2019年高考数学解密题(含解析)之 圆与方程

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资源描述

1、 圆与方程高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率圆的方程2018 新课标全国222017 新课标全国 92017 新课标全国10 ,12, 202016 新课标全国10,202016 新课标全国 4直线与圆、圆与圆的位置关系从近三年高考情况来看,圆的标准方程的求法是命题的热点,求解时,常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程,并指出圆心坐标及半径;直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查,求解时重点应用圆的几何性质,一般为选择题、填空题,难度中等,解题时应认真体会数形结合思想,培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力2018 新课标全国192018 新课标全国 62017 新课标全

2、国152017 新课标全国 92017 新课标全国10 ,12, 202016 新课标全国10,202016 新课标全国 42016 新课标全国16考点 1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研 1 已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,且圆心在 x 轴上,则圆 C 的标准方程为_【答案】(x2) 2y 2=10【解析】设所求圆 C 的方程为 (xa) 2y 2=r2,把所给两点坐标代入方程得,22(5)13ar解得Error! ,所以所求圆 C 的方程为 (x2) 2y 2=10【名师点睛】圆心在 x 轴上,可设圆心坐标为(a,0) ,半径长为 r,写出圆 C 的标准方程,将 A

3、,B 两点坐标代入求 a,r 即可得圆 C 的方程题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研 2 与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是40xy20xyA B21 2214xyC D2xy【答案】C调研 3 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2,圆心 C 到直线 l:x2y=0 的距离为 ,且圆 C55被 x 轴分成的两段弧长之比为 31,则圆 C 的标准方程为_【答案】(x1) 2(y 1) 2=2 或( x1) 2(y1) 2=2【解析】设圆 C 的方程为(xa) 2( yb) 2=r2,则点 C 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b| ,|a|由题意可知Error!Error! 或Err

4、or! 故圆 C 的标准方程为 (x1) 2( y1) 2=2 或(x1)2(y 1)2=2技巧点拨求圆的方程的两种方法1几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程2代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数附:(1)圆的标准方程:当圆心为(a,b) ,半径为 r 时,其标准方程为 (xa) 2( yb) 2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为 x2y 2=r2(2)圆的一般方程:x 2y 2DxEy F=0 ,其中 D2E 24F0,表示以 为圆( D2, E2)心, 为半径的圆D2 E2 4F2考点 2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关

5、的对称问题调研 1 若直线 y=kx 与圆(x2) 2y 2=1 的两个交点关于直线 2xyb=0 对称,则点( k,b)所在的圆的方程为A B22()(5)1x221()(5)1C D1y xy【答案】A【解析】由题意知直线 y=kx 与直线 2xyb=0 互相垂直,所以 k= 又圆上两点关于直线122x yb =0 对称,故直线 2xyb=0 过圆心(2,0) ,所以 b=4,结合各选项可知,点在圆 上,故选 A(12, 4) 1()(5)1x技巧点拨1圆的轴对称性: 圆关于直径所在的直线对称 2圆关于点对称: (1 )求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2 )两圆关于

6、点对称,则此点为两圆圆心连线的中点 3圆关于直线对称: (1 )求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2 )两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研 2 圆 与圆 的位置关系为224xy2219xyA内切 B外切 C相交 D相离【答案】B【解析】圆 的圆心坐标为 ,半径 ;圆224xy2,12r的圆心坐标为 ,半径 ,圆心距为2219xy2,123r, ,即 ,故两圆外切故选 B5d12dr调研 3 直线 和圆 的位置关系是42yx240yxA相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相离 D相切【答案】A【解析】将 化简为 ,易

7、知圆心为2420xy2215xy,半径 ,,15r将 代入到 中,得 ,即满足直线方程,故直线与2342yx340圆相交且过圆心故选 A调研 4 过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为1,00 21xyA B1 32C D 23【答案】C【解析】由题意得,直线方程为 ,即 圆心(2 ,0)到直31yx1y线 的距离为 ,故所求弦长为310xy2d故选 C22()3lrd调研 5 已知 M 是圆 C:(x1) 2y 2=1 上的点,N 是圆 C:( x4) 2(y4) 2=82 上的点,则|MN|的最小值为A4 B4 12C2 2 D22【答案】D【解析】设圆 C、圆 C 的半径分别为 R

