1、 圆与方程高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率圆的方程2018 新课标全国222017 新课标全国 92017 新课标全国10 ，12， 202016 新课标全国10，202016 新课标全国 4直线与圆、圆与圆的位置关系从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力2018 新课标全国192018 新课标全国 62017 新课标全
2、国152017 新课标全国 92017 新课标全国10 ，12， 202016 新课标全国10，202016 新课标全国 42016 新课标全国16考点 1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研 1 已知圆 C 经过 A(5，1) ，B(1，3)两点，且圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程为_【答案】(x2) 2y 2=10【解析】设所求圆 C 的方程为 (xa) 2y 2=r2，把所给两点坐标代入方程得，22(5)13ar解得Error! ，所以所求圆 C 的方程为 (x2) 2y 2=10【名师点睛】圆心在 x 轴上，可设圆心坐标为(a，0) ，半径长为 r，写出圆 C 的标准方程，将 A
3、，B 两点坐标代入求 a，r 即可得圆 C 的方程题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研 2 与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是40xy20xyA B21 2214xyC D2xy【答案】C调研 3 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l：x2y=0 的距离为 ，且圆 C55被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的标准方程为_【答案】(x1) 2(y 1) 2=2 或( x1) 2(y1) 2=2【解析】设圆 C 的方程为(xa) 2( yb) 2=r2，则点 C 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b| ，|a|由题意可知Error!Error! 或Err
4、or! 故圆 C 的标准方程为 (x1) 2( y1) 2=2 或(x1)2(y 1)2=2技巧点拨求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a，b) ，半径为 r 时，其标准方程为 (xa) 2( yb) 2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2y 2=r2（2）圆的一般方程：x 2y 2DxEy F=0 ，其中 D2E 24F0，表示以 为圆( D2， E2)心， 为半径的圆D2 E2 4F2考点 2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关
5、的对称问题调研 1 若直线 y=kx 与圆(x2) 2y 2=1 的两个交点关于直线 2xyb=0 对称，则点( k，b)所在的圆的方程为A B22()(5)1x221()(5)1C D1y xy【答案】A【解析】由题意知直线 y=kx 与直线 2xyb=0 互相垂直，所以 k= 又圆上两点关于直线122x yb =0 对称，故直线 2xyb=0 过圆心(2，0) ，所以 b=4，结合各选项可知，点在圆 上，故选 A(12， 4) 1()(5)1x技巧点拨1圆的轴对称性: 圆关于直径所在的直线对称 2圆关于点对称： （1 ）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2 ）两圆关于
6、点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 3圆关于直线对称： （1 ）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2 ）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研 2 圆 与圆 的位置关系为224xy2219xyA内切 B外切 C相交 D相离【答案】B【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆224xy2,12r的圆心坐标为 ，半径 ，圆心距为2219xy2,123r， ，即 ，故两圆外切故选 B5d12dr调研 3 直线 和圆 的位置关系是42yx240yxA相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相离 D相切【答案】A【解析】将 化简为 ，易
7、知圆心为2420xy2215xy，半径 ，,15r将 代入到 中，得 ，即满足直线方程，故直线与2342yx340圆相交且过圆心故选 A调研 4 过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为1,00 21xyA B1 32C D 23【答案】C【解析】由题意得，直线方程为 ，即 圆心（2 ，0）到直31yx1y线 的距离为 ，故所求弦长为310xy2d故选 C22()3lrd调研 5 已知 M 是圆 C：(x1) 2y 2=1 上的点，N 是圆 C：( x4) 2(y4) 2=82 上的点，则|MN|的最小值为A4 B4 12C2 2 D22【答案】D【解析】设圆 C、圆 C 的半径分别为 R
