1、2018 年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，22 （5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则使得 z2z1 是纯虚数的一个 z1 是（ ）A4+3i B3+4i C43i D34i3 （5 分）已知 ，则 tan2（ ）A B2 C D4 （5 分）如图为某市 2017 年 3 月 2127 日空气质量指数
2、（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差第 2 页（共 29 页）5 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D106 （5 分） “a0”是“（1+x+x 2） （1+ ） 4 的常数项为 1”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不
3、充分也不必要条件7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）A2 B3 C4 D58 （5 分）函数 f（x ）sin（ x+） （ ）的图象向左平移 个单位后为偶函数，则 f（x ）的单调递增区间是（ ）A ，kZB ，k Z第 3 页（共 29 页）C ，k ZD ，k Z9 （5 分）函数 yln|x |x 2 的图象大致为（ ）A BC D10 （5 分）若 l，m，n 是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（ ）Al，m，lm Blm，mlCl，m，l，m Dln，mnlm11 （5 分）已知抛物
4、线 W： y24x 的焦点为 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线W 的一个交点，点 A（1， 0） ，则当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是（ ）A B1 C D12 （5 分）函数 ，若方程 f（x）k 有三个不同的零点x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是（ ）A B5，6） C （5，6） D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于 14 （5 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别
5、是 a，b，c若 sinB2sinC且第 4 页（共 29 页）a ，A ，则 c 15 （5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P（5，1）满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率是 16 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an+1S n+n+1（n1，2，3） ，a11（1）求证：a n+1
6、为等比数列；（2）数列a n中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中， ，ADCD2，PAPC，ABAD ，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值第 5 页（共 29 页）19 （12 分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中 y 表示“反应距离” ，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米） ，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米 2
7、/秒 2） 519.7143 43.1727 22.2857332350 161.4286 28486 618.5575其中 ，i1，2， ，7， （1）由散点图判断：yax +b 和 哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x 1，x 1） ， （x 2，x 2） ， （x n，x n） ，其中回归方程 y+ x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 第 6 页（
8、共 29 页）20 （12 分）已知左焦点为 F（1，0）的椭圆 C： （ab0）经过点A（2， 0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 C 分别交于 M、N （M 、N 在 x 轴异侧） ，M 关于长轴对称的点为 B（不与 N 重合） ，直线 x4 分别与 x 轴，AB，AN 交于 T、P、Q若TQFTFP，求证：直线 l 经过定点21 （12 分）已知函数 （1）若函数 在 处有最大值，求 a 的值；（2）当 ae 时，求函数 f（x）的零点的个数请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （12 分）在
9、极坐标系中设极点 O 到直线 l 的距离为 2，由 O 点向直线 l 作垂线 OA，垂足为 A，射线 OA 的极坐标方程为 （0） （1）求直线 l 的极坐标方程；（2）以极点 O 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系若点 P 在直线 l 上，将向量 按逆时针旋转 ，再伸缩为原来的 （0）倍得到向量，使得 求动点 M 的轨迹 C 的直角坐标方程第 7 页（共 29 页）选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| x2|1，不等式 f（x） k 的解集为5，1（1）求实数 k 的值；（2）若正数 a，b 满足 ，求 2a+4b 的最小值第 8 页（共