8、 ,r,| CC|=5Rr=7,圆 C 内含于圆 C,则|MN|的最小值为 R| CC|r=2 故选 D调研 6 过点 作圆 的两条切线,切点分别为 , ,则3,4P24xyABA B 5 52C D21 41【答案】D调研 7 若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线( x2) 2y 2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为A( , ) B , 3 3 3 3C( , ) D , 33 33 33 33【答案】D【解析】解法 1:如图,BC=1,AC =2,BAC =30, k 故选 D33 33解法 2:设直线 l 的方程为 y=k(x4) ,则由题意知, 1, k 故选|2k 0

9、 4k|1 k2 33 33D解法 3:过 A(4,0) 的直线 l 可设为 x=my4,代入( x2) 2y 2=1 中得:(m 21)y24my3=0,由 =16m212(m 21)=4m 2120 得 m 或 m 3 3l 的斜率 k= ,0)(0 , ,特别地,当 k=0 时,显然有公共点,1m 33 33k , 故选 D33 33技巧点拨解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转

10、化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题题组三 与圆有关的综合问题调研 8 已知直线 与圆 : 相交于 , 两点( 为坐标原点)20xyaO2xyABO,且 为等腰直角三角形,则实数 的值为AOB aA 或 B 或 6 5C D【答案】B【解析】直线 与圆 : 相交于 , 两点( 为坐标原点) ,20xyaO2xyABO且 为等腰直角三角形, 到直线 的距离为 ,由点到直线的距离公式可得AO B1故选 B21,5a调研 9 若双曲线 的渐近线与抛物线 相切,且被圆21(0,)yxab21yx截得的弦长为 ,则221xyaA B 52 102

11、C D【答案】B【解析】由题意可设切点为(x 0, 1),由 y=2x,可得切线方程为 y( 1)=2x 0(xx 0),2x 20即 y=2x0x 1,双曲线 的渐近线方程为 y= x,221(0,)yabab,x 0=1, =2,则其中一条渐近线方程为 y=2x,圆心 到直线 的20abab 0,2距离是 故选 B215调研 10 已知过点 的直线与圆 相切,且与直线 平,P215xy10xay行,则 _a【答案】2【解析】因为点 P 在圆 上,所以过点 的直线与圆215xy2,P相切的切线为 ,又该切线方程与直215xy160xyx线 平行,得0a2,.a调研 11 抛物线 y2=4x

12、与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A,B 两点,其准线与 x 轴的交点为 M,则过 M,A ,B 三点的圆的标准方程为_ 【答案】(x1) 2y 2=4调研 12 已知点 若点 是圆 上的动点,则,0,2M20xy面积的最小值为_ AB【答案】 2【解析】将圆 化简成标准方程,得 ,其圆心坐20xy221xy标为 ,半径为 ,如图,因为 ,所以 ,1,r2,0,ABAB要求 的面积最小,即要使圆上的动点 到直线 的距离 最小,而圆心ABM MABd到直线 的距离为 ,所以 ,故 的1,:12xy2min22dABMS最小值为 mind调研 13 已知圆 内有一动弦 ,且 ,以 为斜边22

13、1:CxyAB作等腰直角三角形 ,点 在圆外PAB(1 )求点 的轨迹 的方程;2(2 )从原点 作圆 的两条切线,分别交 于 四点,求以这四点为顶点的O12C,EFGH四边形的面积 S【答案】 (1) ;(2)6 2()()4xy【解析】 (1)连接 ,1,CAB , 为等腰直角三角形21CA 为等腰直角三角形,四边形 为正方形, ,PB PB12PC点 的轨迹是以 为圆心,2 为半径的圆,1C故点 的轨迹 的方程为 22()()4xy(2 )如图,作 于点 ,连接 1NOF11,CEFO在 中, , 1RtOCN 112,2CN6O , , 与 为正三角形sin230EH FG ,且 ,