8、 ，r，| CC|=5Rr=7，圆 C 内含于圆 C，则|MN|的最小值为 R| CC|r=2 故选 D调研 6 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则3,4P24xyABA B 5 52C D21 41【答案】D调研 7 若过点 A(4，0) 的直线 l 与曲线( x2) 2y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为A( ， ) B ， 3 3 3 3C( ， ) D ， 33 33 33 33【答案】D【解析】解法 1：如图，BC=1，AC =2，BAC =30， k 故选 D33 33解法 2：设直线 l 的方程为 y=k(x4) ，则由题意知， 1， k 故选|2k 0
9、 4k|1 k2 33 33D解法 3：过 A(4，0) 的直线 l 可设为 x=my4，代入( x2) 2y 2=1 中得：(m 21)y24my3=0，由 =16m212(m 21)=4m 2120 得 m 或 m 3 3l 的斜率 k= ，0)(0 ， ，特别地，当 k=0 时，显然有公共点，1m 33 33k ， 故选 D33 33技巧点拨解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转
10、化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题题组三 与圆有关的综合问题调研 8 已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点）20xyaO2xyABO，且 为等腰直角三角形，则实数 的值为AOB aA 或 B 或 6 5C D【答案】B【解析】直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点） ，20xyaO2xyABO且 为等腰直角三角形， 到直线 的距离为 ，由点到直线的距离公式可得AO B1故选 B21,5a调研 9 若双曲线 的渐近线与抛物线 相切，且被圆21(0,)yxab21yx截得的弦长为 ，则221xyaA B 52 102
11、C D【答案】B【解析】由题意可设切点为(x 0， 1)，由 y=2x，可得切线方程为 y( 1)=2x 0(xx 0)，2x 20即 y=2x0x 1，双曲线 的渐近线方程为 y= x，221(0,)yabab，x 0=1， =2，则其中一条渐近线方程为 y=2x，圆心 到直线 的20abab 0,2距离是 故选 B215调研 10 已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 平,P215xy10xay行，则 _a【答案】2【解析】因为点 P 在圆 上，所以过点 的直线与圆215xy2,P相切的切线为 ，又该切线方程与直215xy160xyx线 平行，得0a2,.a调研 11 抛物线 y2=4x
12、与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A，B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M，A ，B 三点的圆的标准方程为_ 【答案】(x1) 2y 2=4调研 12 已知点 若点 是圆 上的动点，则,0,2M20xy面积的最小值为_ AB【答案】 2【解析】将圆 化简成标准方程，得 ，其圆心坐20xy221xy标为 ，半径为 ，如图，因为 ，所以 ，1,r2,0,ABAB要求 的面积最小，即要使圆上的动点 到直线 的距离 最小，而圆心ABM MABd到直线 的距离为 ，所以 ，故 的1,:12xy2min22dABMS最小值为 mind调研 13 已知圆 内有一动弦 ，且 ，以 为斜边22
13、1:CxyAB作等腰直角三角形 ，点 在圆外PAB（1 ）求点 的轨迹 的方程；2（2 ）从原点 作圆 的两条切线，分别交 于 四点，求以这四点为顶点的O12C,EFGH四边形的面积 S【答案】 （1） ；（2）6 2()()4xy【解析】 （1）连接 ，1,CAB ， 为等腰直角三角形21CA 为等腰直角三角形，四边形 为正方形， ，PB PB12PC点 的轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆，1C故点 的轨迹 的方程为 22()()4xy（2 ）如图，作 于点 ，连接 1NOF11,CEFO在 中， ， 1RtOCN 112,2CN6O ， ， 与 为正三角形sin230EH FG ，且 ，
14、11EF 1EF2 233(6)44OGEHS (6)调研 14 已知以点 （ ，且 ）为圆心的圆与 轴交于点 ， ，与 轴C2,)tR0txOAy交于点 ， ，其中 为坐标原点B（1 ）求证： 的面积为定值；A（2 ）设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆 的方程24yxMNOC【答案】 （1）见解析；（2） 2215y【解析】 （1）因为圆 过原点 ，所以半径 ，CO224|rCt设圆 的方程是 ，2224()()xtyt令 ，得 ， ；令 ，得 ， ，0x1y24t01x2t所以 ，即 的面积为定值 4|4AOBSt OAB（2 ）因为 ， ，所以 垂直平分线段 MNCCMN因为 ，所以
15、 ，所以 ，解得 或 Nk12Okt2tt当 时，圆心 的坐标为 ， ，t ,5此时点 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点，C4yx1dC24yx符合题意；当 时，圆心 的坐标为 ， ，2t2,15O此时点 到直线 的距离 ，圆 与直线 不相交，C4yx9dC24yx所以 不符合题意，舍去2t综上，可得所求圆 的方程为 2215xy调研 15 在直角坐标系 中，已知定圆 ，动圆 过点 且xOy2:136MxyN1,0F与圆 相切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 MNC（1 ）求曲线 的方程；C（2 ）设 是曲线 上两点，点 关于 轴的对称点为 (异于点 )，若直线,APAxBP分别交 轴于点
