1、2019 年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Nx| x|1，M 2，0，1，则 MN（ ）A （2，1） B2，1 C 2，0，1 D0 ，12 （5 分）若复数 z11+3 i，z 22+i，则 （ ）A1+ i B3+3i C1+7i D3+4i3 （5 分）已知向量 （1，1） ， （2，1） ， （m，3） ，若 （ ） ，则m（ ）A2 B1 C0 D14 （5 分）在等差数列a n中，a 35，a
2、 59，若 Sn25 ，则 n（ ）A3 B4 C5 D65 （5 分）已知 是第一象限的角，且 tan ，则 cos（ ）A B C D6 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，18，则输出的 a 的值为（ ）A1 B2 C3 D67 （5 分）已知 a，bR，则“ ”是“ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）已知平面 平面 ，m 是 内的一条直线，n 是 内的一条直线，且 mn，则（ &nbs
3、p;）第 2 页（共 19 页）Am Bn Cm 或 n Dm 且 n9 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，直线 A1C1 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为（ ）A1 B C D10 （5 分）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）Ag（x）的周期为 BC 是 g（x ）的一条对称轴Dg（x）为奇函数11 （5 分）若函数 f（x ）x 2ln2x，则 f（x）在点（ ）处的切线方程为（ ）Ay0 B2x4y10 C2x+4y10 D2x 8y1012 （5 分）过双曲线 x2 的右支上一
4、点 P 分别向圆 C1：（x+2） 2+y24 和圆C2：（x 2） 2+y21 作切线，切点分别为 M，N ，则| PM|2|PN| 2 的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 loga21，则 a 14 （5 分）设函数 f（x ）asinx+x 3+1，若 f（2）3，则 f（2） 15 （5 分）若 x，y 满足 ，则 的最大值为 16 （5 分）以抛物线 C：y 22px（p0）的顶点为圆心的圆交 C 于 A，
5、B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|2 ，| DE|2 ，则 p 等于 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17已知数列a n满足 an2a n1 +1（n2） ，a 415（1）求 a1，a 2，a 3；第 3 页（共 19 页）（2）判断数列a n+1是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列a n的前 n 项和 Sn18某汽车公司为调查 4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的 A，B，C，D
6、四座城市的 4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：城市 A B C D4S 店个数 x 2 3 6 5销售 y（台数） 24 30 37 33（1）根据统计的数据进行分析，求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市 E 开设 4 个 4S 店，预计 E 市的 4S 店一季度汽车销量是多少台？附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 19已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是菱形，ABC ，SA底面 ABCD，E 是 SC上的任意一点（1）求证：平面 EBD平面 SAC；（2）设 SAAB 2，求点 A 到平面 SBD 的距离20
7、椭圆 M： + 1（ab0）的离心率 e ，过点 A（a，0）和 B（0，b）的直线与原点间的距离为 （1）求椭圆 M 的方程；第 4 页（共 19 页）（2）过点 E（1，0）的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点，且点 D 位于第一象限，当3 时，求直线 l 的方程21设函数 f（x ）lnx x 2+ax，aR（1）当 a1 时，讨论 f（x ）的单调性；（2）已知 a1，证明 f（x ）0（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴的非负
8、半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过点 P（1，2）倾斜角为 135的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，求 PM2+PN2的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+2 x，其中 a0（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若关于 x 的不等式|f（2x+a）2f （x）|2 恒成立，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 19 页）2019 年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1
9、（5 分）已知集合 Nx| x|1，M 2，0，1，则 MN（ ）A （2，1） B2，1 C 2，0，1 D0 ，1【分析】可求出集合 N，然后进行交集的运算即可【解答】解：Nx|1x1 ；MN0 ， 1故选：D【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分）若复数 z11+3 i，z 22+i，则 （ ）A1+ i B3+3i C1+7i D3+4i【分析】把 z11+3 i，z 22+i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z 11+3 i，z 22+i， 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算