14、11EF 1EF2 233(6)44OGEHS (6)调研 14 已知以点 ( ,且 )为圆心的圆与 轴交于点 , ,与 轴C2,)tR0txOAy交于点 , ,其中 为坐标原点B(1 )求证: 的面积为定值;A(2 )设直线 与圆 交于点 , ,若 ,求圆 的方程24yxMNOC【答案】 (1)见解析;(2) 2215y【解析】 (1)因为圆 过原点 ,所以半径 ,CO224|rCt设圆 的方程是 ,2224()()xtyt令 ,得 , ;令 ,得 , ,0x1y24t01x2t所以 ,即 的面积为定值 4|4AOBSt OAB(2 )因为 , ,所以 垂直平分线段 MNCCMN因为 ,所以

15、 ,所以 ,解得 或 Nk12Okt2tt当 时,圆心 的坐标为 , ,t ,5此时点 到直线 的距离 ,圆 与直线 相交于两点,C4yx1dC24yx符合题意;当 时,圆心 的坐标为 , ,2t2,15O此时点 到直线 的距离 ,圆 与直线 不相交,C4yx9dC24yx所以 不符合题意,舍去2t综上,可得所求圆 的方程为 2215xy调研 15 在直角坐标系 中,已知定圆 ,动圆 过点 且xOy2:136MxyN1,0F与圆 相切,记动圆圆心 的轨迹为曲线 MNC(1 )求曲线 的方程;C(2 )设 是曲线 上两点,点 关于 轴的对称点为 (异于点 ),若直线,APAxBP分别交 轴于点

16、,证明: 为定值Bx,STOST【答案】 (1) ;( 2)详见解析2198y【解析】 (1)因为点 在 内,,0F2136Mxy:所以圆 内切于圆 ,则 ,NNF由椭圆定义知,圆心 的轨迹为椭圆,且 ,则 ,2,1ac29,8ab所以动圆圆心 的轨迹方程为 298xy(2 )设 ,则 ,01,0,STPxyA1,Bxy由题意知 ,则 ,直线 的方程为 ,0110PykxAP11APkx令 ,得 ,y01Sxy同理 ,01010Txy于是 ,220101010| |STxyxOy又 和 在椭圆 上,故 ,0,Pxy1,Ax29822201018(),8()99xy则 2210018(),922

17、22 201010 01()()()xyx所以 ,故 为定值1221008| |9()9xOST OST1 (广东省肇庆市实验中学 2019 届高三第四次月考)已知圆 的圆心为 C,则圆心 C 到直线 的距离等于A BC D2 (福建省漳州市 2018-2019 学年高三第一次质检)直线 被圆 所截的弦长为A1 B2C D3 (山东省济宁市 2018-2019 学年上学期期末质检)圆的公切线的条数为A4 B3C 2 D14 (四川省棠湖中学 2019 届高三上学期第二次月考) 已知两点 ,若曲线 上存在点 ,使得 ,则正实数 的取值范围为A BC D5 (广东省东莞市 2019 届高三上学期期

18、末调研) 过点 且倾斜角为 的直线 交圆于 , 两点,则弦 的长为A B10C D6 (安徽省黄山市 2019 届高三第一次质检) 直线 与 轴的交点为 ,点 把圆的直径分为两段,则较长一段比上较短一段的值等于A2 B3C 4 D57 (广西柳州市 2019 届高三毕业班 1 月模拟考试)已知点 是抛物线 上的动点,以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ,则该圆被 轴截得的弦长的最小值为A BC D8 (湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调研) 已知两点 , 以及圆 :,若圆 上存在点 ,满足 ,则 的取值范围是A BC D9 (福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末质检) 若直线 与曲

