2019年高考数学(含解析)之圆锥曲线

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资源描述

1、圆锥曲线1已知 F1,F 2 是双曲线 1(a0 ,b 0)的左、右焦点,过 F2 作双曲线一条渐近线的x2a2 y2b2垂线,垂足为点 A,交另一条渐近线于点 B, 且 ,则该双曲线的离心率为( )AF2 13F2B A. B. C. D262 52 32设椭圆 1(a b0)的焦点为 F1,F 2,P 是椭圆上一点,且F 1PF2 ,若F 1PF2x2a2 y2b2 3的外接圆和内切圆的半径分别为 R,r,当 R4 r 时,椭圆的离心率为( ) 来源:Z。xx。k.ComA. B. C. D.45 23 12 253 2000 多年前,古希腊大数学家阿 波罗尼奥斯(Apollonius)发

2、现:平面截圆锥的截口 曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为 PH,AB 为地面直径,顶角为 2,那么不过顶点 P 的平面与PH 夹角 a 时,截口曲线为椭圆;与 PH 夹角 a 时,截口曲线为抛物线;与 PH 夹角2a0 时, 截口曲线为双曲线如图,底面内的直线 AMAB ,过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与 PB 的交点为 C,可 知 AC 为长轴那么当 C 在线段 PB 上运动时,截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分4过双曲线 1(a0,b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,x2a2 y2b2D 为虚轴

3、的一个端点,且ABD 为钝角三角形,则此双曲线 离心率的取值范围为_5已知直线 MN 过椭圆 y 21 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点,直线 PQ过原点 Ox22与 MN 平行,且与椭圆交于 P,Q 两点,则 _. &k.Com|PQ|2|MN|6已知抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物 线 C 交于 A,B 两点,且 直线 l 与圆 x2pxy 2 p20 交于 C,D 两点,若|AB| 3| CD|,则直线 l 的斜率为34_7已 知 A,B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,若椭圆 C 上存在点 P,使得直线 PA,PB斜率的绝对值之和为 1

4、,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 _8已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1, 32)(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两 点,若 AOB 的面积为 ,求627圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程1已知 F1,F 2 是双曲线 1(a0 ,b 0)的左、右焦点,过 F2 作双曲线一条渐近线的x2a2 y2b2垂线,垂足为点 A,交另一条渐近线于点 B,且 ,则该双曲线的离心率为( )AF2 13F2B A. B. C. D262 52 3答案 A解析 由 F2(c,0)

5、到渐近线 y x 的距离为 d b ,即| |b,则| |3b. ba bca2 b2 AF2 BF2 在AF 2O 中,| |a , | |c,tanF 2OA ,tanAOB ,化简可得OA OF2 ba 4ba2ba1 (ba)2a2 2b2,即 c2a 2b 2 a2,即 e ,故选 A.32 ca 622设椭圆 1(a b0)的焦点为 F1,F 2,P 是椭圆上一点,且F 1PF2 ,若 F1PF2 的x2a2 y2b2 3外接圆和内切圆的半径分别为 R,r,当 R4 r 时,椭圆的离心率为( )A. B. C. D.45 23 12 25答案 B2|PF 1|2 |PF2|22|P

6、F 1|PF2|cosF 1PF2,(2c)由|PF 1|PF 2|2a,F 1PF2 ,3可得|PF 1|PF2| ,43(a2 c2)则由三角形面积公式 r |PF1|PF2|sinF 1PF2,12(|PF1| |PF2| |F1F2|)12可得 c ,(2a 2c)36 43(a2 c2)32e .ca 233 2000 多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯 (Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为 PH,AB 为地面直径,顶角为 2,那么不过顶点 P 的平面与PH 夹角 a 时,截口曲线为椭圆;与 PH 夹角 a 时,截口曲线为抛物线;与 PH 夹角2

7、a0 时,截口曲线为双曲线如图,底面内的直线 AMAB ,过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与 PB 的交点为 C,可 知 AC 为长轴那么当 C 在线段 PB 上运动时,截 口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 来源:答案 D解析 如图,因为对于给定的椭圆来说,短轴的端点 Q 到焦点 F 的距离等于长半轴 a,但短轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a,即说明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM 的距离,且点 F 不在定直线 AM 上,所以由抛物线的定义可知,短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分,故选 D.4过