10、 29 页）2018 年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxZ| x1，Bx|x 24，则 AB（ ）A （1，2 B （1，2） C0 ，1，2 D1 ，2【分析】先解出集合 Bx| 2x2，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| 2x 2，且 Ax Z|x1；AB0，1，2故选：C【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算2 （5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则使得 z2z1 是纯虚数
11、的一个 z1 是（ ）A4+3i B3+4i C43i D34i【分析】由图可得：z2+i，设 z1a+bi（a，bR） 再利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：由图可得：z2+i，设 z1a+bi（a，bR） z2z1（2+i） 2（a+bi）（34i ） （a+bi ）3a+4b+（3b4a）i 为纯虚数，则 3a+4b0，3b4a0则 z143i故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知 ，则 tan2（ ）第 9 页（共 29 页）A B2 C D【分析】由已知利用
12、二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos2，sin 2，进而可得 tan2 的值【解答】解： ，可得：cos 2sin 2 ，又cos 2+sin21，可得 cos2 ，sin 2 ，tan 2 故选：D【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4 （5 分）如图为某市 2017 年 3 月 2127 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 050 空气质量属于优，51100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A空气质
13、量优良的概率为B空气质量不是良好的天数为 6C这周的平均空气质量为良好D前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差【分析】由空气质量指数（AQI）柱形图得空气质量不是良好的天数为 6 天【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得：第 10 页（共 29 页）在 A 中，空气质量优良的概率为 p ，故 A 错误；在 B 中，空气质量不是良好的天数为 6 天，故 B 正确；在 C 中，这周的平均空气质量指数大于 100，属不同程度的污染，故 C 错误；在 D 中，前三天 AQI 的方差小于后四天 AQI 的方差，故 D 错误故选：B【点评】本题考查柱形图的应用，考查概率、频数、平均数、方差
14、等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题5 （5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 zx+2y 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D10【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数 zx+2y 过点 A 时，z 取得最小值；由 ，求得 A（2，1） ，z 的最小值为 2+214故选：A【点评】本题看出来线性规划的简单应用问题，是基础题第 11 页（共 29 页）6 （5 分） “a0”是“（1+x+x 2） （1+ ） 4 的常数项为 1”的（
15、 ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出代数式的常数项，得到关于 a 的方程，求出 a 的值，根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由题意 的常数项是 1+4a+6a21，解得：a0 或 a ，故 a0 是 a0 或 a 的充分不必要条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查二项式定理，是一道中档题7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的第 12 页（共 29 页）值，模拟程序的运行过
16、程，可得答案【解答】解：当 m16 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m8，n2；当 m8 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m4，n3；当 m4 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m2，n4；当 m2 时，不满足 cosm0，执行循环体后，m1，n5；当 m1 时，满足 cosm0，故输出的 n5，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8 （5 分）函数 f（x ）sin（ x+） （ ）的图象向左平移 个单位后为偶函数，则 f（x ）的单调递增区间是（ ）A ，kZB ，k ZC ，k ZD ，k Z【分析
17、】根据三角函数的图象平移法则，写出 f（x ）的解析式，再求 f（x）的单调递增区间【解答】解：函数 f（x ）sin（ x+）的图象向左平移 个单位，得 yf（x+ ）sin （x + ）+sin（ x+ ）的图象；又 y 为偶函数，+ +k，kZ； +k，kZ；| ， ；f（x）sin（x+ ） ， +2kx+ +2k，k Z；第 13 页（共 29 页）解得 +2kx +2k，k Z；f（x）的单调递增区间是 +2k， +2k，k Z故选：B【点评】本题考查了三角函数图象与性质的应用问题，是基础题9 （5 分）函数 yln|x |x 2 的图象大致为（ ）A BC D【分析】
18、先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断【解答】解：令 yf（x）ln |x|x 2，其定义域为（ ，0）（0，+） ，因为 f（x） ln|x|x 2f（x） ，所以函数 yln |x|x 2 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 B，D，当 x0 时，f（ x）lnxx 2，所以 f（x） 2x ，当 x（0， ）时，f（x ） 0，函数 f（x）递增，当 x（ ，+）时，f（x）0，函数 f（x）递减，故排除 C，方法二：当 x+时，函数 y0，故排除 C，故选：A【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于中档题10 （5 分）若 l，m，n