16、，证明: 为定值Bx,STOST【答案】 （1） ；（ 2）详见解析2198y【解析】 （1）因为点 在 内，,0F2136Mxy：所以圆 内切于圆 ，则 ，NNF由椭圆定义知，圆心 的轨迹为椭圆，且 ，则 ，2,1ac29,8ab所以动圆圆心 的轨迹方程为 298xy（2 ）设 ，则 ，01,0,STPxyA1,Bxy由题意知 ，则 ，直线 的方程为 ，0110PykxAP11APkx令 ，得 ，y01Sxy同理 ，01010Txy于是 ，220101010| |STxyxOy又 和 在椭圆 上，故 ，0,Pxy1,Ax29822201018(),8()99xy则 2210018(),922
17、22 201010 01()()()xyx所以 ，故 为定值1221008| |9()9xOST OST1 （广东省肇庆市实验中学 2019 届高三第四次月考）已知圆 的圆心为 C，则圆心 C 到直线 的距离等于A BC D2 （福建省漳州市 2018-2019 学年高三第一次质检）直线 被圆 所截的弦长为A1 B2C D3 （山东省济宁市 2018-2019 学年上学期期末质检）圆的公切线的条数为A4 B3C 2 D14 （四川省棠湖中学 2019 届高三上学期第二次月考） 已知两点 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范围为A BC D5 （广东省东莞市 2019 届高三上学期期
18、末调研） 过点 且倾斜角为 的直线 交圆于 ， 两点，则弦 的长为A B10C D6 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质检） 直线 与 轴的交点为 ，点 把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于A2 B3C 4 D57 （广西柳州市 2019 届高三毕业班 1 月模拟考试）已知点 是抛物线 上的动点，以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为A BC D8 （湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调研） 已知两点 ， 以及圆 ：，若圆 上存在点 ，满足 ，则 的取值范围是A BC D9 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末质检） 若直线 与曲
19、线 有且只有一个公共点，则实数 的取值范围为A BC D10 （天津市七校 2019 届高三上学期期中联考）两圆 和相交于 两点，则线段 的长为A4 BC D11 （安徽省安庆市 2019 届高三上学期期末考试）直线 是圆 在 处的切线，点 是圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值等于A1 B 2C D2312 （北京市朝阳区 2018-2019 高三数学期末考试）在平面直角坐标系 中，过三点的圆被 轴截得的弦长为A BC D13 （山东省济南市 2019 届高三上学期期末考试）过圆 内一点作直线 ，则直线 被圆 所截得的最短弦长为_ 14 （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月
20、考）已知圆 与圆外切，则 的值为_15 （甘肃、青海、宁夏 2019 届高三上学期期末联考）在直角坐标系 中，抛物线 ：与圆 ： 相交于两点，且两点间的距离为 ，则抛物6线 的焦点到其准线的距离为 _16 （江苏省苏州市 2019 届高三上学期期末调研）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3) ，B(4，6)，且圆心在直线 上的圆的标准方程为 _17 （江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末考试）已知圆 ： ，圆 ：若圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为_18 （北京市大兴区 20182019 学年第一学期期末检测）直线 与圆交于 ， 两
21、点，当 的面积最大时， 的值为_19 （江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中考试）在平面直角坐标系 中，已知圆 过点 ，且与圆 相切于原点，则圆 的方程为_20 （广东省茂名市 2019 届高三第一次综合测试）已知 ， ，点 是圆上的动点，则 面积的最大值为_21 （山东省新泰市第一中学 2019 届高三上学期第二次质检）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点为圆 的圆心，直线 与抛物线 的准线和 轴分别交于点 ，且 ， 的纵坐标分别为 ， （1 ）求抛物线 的方程；（2 ）求证：直线 恒与圆 相切22 （河南省郑州市 2019 届高三第一次质量预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直
22、线 与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为 ， 为准线上一点（1 ）若 ，求 的值；（2 ）若点 为线段 的中点，设以线段 为直径的圆为圆 ，判断点 与圆 的位置关系23 （江西省玉山一中 2018-2019 学年第一学期高三期中考试） 已知圆 与 轴相切于点（0， 3） ，圆心在经过点（2，1 ）与点（2， 3）的直线 上（1 ）求圆 的标准方程；（2 ）圆 与圆 ： 相交于 M，N 两点，求两圆的公共弦 MN的长1 （ 2018 新课标全国理科） 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点20xyxyAB在圆 上，则 面积的取值范围是P2()xyABPA B