8、双曲线 1(a0,b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,x2a2 y2b2D 为虚轴的一个端点,且ABD 为钝角三角形,则此双曲线离心率的 取值范围为_答案 (1, )( ,) 来源:2 2 2解 析 设双曲线 1( a0,b0)的左焦点 F1(c,0),x2a2 y2b2令 xc,可得 yb ,c2a2 1 b2a设 A , B ,D(0,b) ,( c, b2a) ( c, b2a)可得 ,AD (c, b b2a) , ,AB (0, 2b2a) DB ( c, b b2a)若DAB 为钝角,则 b,即有 a2b2c 2a 2,可得 c21,可得 10,由 e

9、,可得 e44e 220,ca又 e 1,可得 e ;2 2又 0,AB DB 2b2a(b b2a)DBA 不可能为钝角综上可得,e 的取值范围为(1, )( ,)2 2 25已知直线 MN 过椭圆 y 21 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点,直线 PQ 过原点 Ox22与 MN 平行,且与椭圆交于 P,Q 两点,则 _.|PQ|2|MN|答案 2 2解析 方法一 特殊化,设 MNx 轴,则|MN| ,|PQ| 24, 2 .2b2a 22 2 |PQ|2|MN| 42 2方法二 由题意知 F(1,0),当直线 MN 的斜率不存在时,|MN| ,|PQ|2b2,则 2 ;2b2a 2

10、|PQ|2|MN| 2当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的斜率为 k,则 MN 的方程为 yk (x1) ,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),联立方程Error!整理 得(2k 21)x 24k 2x2k 220 ,8k 280.由根与系数的关系,得x1x 2 ,x 1x2 ,来源:4k22k2 1 2k2 22k2 1则|MN| 1 k2x1 x22 4x1x2 .22k2 12k2 1直线 PQ 的方程为 ykx,P( x3,y 3),Q (x4,y 4),则Error! 解得 x2 ,y 2 ,21 2k2 2k21 2k2则|OP| 2x y ,23 2321 k21

11、 2k2又|PQ|2|OP|,所以|PQ| 24|OP| 2 ,81 k21 2k2所以 2 .|PQ|2|MN| 2综上, 2 .|PQ|2|MN| 26已知抛物线 C:y 22px(p0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且直线 l 与圆 x2px y 2 p20 交于 C,D 两点,若| AB|3|CD |,则直线 l 的斜率为34_答案 22解析 由题意得 F ,由 x2pxy 2 p20,配方得 2y 2p 2,(p2, 0) 34 (x p2)所以直线 l 过圆心 ,可得|CD| 2p,(p2, 0)若直线 l 的斜率不存在,则 l:x ,|AB

12、| 2p,| CD|2p ,不符合题意,p2直线 l 的斜率存在可设直线 l 的方程为 yk ,A(x 1,y 1), B(x2,y 2),(x p2)联立Error!化为 x2 x 0,(p 2pk2) p24所以 x1x 2p ,2pk2所以|AB |x 1x 2p 2 p ,2pk2由|AB|3|CD|,所以 2p 6 p,2pk2可得 k2 ,所以 k .12 227已知 A,B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,若椭圆 C 上存在点 P,使得直线 PA,PB斜率的绝对值之和为 1, 则椭圆 C 的离心率的取值范围是_答案 32, 1)由题意得 1,2ba所以 a24b24a 24 c

13、2,即 3a24c2,所以 e2 ,34又因为 0b0)的离心率为 ,且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1, 32)(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若AOB 的面积为 ,求圆627心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程(2)由(1)知 F1(1,0),设直线 l 的方程为 xty1 ,由Error! 消去 x,得(4 3t 2)y2 6ty90,显然 0 恒成立,设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 y1y 2 ,y 1y2 ,6t4 3t2 94 3t2所以|y 1y 2| y1 y22 4y1y2 ,36t24 3t22 364 3t2 12t2 14 3t2所以 SAOB |F1O|y1y 2|12 ,6t2 14 3t2 627化简得 18t4t 2170,即(18t 217)(t 21)0,解得 t 1,t (舍去)21 21718又圆 O 的半径 r ,|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ,故圆 O 的方程为 x2y 2 .22 12

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