19、是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，则下列命题正第 14 页（共 29 页）确的是（ ）Al，m，lm Blm，mlCl，m，l，m Dln，mnlm【分析】在 A 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 B 中，l 或 l；在 C 中， 与 相交或平行；在 D 中， l 与 m 相交、平行或异面【解答】解：由 l，m，n 是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，知：在 A 中：l，m，lm，则由面面垂直的判定定理得 ，故 A 正确；在 B 中：lm，ml 或 l，故 B 错误；在 C 中：l，m，l， m 与 相交或平行，故 C 错误；在 D 中：ln，mn l 与 m 相交、
20、平行或异面，故 D 错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用11 （5 分）已知抛物线 W： y24x 的焦点为 F，点 P 是圆 O：x 2+y2r 2（r0）与抛物线W 的一个交点，点 A（1， 0） ，则当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是（ ）A B1 C D【分析】根据几何意义可知当 AP 与抛物线相切时，当 最小，求出 P 点坐标得出PF 方程即可得出答案【解答】解：过 P 作抛物线的准线的垂线 PM，M 为垂足，则 |PF|PM| ，则 sinPAM，当 PA 与抛物线相切时，PA
21、M 取得最小值，故而 取得最小值设直线 PA 的方程为 yk （x+1） ，代入抛物线方程得：k 2x2+（2k 24）x+k 20，令（2k 24） 24k 40 得 k21此时方程为 x22x +10，解得 x1，不妨设 P 在第一象限，则 P（1，2） ，直线 PF 的方程为 x1O 到 PF 的距离为 1故选：B第 15 页（共 29 页）【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题12 （5 分）函数 ，若方程 f（x）k 有三个不同的零点x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是（ ）A B5，6） C （5，6） D【分析】先画出图象，
22、方程 f（x ）k 有三个不同的零点 x1，x 2，x 3，得log 5x1log 5x22x 3+12，由此可确定 x1x2x3 的取值范围【解答】解：根据函数 ，画出函数图象：f（x 1）f（x 2）f（x 3） ，且 x1x 2x 3，log 5x1log 5x22x 3+12，log 5（x 1x2）0，02x 3+121，解得 x1x21， x 36，x 1x2x3 的取值范围是 ， 6） ，故选：A第 16 页（共 29 页）【点评】本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查数形结合的思想方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答
23、题纸上）13 （5 分）已知向量 （2，4） ， （1，m ） ，且 与 2 平行，则 m 等于 2 【分析】利用平面向量运算法则推导出 （2，4）（2，2m）（4，42m ） ，由 与 2 平行，列方程能求出 m【解答】解：向量 （2，4） ， （1，m ） ， （2，4）（2，2m ）（4，42m ） ， 与 2 平行， ，解得 m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14 （5 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c若 sinB2sinC且a ，A ，则 c &
24、nbsp;【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及二元二次方程组的解法求出结果【解答】解：在ABC 中，sinB2sinC 利用正弦定理得：b2c由于：a ，A ，则：a 2b 2+c22bc cosA，整理得：14b 2+c2+bc，第 17 页（共 29 页）所以： ，整理得：144c 2+c2+2c27c 2，解得：c ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，方程组的解法的应用15 （5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P（5，1）满足|PF1| PF2|6 ，则双曲线 C 的离心率是 【分析】利用已知条件推出，
25、P 在双曲线上，求出 b，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P（5，1）满足|PF1|PF 2|6 ，可知 P 在双曲线上，可得 ，解得 b ，a3，可得：c ，所以：e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力16 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是 第 18 页（共 29 页）【分析】根据三视图知，该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出该三棱锥外接球的半径，再求它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧面 PAB底面 ABC 的三棱锥，如图所示；结
26、合图中数据知，该三棱锥外接球的球心 O 在 PD 上，设 DOa，则 a 2+52，解 a ；外接球的半径为RPO5 ，外接球的体积为V 故答案为： 第 19 页（共 29 页）【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积问题，是基础题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an+1S n+n+1（n1，2，3） ，a11（1）求证：a n+1为等比数列；（2）数列a n中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由【分析】 （1）a n+1S n+n+1，n2 时，可得：