23、6， 48，C D23， 23，2 （ 2017 新课标全国理科） 若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被:C21xyab0ab圆 所截得的弦长为 2，则 的离心率为24xyA2 B 3C D 23 （ 2017 新课标全国理科） 已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为20)1(xyabA1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为A B 63 3C D2 14 （ 2017 新课标全国理科） 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上若 ，则 的最大值为APBA3 B2C D255 （ 2016 新课标全国理科） 以抛物线
24、 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|= ，| DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为425A2 B4 C 6 D86 （ 2016 新课标全国理科） 圆 的圆心到直线 的2130xy10axy距离为 1，则 a=A B43 4C D27 （ 2017 新课标全国理科） 已知双曲线 C： （a0 ，b0）的右顶点为 A，以21xyA 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN=60 ，则 C 的离心率为_8 （ 2016 新课标全国理科） 已知直线 ： 与圆 交于l30mxy21xyA，B 两点
25、，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若 ，则3AB_|CD9 （2015 新课标全国理科） 一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半x216 y24轴上，则该圆的标准方程为_10 （ 2018 新课标全国理科）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为2Cyx： F的直线 与 交于 ， 两点， (0)klAB|8（1 ）求 的方程；l（2 ）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程C11 （ 2017 新课标全国理科）已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1 ）证明：坐标原点 O 在圆
26、 M 上；（2 ）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程4,2P12 （ 2016 新课标全国理科）设圆 的圆心为 A，直线 l 过点2150xyB（1 ，0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点E（1 ）证明 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；AEB（2 ）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围圆与方程高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率圆的方程2018 新课标全国222017 新课标全国 92017 新
27、课标全国10 ，12， 202016 新课标全国10，202016 新课标全国 4直线与圆、圆与圆的位置关系从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力2018 新课标全国192018 新课标全国 62017 新课标全国152017 新课标全国 92017 新课标全国10 ，12， 202016 新课标全国10，202016 新课标全国
28、 42016 新课标全国16考点 1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研 1 已知圆 C 经过 A(5，1) ，B(1，3)两点，且圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程为_【答案】(x2) 2y 2=10【解析】设所求圆 C 的方程为 (xa) 2y 2=r2，把所给两点坐标代入方程得，22(5)13ar解得Error! ，所以所求圆 C 的方程为 (x2) 2y 2=10【名师点睛】圆心在 x 轴上，可设圆心坐标为(a，0) ，半径长为 r，写出圆 C 的标准方程，将 A，B 两点坐标代入求 a，r 即可得圆 C 的方程题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研 2 与直线 和圆 都相切的半径
