1、9.3 圆的方程最新考纲 考情考向分析掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心为(a，b)标准式 (xa) 2(yb) 2r 2(r0)半径为 r充要条件：D 2E 24F0圆心坐标： ( D2， E2)方程一般式 x2y 2DxEyF0半径 r12D2 E2 4F概念方法微思考1.二元二次方程 Ax2BxyCy 2DxEy F0 表示圆的条件是什么？提示 Error!2.已知C：x 2y
2、 2Dx EyF0，则“EF0 且 Dr2；(3)点在圆内：(x 0a) 2( y0b) 20.( )20 20(5)方程(xa) 2( yb) 2t 2(tR) 表示圆心为(a，b)，半径为 t 的圆.( )题组二 教材改编2.P124A 组 T2圆心为(1 ，1)且过原点的圆的方程是( )A.(x1) 2(y 1)21 B.(x1) 2(y1) 21C.(x1) 2( y 1)22 D.(x1) 2(y1) 22答案 D解析 因为圆心为(1，1)且过 原点，所以该圆的半径 r ，则该圆的方程为( x1)12 12 22(y 1)22.3.P132A 组 T3以点(3 ，1)为圆心，并且与直
3、线 3x4y0 相切的圆的方程是( )A.(x3) 2(y 1)21B.(x3) 2( y 1)21C.(x3) 2( y 1)21D.(x3) 2(y 1)21答案 A4.P124A 组 T4圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1，1) 和 B(1，3)，则圆 C 的方程为_.答案 (x2) 2y 210解析 设圆心坐标为 C(a，0)，点 A(1，1)和 B(1，3)在圆 C 上，|CA | |CB|，即 ，a 12 1 a 12 9解得 a2，圆心为 C(2，0)，半径|CA | ，2 12 1 10圆 C 的方程为(x2) 2y 210.题组三 易错自纠5.若方程 x2y 2mx
4、2y 3 0 表示圆，则 m 的取值范围是( )A.( ， )( ，)2 2B.(，2 )(2 ，)2 2C.(， )( ，)3 3D.( ，2 )(2 ， )3 3答案 B解析 将 x2y 2mx2y 3 0 化为圆的标准方程得 2( y1) 2 2.(x m2) m24由其表示圆可得 20 ，解得 m2 .m24 2 26.(2018浙 江 诸 暨 中 学 期 中 )点 P(5a 1， 12a)在 圆 (x 1)2 y2 1 的 内 部 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.|a|0)，又圆与直线 4x3y0 相切， 1，解得 a2 或 a (舍去).|4a 3|5 12圆的标准方
5、程为(x2) 2(y1) 21.故选 A.题型一 圆的方程例 1 (1)已知圆 E 经过三点 A(0，1) ，B(2，0) ，C (0，1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为( )A. 2y 2 B. 2y 2(x 32) 254 (x 34) 2516C. 2y 2 D. 2y 2(x 34) 2516 (x 34) 254答案 C解析 方法一 (待定系数法 )根据题意，设圆 E 的圆心坐标为( a，0)(a0)，半径为 r，则圆 E 的标准方程为(xa) 2y 2r 2(a0).由题意得Error! 解得Error!所以圆 E 的标准方程为 2y 2 .(x 34) 25
6、16方法二 (待定系数法)设圆 E 的一般方程为 x2y 2 DxEy F0( D2E 24F0)，则由题意得Error!解得Error!所以圆 E 的一般方程为 x2y 2 x10，32即 2y 2 .(x 34) 2516方法三 (几何法)因为圆 E 经过点 A(0，1)，B(2，0)，所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y 2( x1)上.12又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，所以圆 E 的圆心坐标为 .(34，0)则圆 E 的半径为|EB| ，(2 34)2 0 02 54所以圆 E 的标准方程为 2y 2 .(x 34) 2516(2)已知圆 C 的圆心在直线 xy 0
7、 上，圆 C 与直线 xy0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 ，则圆 C 的方程为_.6答案 (x1) 2(y 1) 22解析 方法一 所求圆的圆心在直线 xy0 上，设所求圆的圆心为(a，a).又所求圆与直线 xy 0 相切，半径 r |a|.2|a|2 2又所求圆在直线 xy 30 上截得的弦长为 ，6圆心(a，a) 到直 线 xy30 的距离 d ，|2a 3|2d 2 2r 2，即 2a 2，(62) 2a 322 32解得 a1，圆 C 的方程为( x1) 2(y1) 22.方法二 设所求圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2(r0)，则圆心(a，b) 到直 线 xy30
8、 的距离 d ，|a b 3|2r 2 ，即 2r2(ab3) 23.a b 322 32由于所求圆与直线 xy 0 相切，(ab) 22r 2.又圆心在直线 xy 0 上，ab0.联立，解得Error!故圆 C 的方程为(x1) 2(y 1) 22.方法三 设所求圆的方程为 x2y 2DxEy F0，则圆心为 ，半径 r ，( D2， E2) 12D2 E2 4F圆心在直线 xy 0 上， 0，即 DE0，D2 E2又圆 C 与直线 xy0 相切， ，| D2 E2|2 12D2 E2 4F即(DE )22(D 2E 24F)，D 2E 22DE8F 0.又知圆心 到直线 xy30 的距离