19、线 有且只有一个公共点,则实数 的取值范围为A BC D10 (天津市七校 2019 届高三上学期期中联考)两圆 和相交于 两点,则线段 的长为A4 BC D11 (安徽省安庆市 2019 届高三上学期期末考试)直线 是圆 在 处的切线,点 是圆 上的动点,则点 到直线 的距离的最小值等于A1 B 2C D2312 (北京市朝阳区 2018-2019 高三数学期末考试)在平面直角坐标系 中,过三点的圆被 轴截得的弦长为A BC D13 (山东省济南市 2019 届高三上学期期末考试)过圆 内一点作直线 ,则直线 被圆 所截得的最短弦长为_ 14 (湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月

20、考)已知圆 与圆外切,则 的值为_15 (甘肃、青海、宁夏 2019 届高三上学期期末联考)在直角坐标系 中,抛物线 :与圆 : 相交于两点,且两点间的距离为 ,则抛物6线 的焦点到其准线的距离为 _16 (江苏省苏州市 2019 届高三上学期期末调研)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(1,3) ,B(4,6),且圆心在直线 上的圆的标准方程为 _17 (江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末考试)已知圆 : ,圆 :若圆 上存在点 ,过点 作圆 的两条切线,切点为 , ,使得 ,则实数 的取值范围为_18 (北京市大兴区 20182019 学年第一学期期末检测)直线 与圆交于 , 两

21、点,当 的面积最大时, 的值为_19 (江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中考试)在平面直角坐标系 中,已知圆 过点 ,且与圆 相切于原点,则圆 的方程为_20 (广东省茂名市 2019 届高三第一次综合测试)已知 , ,点 是圆上的动点,则 面积的最大值为_21 (山东省新泰市第一中学 2019 届高三上学期第二次质检)已知抛物线 的顶点在坐标原点,焦点为圆 的圆心,直线 与抛物线 的准线和 轴分别交于点 ,且 , 的纵坐标分别为 , (1 )求抛物线 的方程;(2 )求证:直线 恒与圆 相切22 (河南省郑州市 2019 届高三第一次质量预测)已知抛物线 的焦点为 ,过 的直

22、线 与抛物线 交于 , 两点,过 , 分别向抛物线的准线作垂线,设交点分别为 , 为准线上一点(1 )若 ,求 的值;(2 )若点 为线段 的中点,设以线段 为直径的圆为圆 ,判断点 与圆 的位置关系23 (江西省玉山一中 2018-2019 学年第一学期高三期中考试) 已知圆 与 轴相切于点(0, 3) ,圆心在经过点(2,1 )与点(2, 3)的直线 上(1 )求圆 的标准方程;(2 )圆 与圆 : 相交于 M,N 两点,求两圆的公共弦 MN的长1 ( 2018 新课标全国理科) 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点20xyxyAB在圆 上,则 面积的取值范围是P2()xyABPA B

23、6, 48,C D23, 23,2 ( 2017 新课标全国理科) 若双曲线 ( , )的一条渐近线被:C21xyab0ab圆 所截得的弦长为 2,则 的离心率为24xyA2 B 3C D 23 ( 2017 新课标全国理科) 已知椭圆 C: 的左、右顶点分别为20)1(xyabA1,A 2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切,则 C 的离心率为A B 63 3C D2 14 ( 2017 新课标全国理科) 在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上若 ,则 的最大值为APBA3 B2C D255 ( 2016 新课标全国理科) 以抛物线

24、 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点已知|AB|= ,| DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为425A2 B4 C 6 D86 ( 2016 新课标全国理科) 圆 的圆心到直线 的2130xy10axy距离为 1,则 a=A B43 4C D27 ( 2017 新课标全国理科) 已知双曲线 C: (a0 ,b0)的右顶点为 A,以21xyA 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点若MAN=60 ,则 C 的离心率为_8 ( 2016 新课标全国理科) 已知直线 : 与圆 交于l30mxy21xyA,B 两点

25、,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若 ,则3AB_|CD9 (2015 新课标全国理科) 一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半x216 y24轴上,则该圆的标准方程为_10 ( 2018 新课标全国理科)设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为2Cyx: F的直线 与 交于 , 两点, (0)klAB|8(1 )求 的方程;l(2 )求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程C11 ( 2017 新课标全国理科)已知抛物线 C:y 2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1 )证明:坐标原点 O 在圆

