角坐标方程得答案【解答】解：（1）如图所示：极点 O 到直线 l 的距离为 2，即：OA2，由极轴到 OA 的角为 ，BOA ，则OBA ，ABx ，则直线 l 的斜率为：k 在OBC 中，进一步求得：OC4，直线 l 的方程为：y x+4，转化成极坐标方程为：sin + cos40，化简为：sin （+ ）2；（2）设 M（， ） ，P （ ，） ，由题意可得： ，即 ， 而 8，即 ， ，即 ，（ ，）在 sin（ + ）2 上，sin （+ ）2
41、，则 ，即 ， ，即 第 26 页（共 26 页）【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x ）|2x +1| x2|1，不等式 f（x） k 的解集为5，1（1）求实数 k 的值；（2）若正数 a，b 满足 ，求 2a+4b 的最小值【分析】 （1）通过讨论 x 的范围求出不等式的解集，根据对应关系求出 k 的值即可；（2）求出 ab2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）k，即|2x +1|x2| k+1，x2 时，2x+1x +2k +1，解得：x k2， x2 时，2x +1+x2k+1，解得：x ，x 时，2x 1+x 2 k+1，解得：x（k+4） ，而不等式的解集是5，1，对应（k+4） ， ，故 ，解得：k1；（2）由（1）ab2，故 2a+4b2 8，当且仅当 a2，b1 时成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及基本不等式的性质，是一道中档题