27、a n+1a n Sn+n+1（S n1 +n） ，化为：an+1+12（a n+1） ，n1 时，a 2a 1+23，可得 a2+12（a 1+1） ，即可证明（2）由（1）可得：a n+12 n，可得 an2 n1可知：数列a n单调递增假设数列an中是存在不同的三项，a m，a k，a n，m，k，nN *，mkn适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是 am， ak，a n 是等差数列可得 2aka m+an，代入化为：2k+1m 1+2 nm 而左边为偶数，右边为奇数得出矛盾，即可判断出结论【解答】 （1）证明：a n+1S n+n+1，n2 时，可得：a n+1a nS n+n+1（
28、S n1 +n） ，化为：a n+12a n+1，a n+1+12（a n+1） ，n1 时，a 2a 1+23，a 2+12（a 1+1） ，a n+1为等比数列，首项为 2，公比为 2（2）解：由（1）可得：a n+12 n，可得 an2 n1可知：数列a n单调递增假设数列a n中存在不同的三项，a m，a k，a n，m，k，nN *，mkn适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是 am，a k，a n 是等差数列2a k am+an，第 20 页（共 29 页）2（2 k1） 2m1+2 n1，化为：2 k+1m 1+2 nm 而左边为偶数，右边为奇数因此不成立，故假设不成立因此数列a
29、 n中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中， ，ADCD2，PAPC，ABAD ，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：PD平面 ABCD；（2）若 PD3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【分析】 （1）推导出 AB平面 PAD，AB PD ，BC CD，从而 BC平面 PCD，进而BCPD，由此能证明 PD 平面 ABCD（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建
30、立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值【解答】证明：（1）ABAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面第 21 页（共 29 页）ABCDADAB平面 PAD，PA 平面 PAD，ABPD， ，ADCD 2，PAPC，BCCD，BC平面 PCD，PC平面 PCD，BCPD，ABBCB，PD平面 ABCD解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，PD3，C（ ，3，0） ，D（0，2，0） ，A（0，0，0） ，B（2 ，0，0） ，P（0，2，3） ，（ ，1，0）
31、 ， （0，2，3） ， （2 ，0，0） ，设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y3，得 （0，3，2） ，设直线 CD 与平面 PAB 所成角为 ，则 sin 直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值为 第 22 页（共 29 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中 y 表示“反应距离” ，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的
32、距离（单位：米） ，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米 2/秒 2） 519.7143 43.1727 22.2857332350 161.4286 28486 618.5575其中 ，i1，2， ，7， （1）由散点图判断：yax +b 和 哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x 1，x 1） ， （x 2，x 2） ， （x n，x n） ，
33、其中回归方程 y+ x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 第 23 页（共 29 页）【分析】 （1）由散点图中各点的分布情况，即可得出判断；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据求出回归系数，写出回归方程；（3）利用回归方程列不等式求出所求的值【解答】解：（1）由散点图判断：yax+b 更适合于模型；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据，519.7143， 43.1727，（ x i） （ y i）28486 ，332350， 0.026； 43.17270.026519.714329.66，y 关于 x 的回归方程 0.026x +29.66；（3）令， 0.026x+29
34、.6630，解得 x13.08；即当驾驶者看到前方 30 米处出现行人并刹车，此时驾驶者的速度小于或等于 13.08 米 2/秒 2 才能避免这次车祸【点评】本题考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中第 24 页（共 29 页）档题20 （12 分）已知左焦点为 F（1，0）的椭圆 C： （ab0）经过点A（2， 0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 C 分别交于 M、N （M 、N 在 x 轴异侧） ，M 关于长轴对称的点为 B（不与 N 重合） ，直线 x4 分别与 x 轴，AB，AN 交于 T、P、Q若TQFTFP，求证：直线 l 经过定点