9、d ，( D2， E2) |D2 E2 3|2由已知得 d2 2r 2，(62)(DE 6) 2122(D 2E 24F)，联立，解得Error!故所求圆的方程为 x2y 22x 2y0，即(x1) 2(y 1)22.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程 组， 进而求出 D，E，F 的值.跟踪训练 1 一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y 0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为2 ，则该圆的方程为_.7答案 x
10、 2y 26x 2y10 或 x2y 26x 2y10解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x3y0 上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与 y 轴相切，半径 r3|a|，又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 ，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d ，7|2a|2d 2( )2r 2，即 2a279a 2，a1.7故所求圆的方程为(x3) 2(y1) 29 或(x3) 2(y1) 29，即 x2y 26x2y10 或x2y 26x2y10.方法二 设所求圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2，则圆心(a，b) 到直 线 yx 的距离为 ，|a b|2r 2 7，即 2r2(a b)
11、 214.a b22由于所求圆与 y 轴相切，r 2a 2，又所求圆的圆心在直线 x3y0 上，a3b0，联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为(x3) 2(y1) 29 或(x3) 2(y1) 29，即 x2y 26x2y10 或x2y 26x2y10.方法三 设所求圆的方程为 x2y 2DxEy F0，则圆心坐标为 ，( D2， E2)半径 r .12D2 E2 4F在圆的方程中，令 x0，得 y2Ey F0.由于所求圆与 y 轴相切，0， 则 E24F.圆心 到直线 yx 的距离为 d ，( D2， E2) |D2 E2|2由已知得 d2( )2r 2，7即(DE )256
12、2(D 2E 24F).又圆心 在直线 x3y0 上，( D2， E2)D3E0.联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为 x2y 26x 2y10 或 x2y 26x 2y10.题型二 与圆有关的轨迹问题例 2 已知 Rt ABC 的斜边为 AB，且 A(1，0) ，B (3，0).求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.解 (1)方法一 设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0.因为 ACBC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kACkBC1，又 kAC ，kBC ，所以 1，yx 1 yx 3 yx 1 yx 3化简得
13、 x2y 22x 30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y 22x 30( y0).方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD| |AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心， 2 为半径的圆( 由于12A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点).所以直角顶点 C 的轨迹方程为 (x1) 2y 24(y0).(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x ，yx0 32，y0 02所以 x02x3，y 02y .由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x
14、1) 2y 24(y0)，将 x02x3，y 02y 代入得(2x4) 2(2 y)24，即(x2) 2y 2 1.因此动点 M 的轨迹方程为(x 2)2y 21(y0).思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据 题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线等定义 列方程.几何法：利用圆的几何性质列方程.相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式.跟踪训练 2 设定点 M(3，4)，动点 N 在圆 x2y 24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹 .解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)
