1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 48 讲讲 圆的方程圆的方程 一、课程标准 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 二、基础知识回顾 1、 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (xa)2(yb)2r2 (r0) 圆心 C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心： D 2， E 2 半径：r D2E24F 2 2、 点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系 (2)三种情况 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0
2、) (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆上； (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆外； (x0a)2(y0 b)224，故点在圆外 3、圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( ) A4 3 B3 4 C. 3 D2 【答案】A 【解析】 由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离 d|a41| a212 1，解得 a4 3.故选 A. 4、点 P(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 【答案】A 【解析】 设
3、中点为 A(x，y)，圆上任意一点为 B(x，y)，由题意得 x42x， y22y， 则 x2x4， y2y2， 故(2x4)2 (2y2)24，化简得(x2)2(y1)21，故选 A. 5、(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C 的方程为( ) Ax2 y 3 3 24 3 Bx2 y 3 3 24 3 C(x 3)2y24 3 D(x 3)2y24 3 【答案】AB 【解析】 由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为2 3 ，设圆心(0，a), 半径为 r，则 rsin 31， rcos 3|a|，解得 r 2
4、3，即 r 24 3，|a| 3 3 ，即 a 3 3 ，故圆 C 的方程为 x2 y 3 3 24 3. 6、已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_ 第 3 页 / 共 12 页 【答案】 21 3 【解析】 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 1DF0， 3 3EF0， 72D 3EF0， D2， E4 3 3 ， F1， ABC 外接圆的圆心为 1，2 3 3 ，故ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 1 2 3 3 2 21 3 . 四、例题选讲 考点一 圆的方程 例 1、(2019 苏州期末）在平面直角坐标
5、系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 【答案】 (x5)2(y2)217 【解析】由圆心既的线段 AB 的垂直平分线上，又在直线 x2y10 上，先求出圆心的坐标 线段 AB 的中点为 M 5 2， 9 2 ，斜率 kAB1，所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y9 2 x5 2 ，即 x y7. 由 xy7， x2y1，得圆心 C(5，2)，半径 rCA 17，圆 C 的方程为(x5) 2(y2)217. 变式 1、（湖北武汉二中 2019 届模拟）根据下列条件，求圆的方程 (1)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线
6、2xy30 上； (2)经过 P(2,4)，Q(3，1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 【解析】(1)由题意知 kAB2，AB 中点为(4,0)，设圆心 C(a，b) 因为圆过 A(5,2)，B(3，2)两点， 所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上， 则 b a4 1 2， 2ab30， 解得 a2， b1， 所以 C(2,1)， 所以 r|CA|52 2 21 2 10， 所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210. 第 4 页 / 共 12 页 (2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0. 将 P，Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20， 3DEF10. 又令 y0，得 x
7、2DxF0. 设 x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6，得 D24F36， 由解得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. 变式 2、 (1) 已知圆 C 经过 P(2，4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为 _ (2) 已知圆心在直线 y4x 上，且圆与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)，则该圆的方程是 _ (3) 若一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方 程为_ 【答案】 （1） x2y22x4y80 或 x2y2
8、6x8y0 （2）(x1)2(y4)28； （3） (x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29 【解析】 （1） 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将 P，Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20， 3DEF10. 又令 y0，得 x2DxF0.设 x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，即(x1x2)2 4x1x236，得 D24F36，由解得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0.故所 求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. （2） 过切点且与 xy10 垂直的直线方程为 xy50， 与 y4x 联立可求得圆心为(1， 4)， 所以半径
9、r （31）2（24）22 2，故所求圆的方程为(x1)2(y4)28. （3） 因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 所以设所求圆的圆心为(3a， a) 因为所求圆与 y 轴相切， 所以半径 r3|a|.因为所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2，所 第 5 页 / 共 12 页 以 d2( 7)2r2，即 2a279a2，所以 a 1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)2 9. 方法总结： 求圆的方程的方法： (1)直接法： 根据圆的几何性质， 直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程 (2) 待定系数法：
10、 若已知条件与圆心(a， b)和半径 r 有关， 则设出圆的标准方程， 依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值. 考点二 与圆有关的最值问题 例 2 若实数 x，y 满足 x2y22x4y10，求下列各式的最大值和最小值 (1) y x4； (2)3x4y； (3)x2y2. 【解析】 (1)(方法 1)令 y x4k，则 kxy4k0. x，y 满足 x2y22x4y10，圆心(1，2)到直线 kxy4k0 的距离不大于圆的半径
11、2， 即| |25k k212，解得 20 21k0， y x4的最大值为 0，最小值为 20 21. (方法 2)令 y x4k， 则 yk(x4)代入圆的方程， 整理得(1k 2)x2(24k8k2)x16k216k10， 上述方程有实数根，(24k8k2)24(1k2) (16k216k1)0，化简整理得 21k220k0，解 得20 21k0， y x4的最大值为 0，最小值为 20 21. (2)(方法 1)设 3x4yk， 则 3x4yk0， 圆心(1， 2)到该直线的距离不大于圆的半径， 即| |38k 25 2，解得21k1，3x4y 的最大值为1，最小值为21. (方法 2)
12、设 k3x4y，即 y3 4x k 4，代入圆的方程，整理得 25x 2(166k)xk216k160，上 述方程有实数根， (166k)24 25(k216k16)0， 化简整理得 k222k210， 解得21k1， 3x4y 的最大值为1，最小值为21. (3)(方法 1)先求出原点与圆心之间的距离 d()10 2( )20 2 5， 根据几何意义， 知 x2y2的最 大值为()52 2 94 5，最小值为()52 2 94 5. 第 6 页 / 共 12 页 (方法 2)由(1)的方法知，圆的方程中的 x，y 变为 x12cos， y22sin (R)， x2y2()12cos 2 ()
13、22sin 2 98sin4cos94 5sin()x2y2的最大值为 94 5， 最小值为 94 5. 变式 1、已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值 【解析】 设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， 所以 xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切 时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2（3）t| 2 1，解得 t 21 或 t 21，所以 xy 的最大值为 21，最小值为 21. 变式 2、已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则 (1