29、最小的圆的方程是40xy20xyA B21 2214xyC D2xy【答案】C【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，过圆心 与直20xy1,21,线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到40xy直线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆的圆心为 ，6322,ab且圆心在直线 的左上方，则 ，且 ，解得40xy4ab0ab（ 不符合题意，舍去 ） ，故所求圆的方程为1,ab3,ab故选 C22xy调研 3 已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l：x2y=0 的距离为 ，且圆 C55被 x 轴分成的两段弧长之比为 31，则圆 C 的标准方程为_【答案】(
30、x1) 2(y 1) 2=2 或( x1) 2(y1) 2=2技巧点拨求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a，b) ，半径为 r 时，其标准方程为 (xa) 2( yb) 2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2y 2=r2（2）圆的一般方程：x 2y 2DxEy F=0 ，其中 D2E 24F0，表示以 为圆( D2， E2)心， 为半径的圆D2 E2 4F2考点 2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研 1 若直线 y
31、=kx 与圆(x2) 2y 2=1 的两个交点关于直线 2xyb=0 对称，则点( k，b)所在的圆的方程为A B22()(5)1x221()(5)1C D1y xy【答案】A【解析】由题意知直线 y=kx 与直线 2xyb=0 互相垂直，所以 k= 又圆上两点关于直线122x yb =0 对称，故直线 2xyb=0 过圆心(2，0) ，所以 b=4，结合各选项可知，点在圆 上，故选 A(12， 4) 1()(5)1x技巧点拨1圆的轴对称性: 圆关于直径所在的直线对称 2圆关于点对称： （1 ）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2 ）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的
32、中点 3圆关于直线对称： （1 ）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2 ）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研 2 圆 与圆 的位置关系为224xy2219xyA内切 B外切 C相交 D相离【答案】B【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆224xy2,12r的圆心坐标为 ，半径 ，圆心距为219,13r， ，即 ，故两圆外切故选 B225d2r12dr调研 3 直线 和圆 的位置关系是4yx40yxA相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相离 D相切【答案】A调研 4 过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为1,0
33、3021xyA B1 32C D 23【答案】C【解析】由题意得，直线方程为 ，即 圆心（2，0）到直31yx1y线 的距离为 ，故所求弦长为310xy2d故选 C22()3lrd调研 5 已知 M 是圆 C：(x1) 2y 2=1 上的点，N 是圆 C：( x4) 2(y4) 2=82 上的点，则|MN|的最小值为A4 B4 12C2 2 D22【答案】D【解析】设圆 C、圆 C 的半径分别为 R ，r，| CC|=5Rr=7，圆 C 内含于圆 C，则|MN|的最小值为 R| CC|r=2 故选 D调研 6 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则3,4P24xyABA B 5 52C
34、D21 41【答案】D调研 7 若过点 A(4，0) 的直线 l 与曲线( x2) 2y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为A( ， ) B ， 3 3 3 3C( ， ) D ， 33 33 33 33【答案】D【解析】解法 1：如图，BC=1，AC =2，BAC =30， k 故选 D33 33解法 2：设直线 l 的方程为 y=k(x4) ，则由题意知， 1， k 故选|2k 0 4k|1 k2 33 33D解法 3：过 A(4，0) 的直线 l 可设为 x=my4，代入( x2) 2y 2=1 中得：(m 21)y24my3=0，由 =16m212(m 21)=4m 21
35、20 得 m 或 m 3 3l 的斜率 k= ，0)(0 ， ，特别地，当 k=0 时，显然有公共点，1m 33 33k ， 故选 D33 33技巧点拨解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题题组三 与圆有关的综合问题调研 8 已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点）20xyaO2x
36、yABO，且 为等腰直角三角形，则实数 的值为AOB aA 或 B 或 6 5C D【答案】B【解析】直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点） ，20xyaO2xyABO且 为等腰直角三角形， 到直线 的距离为 ，由点到直线的距离公式可得AO B1故选 B21,5a调研 9 若双曲线 的渐近线与抛物线 相切，且被圆21(0,)yxab21yx截得的弦长为 ，则221xyaA B 5 102C D【答案】B【解析】由题意可设切点为(x 0， 1)，由 y=2x，可得切线方程为 y( 1)=2x 0(xx 0)，2x 20即 y=2x0x 1，双曲线 的渐近线方程为 y= x，221(0,