15、，则线段 OP 的中点坐标为 ，(x2，y2)线段 MN 的中点坐标为 .(x0 32 ，y0 42 )因为平行四边形的对角线互相平分，所以 ， ，x2 x0 32 y2 y0 42整理得Error!又点 N(x0，y0)在圆 x2y 24 上，所以(x 3)2(y 4) 24.所以点 P 的轨迹是以(3，4)为圆心，2 为半径的圆，直线 OM 与轨迹相交于两点 和 ，不符合题意，舍去，( 95，125) ( 215，285)所以点 P 的轨迹为(x3) 2(y4) 24，除去两点 和 .( 95，125) ( 215，285)题型三 与圆有关的最值问题例 3 已知点(x，y)在圆( x2)
16、2(y3) 21 上，求 xy 的最大值和最小值 .解 设 txy，则 yxt， t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距，xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 1，解得 t 1 或 t 1.|2 3 t|2 2 2xy 的最大值为 1，最小值为 1.2 2引申探究1.在本例的条件下，求 的最大值和最小值.yx解 可视为点( x，y)与原点连线 的斜率， 的最大值和最小 值就是与该圆有公共点的过原点的yx yx直线斜率的最大值和最小值，即直 线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的
17、方程为 ykx，由直 线与圆相切得圆心到直 线的距离等于半径，即 1，解得 k2 或 k2 ， 的最大值为2 ，最小值为2 .|2k 3|k2 1 233 233 yx 233 2332.在本例的条件下，求 的最大值和最小值.x2 y2 2x 4y 5解 ，求它的最 值可视为求点( x，y)到定点(1，2)的x2 y2 2x 4y 5 x 12 y 22距离的最值，可转化为求圆心 (2，3) 到定点(1，2)的距离与半径的和或差 .又圆心到定点(1，2)的距离 为 ，34 的最大值为 1，最小值为 1.x2 y2 2x 4y 5 34 34思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)
18、与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长 度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.形如 u 型的最值问题，可转化为过点( a，b)和点(x， y)的直线的斜率的最值问题；形y bx a如 taxby 型的最值问题，可 转化为动直线的截距的最值问题 ；形如(xa) 2( yb) 2 型的最值问题，可转化为动点到定点 (a，b)的距离的平方的最值问题.跟踪训练 3 已知 M(x，y )为圆 C：x 2y 24x14y 45 0 上任意一点，且点 Q(2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求 的最大值和最小值；
19、y 3x 2(3)求 yx 的最大值和最小值.解 (1)由圆 C：x2y 24x14y450，可得(x 2)2(y 7) 28，圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 .2又|QC| 4 ，2 22 7 32 2|MQ| max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(2)可知 表示直线 MQ 的斜率 k.y 3x 2设直线 MQ 的方程 为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由直线 MQ 与圆 C 有交点， 2 ，可得 2 k2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2 3 3 的最大值为 2 ，最小值为 2 .y 3x 2 3 3(3)设 yxb，则 xyb0.当直线
20、 yxb 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， 2 ，b9 或 b1.|2 7 b|12 12 2yx 的最大值为 9，最小值为 1.1.若 a ，则方程 x2y 2ax2ay2a 2a 10 表示的圆的个数为( ) 2，0，1，34A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 方程 x2y 2ax 2ay2a 2a10 表示圆的条件为 a24a 24(2 a2a1)0，即3a24a40 ，5， b 1.16.(2018浙江省绍兴诊断)已知动点 P(x，y )满足 x2y 22| x|2|y|0，O 为坐标原点，求的最大值.x2 y2解 表示曲线上的任意一点 (x，y)到原点的距离.x2 y2当 x0，y0 时，x 2y 22x2y0 化为 2 22，曲线上的点到原点的距离的(x 1) (y 1)最大值为 2 2 ，2 2当 x0，y0 时，x 2y 22x2y0 化为 2 22，曲线上的点到原点的距离的最(x 1) (y 1)大值为 2 2 ，2 2当 x0，y0 时， x2y 22x2y0 化为 2 22，曲线上的点到原点的距离的最(x 1) (y 1)大值为 2 2 ，2 2当 x0，y0 时， x2y 22x2y0 化为 2 22，曲线上的点到原点的距离的最(x 1) (y 1)大值为 2 2 .2 2综上可知， 的最大值为 2 .x2 y2 2