14、)y x的最大值和最小值分别为_和_； (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_； (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_ 【答案】 (1) 3 3 (2)2 6 2 6 (3)74 3 74 3 【解析】 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 y xk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时(如图)， 斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0| k21 3，解得 k 3.所以 y x的最大值为 3，最小值为 3. 第 7 页 / 共 12 页 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距如图
15、所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取 得最大值或最小值，此时|20b| 2 3，解得 b2 6，所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小 值是(2 3)274 3. 方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何 性质数形结合求解 (2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线
16、斜 率的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(y b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 考点三 与圆有关的轨迹问题 例 3 已知ABC 中，ABAC 3，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2PC23PA23，则ABC 面积 的最大值为_ 【答案】5 23 16 【解析】 以 BC 所在的直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立坐标系，设 B(a，0)，C(a，0)(a0)， 则 A(0， 3a2)，P(x，y)， 则 P(x，y)点满足(xa)2y2(xa)2y23，和 x2(y3a2)21， 即 P(
17、x，y)点为圆 x2y23 2a 2和圆 x2(y 3a2)21 的交点 则 1 3 2a 2 3a21 3 2a 2，解得 0a223 16， ABC 面积为 S1 2 2a 3a 2 3a2a4 （a23 2） 29 4， 第 8 页 / 共 12 页 0a223 16 3 2，当 a 223 16时 S 有最大值 5 23 16 . 变式 1、已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0) (1)求直角顶点 C 的轨迹方程； (2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 【解析】(1)设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，所
18、以 kAC kBC1，又 kAC y x1，kBC y x3，所以 y x1 y x31，化简得 x 2y22x 30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx03 2 ，yy00 2 ， 所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24(y0)， 即(x2)2y21(y0) 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 变式 2、已知圆 x2y24 上一定点
19、A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 【解析】(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知点 P 坐标为(2x2,2y) 因为点 P 在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)2 4.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y) 在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2 (y1)24. 故线段 PQ
20、中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据 圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系， 代入已知点满足的关系式等 第 9 页 / 共 12 页 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 年北京卷）已知半径为 1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】设圆心,C x y，则 22 341xy ， 化简得 22 341xy， 所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1 为半
21、径的圆， 所以| 1 |OCOM 22 345 ，所以| 5 14OC ， 当且仅当C在线段OM上时取得等号， 故选：A. 2、 （2020 年全国 2 卷） .若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230 xy的距离为 （ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 【答案】B 【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为, a a，则圆的半径为a， 圆的标准方程为 22 2 xayaa. 第 10 页 / 共 12 页 由题意可得 22 2 21aa
22、a， 可得 2 650aa，解得 1a 或5a， 所以圆心的坐标为1,1或5,5， 圆心到直线的距离均为 1 2 1 1 32 5 55 d ； 圆心到直线的距离均为 2 2 5532 5 55 d 圆心到直线230 xy的距离均为 22 5 55 d ； 所以，圆心到直线230 xy的距离为 2 5 5 . 故选：B. 3、 （2020 年天津卷）知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ，则r 的值为_ 【答案】5 【解析】因为圆心0,0到直线380 xy的距离 8 4 1 3 d ， 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ，解得=5r 故答
23、案为：5 4、(2019 镇江期末）已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点，且过点 A(0，6)，则圆 C 的标准方 程为_ 【答案】 (x3)2(y3)218 【解析】由几何知识可知，圆心 C 在圆 x2y210 x10y0 的圆心与原点的连线 yx 上，又在 OA 的垂 直平分线 y3 上，所以 C(3，3)，易得圆 C 的标准方程为(x3)2(y3)218. 5、在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 ：(，2) 第 11 页 / 共 12 页 【解析】 ： 圆 C 的标准方程为(xa
24、)2(y2a)24， 所以圆心为(a,2a)， 半径 r2， 故由题意知 a2， |2a|2， 解得 a2，故实数 a 的取值范围为(，2) 6、(一题两空)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 8.(1)直线 l 的方程为_；(2)过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程为_ 【答案】(1)yx1 (2)(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144 【解析】 ：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 ykx1， y24x 得 k2
25、x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求 圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05， x012y0 x01 2 2 16， 解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 7、已知 M 为圆 C：x2y24x14
26、y450 上任意一点，且点 Q(2,3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若 M(m，n)，求n3 m2的最大值和最小值 【解析】(1)由圆 C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 2. 第 12 页 / 共 12 页 又|QC|2227324 22 2. 所以点 Q 在圆 C 外，所以|MQ|max4 22 26 2， |MQ|min4 22 22 2. (2)可知n3 m2表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30，则n3 m2k. 因为直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以|2k72k3| 1k2 2 2， 可得 2 3k2 3， 所以n3 m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.