26、 M 上;(2 )设圆 M 过点 ,求直线 l 与圆 M 的方程4,2P12 ( 2016 新课标全国理科)设圆 的圆心为 A,直线 l 过点2150xyB(1 ,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点E(1 )证明 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;AEB(2 )设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围圆与方程高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率圆的方程2018 新课标全国222017 新课标全国 92017 新

27、课标全国10 ,12, 202016 新课标全国10,202016 新课标全国 4直线与圆、圆与圆的位置关系从近三年高考情况来看,圆的标准方程的求法是命题的热点,求解时,常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程,并指出圆心坐标及半径;直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查,求解时重点应用圆的几何性质,一般为选择题、填空题,难度中等,解题时应认真体会数形结合思想,培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力2018 新课标全国192018 新课标全国 62017 新课标全国152017 新课标全国 92017 新课标全国10 ,12, 202016 新课标全国10,202016 新课标全国

28、 42016 新课标全国16考点 1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研 1 已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,且圆心在 x 轴上,则圆 C 的标准方程为_【答案】(x2) 2y 2=10【解析】设所求圆 C 的方程为 (xa) 2y 2=r2,把所给两点坐标代入方程得,22(5)13ar解得Error! ,所以所求圆 C 的方程为 (x2) 2y 2=10【名师点睛】圆心在 x 轴上,可设圆心坐标为(a,0) ,半径长为 r,写出圆 C 的标准方程,将 A,B 两点坐标代入求 a,r 即可得圆 C 的方程题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研 2 与直线 和圆 都相切的半径

29、最小的圆的方程是40xy20xyA B21 2214xyC D2xy【答案】C【解析】圆 的圆心坐标为 ,半径为 ,过圆心 与直20xy1,21,线 垂直的直线方程为 ,所求圆的圆心在此直线上,又圆心 到40xy直线 的距离为 ,则所求圆的半径为 ,设所求圆的圆心为 ,6322,ab且圆心在直线 的左上方,则 ,且 ,解得40xy4ab0ab( 不符合题意,舍去 ) ,故所求圆的方程为1,ab3,ab故选 C22xy调研 3 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2,圆心 C 到直线 l:x2y=0 的距离为 ,且圆 C55被 x 轴分成的两段弧长之比为 31,则圆 C 的标准方程为_【答案】(

30、x1) 2(y 1) 2=2 或( x1) 2(y1) 2=2技巧点拨求圆的方程的两种方法1几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程2代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数附:(1)圆的标准方程:当圆心为(a,b) ,半径为 r 时,其标准方程为 (xa) 2( yb) 2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为 x2y 2=r2(2)圆的一般方程:x 2y 2DxEy F=0 ,其中 D2E 24F0,表示以 为圆( D2, E2)心, 为半径的圆D2 E2 4F2考点 2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研 1 若直线 y

31、=kx 与圆(x2) 2y 2=1 的两个交点关于直线 2xyb=0 对称,则点( k,b)所在的圆的方程为A B22()(5)1x221()(5)1C D1y xy【答案】A【解析】由题意知直线 y=kx 与直线 2xyb=0 互相垂直,所以 k= 又圆上两点关于直线122x yb =0 对称,故直线 2xyb=0 过圆心(2,0) ,所以 b=4,结合各选项可知,点在圆 上,故选 A(12, 4) 1()(5)1x技巧点拨1圆的轴对称性: 圆关于直径所在的直线对称 2圆关于点对称: (1 )求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2 )两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的

32、中点 3圆关于直线对称: (1 )求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2 )两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研 2 圆 与圆 的位置关系为224xy2219xyA内切 B外切 C相交 D相离【答案】B【解析】圆 的圆心坐标为 ,半径 ;圆224xy2,12r的圆心坐标为 ,半径 ,圆心距为219,13r, ,即 ,故两圆外切故选 B225d2r12dr调研 3 直线 和圆 的位置关系是4yx40yxA相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相离 D相切【答案】A调研 4 过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为1,0