10、，是基础题3 （5 分）已知向量 （1，1） ， （2，1） ， （m，3） ，若 （ ） ，则m（ ）A2 B1 C0 D1【分析】利用向量运算法则推导出向量 （m +1，4） ，再由 （ ） ，能求出m 的值【解答】解：向量 （1，1） ， （2，1） ， （m，3） ， （m+1，4） ，第 6 页（共 19 页） （ ） ， （ ）2（m+1）40，解得 m1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量的垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）在等差数列a n中，a 35，a 59，若 Sn25 ，则 n（ ）A3
11、B4 C5 D6【分析】设等差数列a n的公差为 d，由 a35，a 59，可得 a1+2d5，a 1+4d9，解得：a 1，d，再利用求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 35，a 5 9，a 1+2d5，a 1+4d9，解得：a 11，d2，若 Sn25，则 n+ 225，n N*解得 n5，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）已知 是第一象限的角，且 tan ，则 cos（ ）A B C D【分析】根据题意，由同角三角函数基本关系式可得 且 sin2+cos21，解可得：cos ，结合
12、 的范围分析可得答案【解答】解：根据题意，tan ，则 ，又由 sin2+cos21，解可得：cos ，又由 是第一象限的角，则 cos ，故选：D第 7 页（共 19 页）【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，注意掌握公式的形式即可，属于基础题6 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，18，则输出的 a 的值为（ ）A1 B2 C3 D6【分析】直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果【解答】解：根据程序框图：a12，b18，由于：ab，所以：bba6，由于 a12，b6，
13、所以：a6，由于 ab，所以输出 a6故选：D【点评】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7 （5 分）已知 a，bR，则“ ”是“ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当 a1，b1 时，满足 ab，但 不成立当 a1，b1 时，满足 ，但 ab 不成立第 8 页（共 19 页）“ ”是“ab”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键8
14、（5 分）已知平面 平面 ，m 是 内的一条直线，n 是 内的一条直线，且 mn，则（ ）Am Bn Cm 或 n Dm 且 n【分析】利用 mn 作出所对应的两种图形即可判断出正确答案【解答】解：平面 平面 ，m 是 内的一条直线，n 是 内的一条直线，且 mn，借助于图形可以判断出 m，故 A 和 C 错误；借助于图形可以判断出 n，故 B 和 D 错误；而又由图 可以判断出 m 或 n 故选：C【点评】本题是有面面垂直和线线垂直来推线面间的位置关系做这一类型题的关键是理解课本定义9 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，直线 A1C1 与平面 ABC1D1 所成
15、角的正弦值为（ ）A1 B C D【分析】利用平面 ABC1D1ADD 1A1 找到垂足 O，进而作出直线与平面所成角，易解第 9 页（共 19 页）【解答】解：如图，平面 ABC1D1平面 ADD1A1，又 A1OAD 1，A 1O平面 ABC1D1，A 1C1O 即为所求角，sinA 1C1O ，故选：D【点评】此题考查了直线与平面所成角的作法求法，难度不大10 （5 分）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）Ag（x）的周期为 BC 是 g（x ）的一条对称轴Dg（x）为奇函数【分析】直接利用函数的平移变换求出函数的关
16、系式，进一步利用三角函数的性质求出结果【解答】解：函数 f（x ）sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）sin2（x ）+ ）sin2 x 的图象，所以：对于 A：函数的最小正周期为 T ，第 10 页（共 19 页）对于 B：g（ ）sin ，对于 D：g（x）g（x）故函数为奇函数当 x 时，g（ ） 不是对称轴故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数的平移变换的应用，属于基础题11 （5 分）若函数 f（x ）x 2ln2x，则 f（x）在点（ ）处的切线方程为（ ）Ay0 B2x4y10 C2x+4y10 D2x 8y10【分析】求得 f（x ）的
17、导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程【解答】解：函数 f（x ）x 2ln2x 的导数为 f（x）2xln2x+x 2 2xln2x+x，可得 f（x）在（ ）处的切线的斜率为 k ，可得切线方程为 y （x ） ，即为 2x4y10故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的运算和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题12 （5 分）过双曲线 x2 的右支上一点 P 分别向圆 C1：（x+2） 2+y24 和圆C2：（x 2） 2+y21 作切线，切点分别为 M，N ，则| PM|2|PN| 2 的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【分析