35、【分析】 （1）根据椭圆的性质，求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得bk，即可求得直线直线 l 恒过点（1，0） 【解答】解：（1）由题意可知：c1，a2，则 b2a 2c 23，椭圆方程为： ，（2）设直线 l：y kx+b，点 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ， B（x 1，y 1） ，P（4，y P） ，Q（4，y Q） ，整理得：（3+4k 2）x 2+8kbx+4b2120， x1+x2 ，x 1x2，在 Rt PTF 与 RtFTQ，TQFTFP ，则 RtPTFRtFTQ， ，则|
36、QT|TP |TF| 2，即 yPyQ9，过点 N 作 ND x 轴，交 x 轴于点 D，则ADNATQ，有 ，即 ，同理可得： ，两式相乘，则4，整理得：42（x 1+x2）+ x1x2+4y1y20，第 25 页（共 29 页）42（x 1+x2）+ x1x2+4k2x1x2+kb（x 1+x2）+ b20，整理得：b 2+kb2k 20，即（b+2k） （bk ）0，解得：b2k （舍去） ，bk，则直线 l 方程：y k（x+1） ，直线 l 恒过点（1，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，考查转化思想，属于中档题21 （12 分
37、）已知函数 （1）若函数 在 处有最大值，求 a 的值；（2）当 ae 时，求函数 f（x）的零点的个数【分析】 （1）求出函数的导数，问题转化为 f（x ）在 x 处取极大值，得到关于 a 的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点的个数即可【解答】解：（1）f（x ） （x0） ，若 f（x）在 处有最大值，第 26 页（共 29 页）则 f（x）在 x 处取极大值，故 f（ ） e0，解得：ae；（2）f（x） （x0） （i）当 a0 时，f（x） ，因为 f（x）0，所以函数 f（x）的零点的个数为 0；（6 分）（ii）当
38、a0 时，f（x ） 0，所以函数 f（x）在（0，+）内是减函数所以函数 f（x）至多有一个零点取 0x 0mine， ，则 f（x0）aln 2x0 aln2x0e 20因为 f（ ）aln1 0，所以函数 f（x）的零点个数为 1（8 分）（iii ）当 0ae 时，令 t 2x，g（t）alnt ，显然，g（t）与 f（x）的零点个数相等令 h（t）g（t） ，则 h（t） 0所以 h（t）在（0，+）内是减函数取 0t 0mine ，a，则 h（t 0） 10；取 t1e a，则 h（t 1） e ea （1e a）0所以 h（t）在（0，+）内有且只有一个实根，设为 ta，且 t（
39、0，t a） ，h（t）0；t （t a，+） ，h（t）0所以 g（t）在（0，t a）内是增函数，在（t a，+）内是减函数，在 tt a 时，取得最大值 g（t a） 第 27 页（共 29 页）当 a e 时，由 ，可知：t ae ，g（t a）0所以 g（t）的有且只有一个零点所以当 ae 时，函数 f（x）的零点个数为 1由 e0 可得：a e，因为（xe x）'e x+xex，所以当 x0 时， （xe x）'0，即 xex 是一个增函数所以当 0ae 时，t ae因为（ lnx1） lnx+ lnex，所以当 x 时， （ lnx1）0，即 lnx1 是增函数所
40、以当 1t ae 时， lnta1 lne10又因为当 0t a1 时， lnta10，所以 g（t a） lnta （ lnta1） 0所以函数 g（t）的只有一个零点，即函数 f（x）的零点个数为 0综上所述：当 0ae 时，函数 f（x）的零点个数为 0；当 a0 或 ae 时，函数 f（x）的零点个数为 1【点评】本题考查了导数的几何意义，考查函数的单调性以及函数的零点，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （12 分）在极坐标系中设极点 O 到直线 l 的距离为 2，由 O
41、 点向直线 l 作垂线 OA，垂足为 A，射线 OA 的极坐标方程为 （0） （1）求直线 l 的极坐标方程；（2）以极点 O 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系若点 P 在直线 l 上，将向量 按逆时针旋转 ，再伸缩为原来的 （0）倍得到向量第 28 页（共 29 页），使得 求动点 M 的轨迹 C 的直角坐标方程【分析】 （1）由已知画出图形，极点 O 到直线 l 的距离为 2，极轴到 OA 的角为 ，求出 l 的斜率和在 y 轴上的截距，可得直线 l 的直角坐标方程方程，进一步转化为极坐标方程；（2）设 M（， ） ，P （ ，） ，由题意可得： ，即 ，结合
42、已知求得 ，即 ，再由 P（， ）在 sin（+）2 上求得 M 的极坐标方程 ，转化为直角坐标方程得答案【解答】解：（1）如图所示：极点 O 到直线 l 的距离为 2，即：OA2，由极轴到 OA 的角为 ，BOA ，则OBA ，ABx ，则直线 l 的斜率为：k 在OBC 中，进一步求得：OC4，直线 l 的方程为：y x+4，转化成极坐标方程为：sin + cos40，化简为：sin （+ ）2；（2）设 M（， ） ，P （ ，） ，由题意可得： ，即 ， 而 8，即 ， ，即 ，（ ，）在 sin（ + ）2 上，sin （+ ）2，则 ，即 ， ，即 第 29 页（共 29 页）【点
43、评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| x2|1，不等式 f（x） k 的解集为5，1（1）求实数 k 的值；（2）若正数 a，b 满足 ，求 2a+4b 的最小值【分析】 （1）通过讨论 x 的范围求出不等式的解集，根据对应关系求出 k 的值即可；（2）求出 ab2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）k，即|2x +1|x2| k+1，x2 时，2x+1x +2k +1，解得：x k2， x2 时，2x +1+x2k+1，解得：x ，x 时，2x 1+x 2 k+1，解得：x（k+4） ，而不等式的解集是5，1，对应（k+4） ， ，故 ，解得：k1；（2）由（1）ab2，故 2a+4b2 8，当且仅当 a2，b1 时成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及基本不等式的性质，是一道中档题