33、3021xyA B1 32C D 23【答案】C【解析】由题意得,直线方程为 ,即 圆心(2,0)到直31yx1y线 的距离为 ,故所求弦长为310xy2d故选 C22()3lrd调研 5 已知 M 是圆 C:(x1) 2y 2=1 上的点,N 是圆 C:( x4) 2(y4) 2=82 上的点,则|MN|的最小值为A4 B4 12C2 2 D22【答案】D【解析】设圆 C、圆 C 的半径分别为 R ,r,| CC|=5Rr=7,圆 C 内含于圆 C,则|MN|的最小值为 R| CC|r=2 故选 D调研 6 过点 作圆 的两条切线,切点分别为 , ,则3,4P24xyABA B 5 52C

34、D21 41【答案】D调研 7 若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线( x2) 2y 2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为A( , ) B , 3 3 3 3C( , ) D , 33 33 33 33【答案】D【解析】解法 1:如图,BC=1,AC =2,BAC =30, k 故选 D33 33解法 2:设直线 l 的方程为 y=k(x4) ,则由题意知, 1, k 故选|2k 0 4k|1 k2 33 33D解法 3:过 A(4,0) 的直线 l 可设为 x=my4,代入( x2) 2y 2=1 中得:(m 21)y24my3=0,由 =16m212(m 21)=4m 21

35、20 得 m 或 m 3 3l 的斜率 k= ,0)(0 , ,特别地,当 k=0 时,显然有公共点,1m 33 33k , 故选 D33 33技巧点拨解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题题组三 与圆有关的综合问题调研 8 已知直线 与圆 : 相交于 , 两点( 为坐标原点)20xyaO2x

36、yABO,且 为等腰直角三角形,则实数 的值为AOB aA 或 B 或 6 5C D【答案】B【解析】直线 与圆 : 相交于 , 两点( 为坐标原点) ,20xyaO2xyABO且 为等腰直角三角形, 到直线 的距离为 ,由点到直线的距离公式可得AO B1故选 B21,5a调研 9 若双曲线 的渐近线与抛物线 相切,且被圆21(0,)yxab21yx截得的弦长为 ,则221xyaA B 5 102C D【答案】B【解析】由题意可设切点为(x 0, 1),由 y=2x,可得切线方程为 y( 1)=2x 0(xx 0),2x 20即 y=2x0x 1,双曲线 的渐近线方程为 y= x,221(0,

37、)yabab,x 0=1, =2,则其中一条渐近线方程为 y=2x,圆心 到直线 的20abab 0,2距离是 故选 B215调研 10 已知过点 的直线与圆 相切,且与直线 平行,,P215xy10xay则 _a【答案】2【解析】因为点 P 在圆 上,所以过点 的直线与圆215xy2,P相切的切线为 ,又该切线方程与直215xy160xyx线 平行,得0a2,.a调研 11 抛物线 y2=4x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A,B 两点,其准线与 x 轴的交点为 M,则过 M,A ,B 三点的圆的标准方程为_ 【答案】(x1) 2y 2=4调研 12 已知点 若点 是圆 上的动点,

38、则,0,2M20xy面积的最小值为_AB【答案】 2【解析】将圆 化简成标准方程,得 ,其圆心坐20xy221xy标为 ,半径为 ,如图,因为 ,所以 ,1,r2,0,ABAB要求 的面积最小,即要使圆上的动点 到直线 的距离 最小,而圆心ABM MABd到直线 的距离为 ,所以 ,故 的1,:12xy2min22dABMS最小值为 mind调研 13 已知圆 内有一动弦 ,且 ,以 为斜边221:CxyAB作等腰直角三角形 ,点 在圆外PAB(1 )求点 的轨迹 的方程;2(2 )从原点 作圆 的两条切线,分别交 于 四点,求以这四点为顶点的O12C,EFGH四边形的面积 S【答案】 (1)