18、】设 P（x ，y ） ，根据勾股定理表示出 |PM|2，| PN|2，再根据 x 的范围得出最小值【解答】解：设 P（x ，y ） ，由切线长定理可知 |PM|2| PC1|2| C1M|2（x+2）2+y24，|PN|2 |PC2|2 |C2N|2（x2） 2+y21，|PM |2|PN| 2（x +2） 2（x2） 238x 3P 在双曲线右支上，故 x1，当 x1 时，|PM| 2|PN| 2 取得最小值 5故选：A第 11 页（共 19 页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，双曲线的性质，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若
19、loga21，则 a 【分析】根据 loga21 即可得出 a1 2，从而可求出 a【解答】解：log a21；a 1 2； 故答案为： 【点评】考查对数的运算性质，对数的定义，对数式与指数式的互化14 （5 分）设函数 f（x ）asinx+x 3+1，若 f（2）3，则 f（2） 1 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x ）的表达式，进而可得 f（x）+f （x）2，则有 f（2）+f（2）2，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）asinx+x 3+1，则 f（x） asin（x）+（x）3+1asin xx 3+1，则 f（x）+f（x ）2，则有 f（
20、2）+f（2）2，又由 f（2）3，则 f（2）1；故答案为：1【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析 f（x）与 f（x）的关系15 （5 分）若 x，y 满足 ，则 的最大值为 5 【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 ，的可行域，然后分析 的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解【解答】解：满足约束条件 的可行域：如下图所示：第 12 页（共 19 页）又 的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当 x1，y5 时， 有最大值 5给答案为：5【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义
21、，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案16 （5 分）以抛物线 C：y 22px（p0）的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|2 ，| DE|2 ，则 p 等于 【分析】用 p 表示出 A 点坐标，利用垂径定理和勾股定理列方程求出 p 的值【解答】解：由对称性可知 yA ，代入抛物线方程可得 xA ，设圆的半径为 R，则 R2 +6，又 R210+ ， +610+ ，解得 p 故答案为： 第 13 页（共 19 页）【点评】本题考查了抛物线的性质，圆的性质，属于中档题三、解答题：共 70
22、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17已知数列a n满足 an2a n1 +1（n2） ，a 415（1）求 a1，a 2，a 3；（2）判断数列a n+1是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列a n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）根据题中条件，逐项计算，即可得出结果；（2）根据 an2a n1 +1 得到 an+12（a n1 +1） ，进而可得出结论，求出结果；（3）根据分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，即可求出结果【解答】解：（1）由 an2a n1
23、 +1 及 a415，知 a42a 3+1，解得：a 37，同理得 a23，a 11（2）由 an2a n1 +1 知：an+12a n1 +2，即：a n+12（a n1 +1） 数列a n+1是以 a1+12 为首项，公比为 2 的等比数列（3）由（2）得： ，S na 1+a2+a3+an，2 11+2 21+2 n1，（2 1+22+23+2n）（1+1+1） ， ，2 n+12n【点评】本题主要考查递由推公式证明数列是等比数列、以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型第 14 页（共 19 页）18某汽车公司为调查 4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等
24、规模的 A，B，C，D四座城市的 4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：城市 A B C D4S 店个数 x 2 3 6 5销售 y（台数） 24 30 37 33（1）根据统计的数据进行分析，求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市 E 开设 4 个 4S 店，预计 E 市的 4S 店一季度汽车销量是多少台？附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【分析】 （1）先由题中数据求出 ， ，再由公式求得 ， ，则线性回归方程可求；（2）将 x4 代入（1）的结果，即可得出所求预测值【解答】解：（1）由题意可得： ， ， ，回归直线方