37、)yabab，x 0=1， =2，则其中一条渐近线方程为 y=2x，圆心 到直线 的20abab 0,2距离是 故选 B215调研 10 已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 平行，,P215xy10xay则 _a【答案】2【解析】因为点 P 在圆 上，所以过点 的直线与圆215xy2,P相切的切线为 ，又该切线方程与直215xy160xyx线 平行，得0a2,.a调研 11 抛物线 y2=4x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A，B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M，A ，B 三点的圆的标准方程为_ 【答案】(x1) 2y 2=4调研 12 已知点 若点 是圆 上的动点，
38、则,0,2M20xy面积的最小值为_AB【答案】 2【解析】将圆 化简成标准方程，得 ，其圆心坐20xy221xy标为 ，半径为 ，如图，因为 ，所以 ，1,r2,0,ABAB要求 的面积最小，即要使圆上的动点 到直线 的距离 最小，而圆心ABM MABd到直线 的距离为 ，所以 ，故 的1,:12xy2min22dABMS最小值为 mind调研 13 已知圆 内有一动弦 ，且 ，以 为斜边221:CxyAB作等腰直角三角形 ，点 在圆外PAB（1 ）求点 的轨迹 的方程；2（2 ）从原点 作圆 的两条切线，分别交 于 四点，求以这四点为顶点的O12C,EFGH四边形的面积 S【答案】 （1）
39、 ；（2 ）62()()4xy【解析】 （1）连接 ，1,CAB ， 为等腰直角三角形21CA 为等腰直角三角形，四边形 为正方形， ，PB PB12PC点 的轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆，1C故点 的轨迹 的方程为 22()()4xy（2 ）如图，作 于点 ，连接 1NOF11,CEFO在 中， ， 1RtOCN 112,2CN6O ， ， 与 为正三角形sin230EH FG ，且 ， 11EF 1EF2 233(6)44OGEHS (6)调研 14 已知以点 （ ，且 ）为圆心的圆与 轴交于点 ， ，与C,tR0txOA轴交于点 ， ，其中 为坐标原点yB（1 ）求证： 的面积为定值
40、；A（2 ）设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆 的方程24yxMNOC【答案】 （1）见解析；（2） 2215y【解析】 （1）因为圆 过原点 ，所以半径 ，CO224|rCt设圆 的方程是 ，2224()()xtyt令 ，得 ， ；令 ，得 ， ，0x1y24t01x2t所以 ，即 的面积为定值 4|4AOBSt OAB（2 ）因为 ， ，所以 垂直平分线段 MNCCMN因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 Nk12Okt2t当 时，圆心 的坐标为 ， ，t ,5此时点 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点，C4yx1dC24yx符合题意；当 时，圆心 的坐标为 ， ，2t2,15O此时
41、点 到直线 的距离 ，圆 与直线 不相交，C4yx9dC24yx所以 不符合题意，舍去2t综上，可得所求圆 的方程为 2215xy调研 15 在直角坐标系 中，已知定圆 ，动圆 过点 且xOy2:136MxyN1,0F与圆 相切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 MNC（1 ）求曲线 的方程；C（2 ）设 是曲线 上两点，点 关于 轴的对称点为 (异于点 )，若直线,APAxBP分别交 轴于点 ，证明: 为定值Bx,STOST【答案】 （1） ；（ 2）详见解析2198y【解析】 （1）因为点 在 内，,0F2136Mxy：所以圆 内切于圆 ，则 ，NNF由椭圆定义知，圆心 的轨迹为椭圆，且 ，则 ，
42、2,1ac29,8ab所以动圆圆心 的轨迹方程为 298xy（2 ）设 ，则 ，01,0,STPxyA1,Bxy由题意知 ，则 ，直线 的方程为 ，0110PykxAP11APkx令 ，得 ，同理 ，y01Sxy01010Txyy于是 ，220101010| |STyxOy又 和 在椭圆 上，故 ，0,Pxy1,Ax298x22201018(),8()99xy则 2210018(),92222 201010 01()()()xy所以 ，故 为定值222010018| |9()9xxOST OST1 （广东省肇庆市实验中学 2019 届高三第四次月考）已知圆 的圆心为 C，则圆心 C 到直线 的
43、距离等于A BC D【答案】C【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x-1） 2+（y+ 1） 24，可得圆心坐标为（1，-1） ，则圆心到直线 3x-4y-30 的距离 d 故选 C2 （福建省漳州市 2018-2019 学年高三第一次质检）直线 被圆 所截的弦长为A1 B2C D2【答案】D【解析】直线方程可化为 ，圆心到直线的距离为 / /+3=0，由垂径定理可得半弦长为 ，所以截直线所得弦长为 ，故选 D3 （山东省济宁市 2018-2019 学年上学期期末质检）圆的公切线的条数为A4 B3C 2 D1【答案】A【解析】|C 1C2|r 1+r2，所以圆 C1 与圆 C2 相离，有 4 条公切线故选 A4 （四川省棠湖中学 2019 届高三上学期第二次月考） 已知两点 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范围为A B