39、 ;(2 )62()()4xy【解析】 (1)连接 ,1,CAB , 为等腰直角三角形21CA 为等腰直角三角形,四边形 为正方形, ,PB PB12PC点 的轨迹是以 为圆心,2 为半径的圆,1C故点 的轨迹 的方程为 22()()4xy(2 )如图,作 于点 ,连接 1NOF11,CEFO在 中, , 1RtOCN 112,2CN6O , , 与 为正三角形sin230EH FG ,且 , 11EF 1EF2 233(6)44OGEHS (6)调研 14 已知以点 ( ,且 )为圆心的圆与 轴交于点 , ,与C,tR0txOA轴交于点 , ,其中 为坐标原点yB(1 )求证: 的面积为定值

40、;A(2 )设直线 与圆 交于点 , ,若 ,求圆 的方程24yxMNOC【答案】 (1)见解析;(2) 2215y【解析】 (1)因为圆 过原点 ,所以半径 ,CO224|rCt设圆 的方程是 ,2224()()xtyt令 ,得 , ;令 ,得 , ,0x1y24t01x2t所以 ,即 的面积为定值 4|4AOBSt OAB(2 )因为 , ,所以 垂直平分线段 MNCCMN因为 ,所以 ,所以 ,解得 或 Nk12Okt2t当 时,圆心 的坐标为 , ,t ,5此时点 到直线 的距离 ,圆 与直线 相交于两点,C4yx1dC24yx符合题意;当 时,圆心 的坐标为 , ,2t2,15O此时

41、点 到直线 的距离 ,圆 与直线 不相交,C4yx9dC24yx所以 不符合题意,舍去2t综上,可得所求圆 的方程为 2215xy调研 15 在直角坐标系 中,已知定圆 ,动圆 过点 且xOy2:136MxyN1,0F与圆 相切,记动圆圆心 的轨迹为曲线 MNC(1 )求曲线 的方程;C(2 )设 是曲线 上两点,点 关于 轴的对称点为 (异于点 ),若直线,APAxBP分别交 轴于点 ,证明: 为定值Bx,STOST【答案】 (1) ;( 2)详见解析2198y【解析】 (1)因为点 在 内,,0F2136Mxy:所以圆 内切于圆 ,则 ,NNF由椭圆定义知,圆心 的轨迹为椭圆,且 ,则 ,

42、2,1ac29,8ab所以动圆圆心 的轨迹方程为 298xy(2 )设 ,则 ,01,0,STPxyA1,Bxy由题意知 ,则 ,直线 的方程为 ,0110PykxAP11APkx令 ,得 ,同理 ,y01Sxy01010Txyy于是 ,220101010| |STyxOy又 和 在椭圆 上,故 ,0,Pxy1,Ax298x22201018(),8()99xy则 2210018(),92222 201010 01()()()xy所以 ,故 为定值222010018| |9()9xxOST OST1 (广东省肇庆市实验中学 2019 届高三第四次月考)已知圆 的圆心为 C,则圆心 C 到直线 的

43、距离等于A BC D【答案】C【解析】把圆的方程化为标准方程得:(x-1) 2+(y+ 1) 24,可得圆心坐标为(1,-1) ,则圆心到直线 3x-4y-30 的距离 d 故选 C2 (福建省漳州市 2018-2019 学年高三第一次质检)直线 被圆 所截的弦长为A1 B2C D2【答案】D【解析】直线方程可化为 ,圆心到直线的距离为 / /+3=0,由垂径定理可得半弦长为 ,所以截直线所得弦长为 ,故选 D3 (山东省济宁市 2018-2019 学年上学期期末质检)圆的公切线的条数为A4 B3C 2 D1【答案】A【解析】|C 1C2|r 1+r2,所以圆 C1 与圆 C2 相离,有 4 条公切线故选 A4 (四川省棠湖中学 2019 届高三上学期第二次月考) 已知两点 ,若曲线 上存在点 ,使得 ,则正实数 的取值范围为A B

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