25、程为 （2）将 x4 代入上式得 预计 E 市的 4S 店一季度汽车销量是 31 台【点评】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求 ， 的估计值即可，属于中档题19已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是菱形，ABC ，SA底面 ABCD，E 是 SC第 15 页（共 19 页）上的任意一点（1）求证：平面 EBD平面 SAC；（2）设 SAAB 2，求点 A 到平面 SBD 的距离【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理先证明 BD平面 SAC，即可得出平面 EBD平面 SAC；（2）用等体积法求解，根据 VABDS V SABD ，结合题中数据即可求出结果【解答】解：（1）SA平面
26、ABCD，BD 平面 ABCD，SABD ；四边形 ABCD 是菱形，ACBD ；ACASA ， BD 平面 SAC；BD平面 EBD，平面 EBD平面 SAC；（2）设 ACBDF，连结 SF，则 SFBD，AB2，四边形 ABCD 是菱形，ABC ，AC 2，BD2 ；AF1，SA2，SF ；S BDS BDSF 2 ；设点 A 到平面 SBD 的距离为 h，SA平面 ABCD，V ABDS V SABD ， h 2 22sin120，第 16 页（共 19 页）解得 h ；即点 A 到平面 SBD 的距离为 【点评】本题主要考查了面面垂直的证明以及点到平面的距离，熟记面面垂直的判定定理以
27、及等体积法求点到面的距离，是常考题型20椭圆 M： + 1（ab0）的离心率 e ，过点 A（a，0）和 B（0，b）的直线与原点间的距离为 （1）求椭圆 M 的方程；（2）过点 E（1，0）的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点，且点 D 位于第一象限，当3 时，求直线 l 的方程【分析】 （1）由题得到关于 a，b，c 的方程组，解方程组即得解；（2）设 C（x 1，y 1） ，D（x 2， y2） （x 20，y 20） ，设直线 l 的方程为xmy+1（mR ） 联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出 m 的值得解【解答】解（1）据题知，直线 AB 的方程为 bxay +ab0依题意
28、得 解得 a22，b 21，所以椭圆 M 的方程为 +y21（2）设 C（x 1，y 1） ，D（x 2， y2） ， （x 20，y 20， ） ，设直线 l 的方程为 xmy +1（m R） 代入椭圆方程整理得：（m 2+2）y 2+2my108m 2+80y 1+y2 ，y 1y2 由 3，依题意可得：y 13y 2，结合得 ，消去 y2 解得 m1，m 1（不合题意） 所以直线 l 的方程为 yx1第 17 页（共 19 页）【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力属中档题21设函数 f（
29、x ）lnx x 2+ax，aR（1）当 a1 时，讨论 f（x ）的单调性；（2）已知 a1，证明 f（x ）0【分析】 （1）先由 a1，求出函数 f（x ）lnxx 2+ax 的导函数，通过解导函数对应的不等式，即可得出结果；（2）先对函数求导，用导数的方法判断出函数的单调性，求出最大值，即可得出结论成立【解答】解：（1）f（x ）的定义域为（0，+） 当 a1 时，f'（x ） 由 f'（x）0，得 0x1；f'（x）0 得 x1，函数 f（x）在（ 1，+）上单调递减，在（0，1）上单调递增；（2）f'（x ） a 2+80（x0） ，2x 2ax 1
30、0 的根为 x 当 0x 时，f '（x）0；当 x 时，f'（x）0， ；f（x）在（0 ， ）上单调递增，在（ ，+ ）上单调递减f（x） maxf（ ） ，a1，0 ； f（x）0第 18 页（共 19 页）【点评】本题考查了导数的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属中档题（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过点 P（1，
31、2）倾斜角为 135的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，求 PM2+PN2的值【分析】 （1）先求出曲线 C 的普通方程为 x2+（y 2） 24，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程 （t 为参数） ，再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程 t 的几何意义解答【解答】解（1）依题意，曲线 C 的普通方程为 x2+（y 2） 24，即 x2+y24y0，故 x2+y24y，故 4sin ，故所求极坐标方程为 4sin ；（2）设直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，将此参数方程代入 x2+y24y0 中，化简可得 t2 t30，显然0设 M，N 所对应的参数分别为
32、 t1，t 2，则 PM 2+PN2t 12+t22（t 1+t2） 22t 1t28【点评】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程 t的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+2 x，其中 a0第 19 页（共 19 页）（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若关于 x 的不等式|f（2x+a）2f （x）|2 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出 h（a）| ，再求出| f（2x+a）2f（x）| max4a，依题意得 4a2，即得解【解答】解：（1）当 a1 时，f（x ） 当 x1 时，由 f（x）2 可得 3x12，解得 x1；当 x1 时，由 f（x）2 可得 x+12，解得 x1；不成立；综上所述，当 a1 时，不等式 f（x ）2 的解集为1 ，+） （2）记 h（x）|f（2x +a）2f （x）|2|x| xa|+a| |f（ 2x+a）2f（x ）| max4a依题意得 4a2，a 所以实数 a 的取值范围为（0， 【点评】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
